《勾股定理的应用举例》教学设计
教学内容
课题:七年级上册第三章第三节《勾股定理的应用举例》
本节课的教材内容主要围绕勾股定理及其逆定理，按照“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展”的模式展开活动，让学生能够应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。本节课的综合性和拓展性较强，教材图文并茂，既能吸引学生的注意力，又能激发学生的学习兴趣。通过本课的学习，引导学生将所学知识与实际生活紧密联系，增强合作精神，培养学生数形结合能力和实践能力。
教学目标
知识与技能:会用勾股定理解决实际问题。
过程与方法:将实际问题转化为含有直角三角形的数学模型。在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯
情感态度与价值观:
1.让学生感受生活中的数学,体会数学的应用性。
2.培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，通过与同伴交流，培养协作与交流的意识。
3.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
?教学重点：
?1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题。
2.探索空间与平面图形之间的关系。
3.掌握两个定理之间的联系与区别。
教学难点：?
熟练运用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用能力。
课前准备：
?制作长方体、彩纸、白纸、圆柱、双面胶。
.
教法方法：
互动式教学、合作探究学习
教学过程
一、回顾与思考（一）
1. 复习勾股定理，巩固勾股定理的公式、符号语言及变形公式。
?2. 小结：勾股定理实质是在直角三角形中，已知两条边，可以求出第三条边。
[设计意图]：通过定理的回顾熟悉知识，引导学生建立找直角三角形和求边长的意识。
二、定理的应用（一）
1.问题情景一：爸爸指着墙角的桌子对小明说：“桌面的角是直角，我测出来两条桌边的长是5分米和12分米，你能计算出桌面的对角线的长度吗？”“太简单了。”你知道小明是如何计算的吗？
[设计意图]：（1）轻松的话题引到在桌面（一个平面）的求边的问题，从而给学生建立起一种构造直角三角形解决问题的模型。
（2）引领下一环节，让学生探索若在平面有一只蚂蚁想从A走到B，如何走最近，让学生说出两点之间线段最短的性质。
2.趣味探究一：在高为12厘米，底面直径5厘米的圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点出的食物，需要爬行（穿过柱体）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计为在同一平面内的问题。
（2）本环节是以小组为单位进行探究，拿空心圆柱与小棒探索蚂蚁走过的路程、所在的平面，引导学生把同一平面的实际问题直接抽象成直角三角形。
（3）“蚂蚁觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，体会数学学习的系统性、整体性和联系，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。
[知识小结]：归纳解题思路，强化解题步骤
3.趣味探究二：在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的出的食物，需要爬行（仅在侧面）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计在同一个曲面内的问题。
（2）本环节仍然是在小组合作探究的基础上，通过先猜测探索多种路径，求最短距离，最终落脚在展开圆柱的侧面，引导学生展动点所在的曲面成为平面图形，借助于两点之间线段最短的性质，构建直角三角形利用勾股定理解决。
（3）趣味引领，让学生在动手中感悟由曲面变平面的过程。
[知识小结]：在曲面内求两点线段最短的方法。
[学以致用]：如图，一个圆柱体的底面周长为12cm，高AB为5cm，BC是上底面直径。有一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，你能算出蚂蚁爬行的最短路程吗？
4.趣味探究三：在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的出的食物，需要爬行（若在表面）的最短路程是哪条？
[设计意图]：（1）题目设计在不同的曲面内。
（2）通过动手做模型，同时直观演示，引导学生动手设计不同的方案，把立体图形转化为平面图形，确定最短路线，掌握在不同曲面构建直角三角形的方法，降低难度，并培养学生的动手动脑能力、数形结合的思维、学数学用数学的能力以及求异思维。
[大胆尝试]：
蚂蚁想从盒子的表面A处爬到B处吃食物，已知盒子的长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的哪一条路程是最短路程呢？
具体操作：学生利用手中的彩纸把蚂蚁经过的面，粘到白纸上，再利用所学求出相应的最短线段。
题目设计目的巩固前面所学。
[知识小结]：归纳立体的实际问题，应如何转化成直角三角形的问题，利用勾股定理解决。
三、回顾与思考（二）
1. 复习直角三角形的判定条件，掌握定理的符号表示及注意事项。
2.小结：直角三角形的判定条件是已知三角形中最短两边平方和等于最长边的平方，就可以说明这个三角形是直角三角形。
四、定理应用（二）
1.问题情境二
爸爸又继续对小明说：“只给你一个带有刻度的皮尺，你能用他来判断桌面的角是直角吗？”小明自信的说：“我能通过测量并计算做出判断。”你知道如何判断吗？
[设计意图]：（1）与应用一同样的情境导入，前后衔接，让学生再次感受“数学源于生活，又应用于生活”。
（2）激发学生兴趣，易于让学生体会它们区别，体会求直角的方法。
2.做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD边和BC边是否分别垂直于底边CD，但他随身只带了卷尺，(1)你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是4厘米，CD长是3厘米，AC长是5厘米。AD边垂直于CD边吗？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于CD边吗？BC边与CD边呢？
[设计意图]：（1）题目从平面到立体，培养了培养学生分析、解决问题的能力，通过此题变式创新探究，降低难度，放缓坡度。
（2）通过第三问，让学生掌握直角三角形的判定条件的实质是线段的数量关系而不是数值的大小。
五、比较与收获
将数形间转化，形象地表述出来，培养学生数形结合思想。
六、能力与提升
小明的爸爸开垦了一块四边形土地，爸爸想让小明计算一下土地的面积。
已知∠ACB=90°，小明测得AB=13米，BC=12米，CD=3米，DA=4米。很快小明计算出了土地的面积，你知道小明是如何计算的吗？
[设计意图]：（1）本环节主要培养学生综合运用勾股定理以及逆定理解决实际问题的能力。
（2）请学生简单小结，明确勾股定理应用的方法和条件。控制课堂节奏，优化师生互动，生生互动，构建“输出-反馈-调节-再输出”的智能探究模式。
七、反思与总结
通过让学生相互合作交流，一起回顾小结，突出本节重点，帮助学生理解、掌握所学知识，培养学生的总结归纳能力，同时渗透“归纳”“转化”、“数形结合”、 “分类讨论”的思想，让学生在反思中不断进步。
六、学习加油站
必做题：课本112页1、2题。
选做题：有兴趣的同学可以探究一下若蚂蚁在圆柱的表面爬行两周时，最短的路程会是怎样的？
[设计意图]：巩固已学知识，发现和弥补教学中的遗漏和不足，培养学生良好的学习习惯；在学生研究蚂蚁爬行趣味问题时，加深探讨的内容，从而激发学生继续专研的欲望，培养学生自主探究的学习习惯。
教学设计说明
我对教材《勾股定理的应用》的知识进行了适当的加工与深挖，把重点放在应用一上，让蚂蚁爬行问题非常系统的展现在学生面前，力求给学生提供研究、探讨的时间和空间，让学生通过动手操作充分经历自主“做数学”的过程，将 “数学教学活动，转变为数学活动的教学”扎扎实实地落到实处，促进学生在自主中求知、在合作中获取、在探究中发展.
本节课运用创设情景，问题设疑，自主探究，观察演示，动手实践，合作交流等方式，步步深入，层层引发，引导学生积极探索、发现、归纳的探究式思维训练让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教师适时的引导下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律，感受“数学源于生活，又用于生活”这一主线。通过对多类问题的探究，让学生感受到“归纳”“数形结合”“转化”“分类讨论”等数学思想的实用价值，培养了学生的创新意识和创新精神，培养了学生的思维能力和解决实际问题的能力。增长了学生“学数学，用数学”的信心。
板书设计，采用一题贯穿整节课的形式。应用一一次板书，应用二一次板书，这两个合起来正好是综合应用的板书，这样大大节省了教学的时间和和黑板的空间，规范了学生的做题步骤。
课件28张PPT。勾股定理的应用举例abcabc??b2= c2 - a2a2= c2 - b2灵活运用公式回顾与思考一勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号语言
在Rt△ABC中,
因为∠C=90o ,AB=c,AC=b,BC=a,
所以a2+b2=c2.1. 前提条件：直角三角形
2. 明确直角边与斜边CBA勾股定理应用一
在直角三角形中,
已知任意两边长,
利用勾股定理
求出第三边长。爸爸指着墙角的桌子对小明说：
“桌面的角是直角，我测出了两条桌边的长是5分米和12分米，你能计算出桌面对角线的长度吗？” “这太简单了。” 你知道小明是如何计算的吗？问题情境一 在高为12厘米，底面直径5厘米的圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行(穿过柱体)的最短路程是哪条？趣味探索（一） 以小组为单位：
尝试把笔放入圆柱，模拟蚂蚁爬的路线.
1.A、B点是否在同一平面.
2.如何构造线段AB所在的直角三角形.合作探究ABC 1.认真审题，把同一平面内的实 际问题直接抽象成直角三角形 2.没有图的要按题意画好图并标上字母 3. 标上线段长度 4.再利用勾股定理求线段的长度 知识小结 在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行(仅在侧面)的最短路程是哪条？趣味探索（二） 以小组为单位,尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？合作探究AB 所以AB2=AC2+BC2
=122+92=152所以AB=15厘米解: 因为∠C=900中 AC=12厘米 BC=18÷2=9厘米已知：圆柱的高等于12厘米，底面周长18厘米.答：最短距离是15厘米。C1A1 找最短距离 1、展动点所在的曲面成为平面图形 2、找到A、B两点 3、连线段知识小结 如图，有一个圆柱体，它的高为5cm，底面周长为12cm,在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体一周爬行到它的顶端B点处，那么它所行走的最短路程是多少？ABAB学以致用C 在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行(若在表面)的最短路程是哪条？趣味探索（三）方案一ABAB=12+18÷3=18厘米已知：圆柱的高等于12厘米，底面周长18厘米.（π=3）方案四AB=15厘米因为18厘米大于15厘米所以第四套方案更近。 蚂蚁想从盒子的表面A处爬到B处吃食物已知盒子为长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的那一条路程是最短路程呢？
大胆尝试分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面. 立体的实际问题 转化成 平面图形 再抽象成 直角三角形 知识小结回顾与思考（二）直角三角形的判别条件
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。符号语言
因为 △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,
且a2+b2=c2,
所以∠C=90o
(△ABC是直角三角形) .找准直角
BCA应用二：判别一个三角形是不是
直角三角形
如果一个三角形两个短边a、b的
平方和等于长边c的平方，即
，那么它是直角三角形。ABCabc爸爸又继续对小明说：“只给你一个带有刻度的皮尺，你能用它来判断桌面的角是直角吗？” 小明自信的说：“我能通过测量并计算做出判断。” 你知道如何判断吗？问题情境二(1) 你能替他想办法完成任务吗?(2) 李叔叔量得AD长是4分米,CD长是3分米,
AC长是5分米。AD边垂直于CD边吗?DCBA 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边CD，但他随身只带了卷尺（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于CD边吗？BC边与CD边呢？ 做一做c2=a2+b2 数形比较收获313412能力提升CDAB5通过这节课的探究学习，
你得到哪些启发和收获？反思与总结 学习加油站
必做题：
课本112页1、2题
选作题：
有兴趣的同学可以探究一下若蚂蚁在圆柱的表面爬行两周时，最短的路程会是怎样的。再见
