第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
第1课时 函数的概念(1)
学习 目标 1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2. 理解函数概念，了解构成函数的三要素，会判断某个对应是否为函数．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P60—P63，完成下列填空．
一、 概念表述
概念 一般地，设A，B是两个非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
注意：
(1) A，B是非空的实数集．
(2) 定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3) 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4) 函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(5) 除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 定义域中的某一个x可以没有y与之对应．( )
(2) 任意两个集合之间都可以建立函数关系.( )
(3) 已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )
(4) 定义域中的某一个x可以对应着不同的y.( )
典例精讲能力初成
探究1 对应关系
例1 图中给出的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是( )
① ②
③ ④
(例1)
A. ①② B. ①④
C. ①②④ D. ③④
变式 图中给出的从A到B的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是( )
A B
C D
探究2 函数的概念
例2 (课本P63例1)函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．
判断一个对应关系是否为函数的方法
(1) 根据函数的概念判断
(2) 根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
变式1 判断下列对应关系是否为函数：
(1) x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(2) x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(3) x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
变式2 若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是( )
A B
C D
探究3 函数的三要素
例3 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 ，值域为 ．
(例3)
变式 若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为 ．
随堂内化及时评价
1. 下列说法不正确的是( )
A. 在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B. 函数的定义域和值域一定是无限集合
C. 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
2. 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝x－1；④y＝|x|.其中能构成从M到N的函数的是( )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
3. (多选)若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，则下列图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A B
C D
4. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有 个．
5. (课本P64练习3改编)集合A，B与对应关系f如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
(第5题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A B
C D
2. 在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是( )
A B
C D
3. 设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0}
4. 下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是( )
A. A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝
B. A＝{x|x>0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x
C. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2
D. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝
5. 下列各式中函数的个数为( )
①y＝1； ②y＝x2； ③y＝1－x； ④y＝＋.
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
6. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A. y＝|3x＋1| B. y＝x＋1
C. y＝2x D. y＝x2
二、 多项选择题
7. 下列所给图象是函数图象的为( )
A B
C D
8. 下列对应中是函数的是( )
A. x→y，其中y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x<10，x∈N}
B. x→y，其中y2＝x，x∈{x|x≥0}，y∈R
C. x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z
D. x→y，其中y＝x－1，x∈N*，y∈N*
9. 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是( )
A. f：x→y＝x B. f：x→y＝2x
C. f：x→y＝x D. f：x→y＝
10. 下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )
A B
C D
11. 已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x12. (课本P63练习1)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2①.求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数．
13. (课本P64练习2)某日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的温度走势如图所示．
(第13题)
(1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度．第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
第1课时 函数的概念(1)
学习 目标 1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2. 理解函数概念，了解构成函数的三要素，会判断某个对应是否为函数．
新知初探基础落实
思考1：回顾初中学过哪些函数？
(1) 一次函数y＝kx＋b(k≠0)；
(2) 正比例函数y＝kx(k≠0)；
(3) 反比例函数y＝(k≠0)；
(4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
思考2：初中学习的函数的概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数．其中x叫自变量，y叫因变量．
一、 生成概念
问题1：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S＝350t.
(1) S是t的函数吗？请说明理由．
(2) 根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km.这个说法正确吗？
(3) 如何用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系？
(1) 这里t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
(2) 根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．
(3) 列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t.其中t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．那么：
(1) 一个工人的工资W是他工作天数d的函数吗？
(2) 仿照问题1中对S与t的对应关系的精准刻画，如何用更精确的语言表示问题2中W与d的对应关系？(符号语言到文字语言)
(3) 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？
(1) 显然，工资W是一周工作天数d的函数，其对应关系是W＝350d.
(2) 其中d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，W的变化范围是数集B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}，对于数集A2中的任何一个工作天数d，按照对应关系W＝350d，在数集B2中都有唯一确定的工资W与它对应．
(3) 不同的函数．虽然它们有相同的解析式，也就是对应关系，但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同．
问题3：下图是某市某日的空气质量指数AQI随时间t的变化图．
(1) 你能根据图找到中午12:00的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？
(2) 你认为这里AQI的值I是t的函数吗？
(1) 能；是．
(2) 从图中曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B3＝{I|0人们对于函数概念的第一和第二次抽象认识．第一次抽象认识，主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式．但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示．后来欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数．这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识．主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系．
问题4：国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份y 2015 2016 2017 2018 2019
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15
年份y 2020 2021 2022 2023 2024
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
这里y的取值范围是数集A4＝{2 015，2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4＝{r|0思考：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
(1) 都包含两个非空数集，用A，B表示；
(2) 都有一个对应关系；
(3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
请同学阅读课本P60—P63，完成下列填空．
二、 概念表述
概念 一般地，设A，B是两个非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一__确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 __x__的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
注意：
(1) A，B是非空的实数集．
(2) 定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3) 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4) 函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(5) 除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 定义域中的某一个x可以没有y与之对应．( × )
(2) 任意两个集合之间都可以建立函数关系.( × )
(3) 已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
(4) 定义域中的某一个x可以对应着不同的y.( × )
典例精讲能力初成
探究1 对应关系
例1 图中给出的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是( B )
① ②
③ ④
(例1)
A. ①② B. ①④
C. ①②④ D. ③④
【解析】②左边集合中的1，4在右边集合中无元素对应，③中出现一对多的情况，
①中出现二对一和一对一，④中出现的是一对一，因此①④满足题意．
变式 图中给出的从A到B的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是( D )
A B
C D
【解析】对于A，集合A中的9，4在B中都有两个元素与之对应，所以出现一对多的情况；对于B，C，集合A中的0在B中没有元素与之对应；对于D，集合A中的元素与B中的元素是多对一和一对一，因此D符合题意．
探究2 函数的概念
例2 (课本P63例1)函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．
【解答】把y＝x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10－x).如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0判断一个对应关系是否为函数的方法
(1) 根据函数的概念判断
(2) 根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
变式1 判断下列对应关系是否为函数：
(1) x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
【解答】当在集合{x|0≤x≤6}中取x＝6时，在集合{y|0≤y≤3}中没有y的值与之对应，因此不能确定y是x的函数．
(2) x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
【解答】当在集合{x|0≤x≤6}中任取一个x的值后，都能在集合{y|0≤y≤3}中确定唯一的y的值与之对应，故可以确定y是x的函数．
(3) x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
【解答】当在实数集R上任取一个x的值后，都能在实数集R上确定唯一的y值与之对应，故可以确定y是x的函数．
变式2 若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是( B )
A B
C D
【解析】对于A，当x＝8时，y＝0，不符合题意，排除A；对于C，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；对于D，x取不到0，不符合题意，排除D.
探究3 函数的三要素
例3 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为__{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}__，值域为__{y|－4≤y≤3}__．
(例3)
变式 若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为__{0，1}__．
【解析】由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}．
随堂内化及时评价
1. 下列说法不正确的是( B )
A. 在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B. 函数的定义域和值域一定是无限集合
C. 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
【解析】由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2. 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝x－1；④y＝|x|.其中能构成从M到N的函数的是( D )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
【解析】对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应．①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．
3. (多选)若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，则下列图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( BC )
A B
C D
【解析】A不满足函数的定义域，不正确；B，C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，不正确．
4. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有__8__个．
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数．列表如下：
f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
由表可知，这样的函数有8个．
5. (课本P64练习3改编)集合A，B与对应关系f如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
(第5题)
【解答】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以f：A→B是从A到B的函数．定义域是A＝{1，2，3，4，5}，值域C＝{1，2，3，4，5}．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( B )
A B
C D
2. 在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是( D )
A B
C D
3. 设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( D )
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0}
4. 下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是( C )
A. A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝
B. A＝{x|x>0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x
C. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2
D. A＝B＝R，对应关系f：x→y＝
【解析】对于A，因为集合A是整数集合，其中奇数除以2的结果不是整数，所以y不是x的函数，因此A不符合题意；对于B，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，因此B不符合题意；对于C，因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，因此C符合题意；对于D，因为0∈A，但是没有意义，因此D不符合题意．
5. 下列各式中函数的个数为( B )
①y＝1； ②y＝x2； ③y＝1－x； ④y＝＋.
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
【解析】根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则所以无解，所以④不是函数．
6. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( D )
A. y＝|3x＋1| B. y＝x＋1
C. y＝2x D. y＝x2
【解析】在A中，当x＝2时，y＝7 N，故A错误；在B中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故B错误；在C中，当x＝4时，y＝8 N，故C错误；在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
二、 多项选择题
7. 下列所给图象是函数图象的为( CD )
A B
C D
【解析】根据函数的定义，在定义域内作一条直线x＝a，将直线x＝a在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象．
8. 下列对应中是函数的是( AC )
A. x→y，其中y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x<10，x∈N}
B. x→y，其中y2＝x，x∈{x|x≥0}，y∈R
C. x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z
D. x→y，其中y＝x－1，x∈N*，y∈N*
【解析】对于A，对集合{1，2，3，4}中的每个元素x，按照y＝2x＋1，在{x|x<10，x∈N}中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，存在x∈{x|x≥0}，按照y2＝x，在R中有两个y值与之对应，如x＝1，与之对应的y＝±1，B不是；对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当x＝1时，按照y＝x－1，在N*中不存在元素与之对应，D不是．
9. 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是( BC )
A. f：x→y＝x B. f：x→y＝2x
C. f：x→y＝x D. f：x→y＝
【解析】B的对应法则是f：x→y＝2x，f(3)＝6 B，不满足函数的定义，故B错误；C的对应法则是f：x→y＝x，可得f(4)＝ B，不满足函数的定义，故C错误．
10. 下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( AD )
A B
C D
【解析】A，D都满足函数的定义．在B中，当x＝0时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性．在C中，存在x，有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性．
11. 已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x【解析】如图，可知满足条件的函数共10个．
(第11题答)
12. (课本P63练习1)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2①.求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数．
【解答】定义域为{t|0≤t≤26}，值域为{h|0≤h≤845}，对于数集{t|0≤t≤26}中的任一个数t，在数集{h|0≤h≤845}中都有唯一确定的数h＝130t－5t2与之对应．
13. (课本P64练习2)某日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的温度走势如图所示．
(第13题)
(1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
【解答】由图可知，设从某日8时起24小时内，经过时间t的温度为y ℃，则定义域为{t|0≤t≤24}，值域为{y|2≤y≤12}．
(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度．
【解答】由题图知，11时的温度为8 ℃，14时的温度为12 ℃，12时的温度约为＋8≈9.3(℃).(共45张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
第1课时 函数的概念(1)
学习 目标 1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
2. 理解函数概念，了解构成函数的三要素，会判断某个对应是否为函数．
新知初探 基础落实
思考1：回顾初中学过哪些函数？
思考2：初中学习的函数的概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数．其中x叫自变量，y叫因变量．
一、 生成概念
问题1：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S＝350t.
(1) S是t的函数吗？请说明理由．
(2) 根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km.这个说法正确吗？
(3) 如何用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系？
(1) 这里t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
(2) 根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．
(3) 列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t.其中t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．那么：
(1) 一个工人的工资W是他工作天数d的函数吗？
(2) 仿照问题1中对S与t的对应关系的精准刻画，如何用更精确的语言表示问题2中W与d的对应关系？(符号语言到文字语言)
(3) 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？
(1) 显然，工资W是一周工作天数d的函数，其对应关系是W＝350d.
(2) 其中d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，W的变化范围是数集B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}，对于数集A2中的任何一个工作天数d，按照对应关系W＝350d，在数集B2中都有唯一确定的工资W与它对应．
(3) 不同的函数．虽然它们有相同的解析式，也就是对应关系，但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同．
问题3：下图是某市某日的空气质量指数AQI随时间t的变化图．
(1) 你能根据图找到中午12:00的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？
(2) 你认为这里AQI的值I是t的函数吗？
(1) 能；是．
(2) 从图中曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B3＝{I|0人们对于函数概念的第一和第二次抽象认识．第一次抽象认识，主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式．但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示．后来欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数．这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识．主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系．
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份y 2015 2016 2017 2018 2019
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15
年份y 2020 2021 2022 2023 2024
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
这里y的取值范围是数集A4＝{2 015，2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，
2 022，2 023，2 024}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4＝{r|0思考：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
(1) 都包含两个非空数集，用A，B表示；
(2) 都有一个对应关系；
(3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
请同学阅读课本P60—P63，完成下列填空．
二、 概念表述
概念 一般地，设A，B是两个非空的_________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ____的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
注意：
(1) A，B是非空的实数集．
(2) 定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3) 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4) 函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．
(5) 除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 定义域中的某一个x可以没有y与之对应． ( )
(2) 任意两个集合之间都可以建立函数关系. ( )
(3) 已知定义域和对应关系就可以确定一个函数． ( )
(4) 定义域中的某一个x可以对应着不同的y. ( )
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
探究
图中给出的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是 ( )
A. ①② B. ①④
C. ①②④ D. ③④
1
对应关系
1
B
【解析】②左边集合中的1，4在右边集合中无元素对应，③中出现一对多的情况，①中出现二对一和一对一，④中出现的是一对一，因此①④满足题意．
【解析】对于A，集合A中的9，4在B中都有两个元素与之对应，所以出现一对多的情况；对于B，C，集合A中的0在B中没有元素与之对应；对于D，集合A中的元素与B中的元素是多对一和一对一，因此D符合题意．
变式
图中给出的从A到B的四个对应关系，其中表示多对一或一对一的是
( )
D
探究
(课本P63例1)函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．
2
函数的概念
2
【解答】把y＝x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10－x).如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0判断一个对应关系是否为函数的方法
(1) 根据函数的概念判断
(2) 根据图形判断
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
【解答】当在集合{x|0≤x≤6}中取x＝6时，在集合{y|0≤y≤3}中没有y的值与之对应，因此不能确定y是x的函数．
判断下列对应关系是否为函数：
(1) x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
变式1
【解答】当在集合{x|0≤x≤6}中任取一个x的值后，都能在集合{y|0≤y≤3}中确定唯一的y的值与之对应，故可以确定y是x的函数．
(3) x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
【解答】当在实数集R上任取一个x的值后，都能在实数集R上确定唯一的y值与之对应，故可以确定y是x的函数．
【解析】对于A，当x＝8时，y＝0，不符合题意，排除A；对于C，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；对于D，x取不到0，不符合题意，排除D.
若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是 ( )
变式2
B
探究
已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为___________________，值域为___________________．
3
函数的三要素
3
{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}
{y|－4≤y≤3}
【解析】由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}．
变式
若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为___________．
{0，1}
随堂内化 及时评价
1. 下列说法不正确的是 ( )
A. 在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B. 函数的定义域和值域一定是无限集合
C. 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
B
【解析】由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2. 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝x－1；④y＝|x|.其中能构成从M到N的函数的是 ( )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
D
【解析】对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应．①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．
3. (多选)若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，则下列图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
BC
【解析】A不满足函数的定义域，不正确；B，C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，不正确．
4. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有____个．
8
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数．列表如下：
由表可知，这样的函数有8个．
f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
5. (课本P64练习3改编)集合A，B与对应关系f如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
【解答】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以f：A→B是从A到B的函数．定义域是A＝{1，2，3，4，5}，值域C＝{1，2，3，4，5}．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 ( )
B
2. 在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是 ( )
D
3. 设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是 ( )
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0}
D
C
B
6. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是 ( )
A. y＝|3x＋1| B. y＝x＋1
C. y＝2x D. y＝x2
D
【解析】在A中，当x＝2时，y＝7 N，故A错误；在B中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故B错误；在C中，当x＝4时，y＝8 N，故C错误；在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
二、 多项选择题
7. 下列所给图象是函数图象的为 ( )
CD
【解析】根据函数的定义，在定义域内作一条直线x＝a，将直线x＝a在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象．
8. 下列对应中是函数的是 ( )
A. x→y，其中y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x<10，x∈N}
B. x→y，其中y2＝x，x∈{x|x≥0}，y∈R
C. x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z
D. x→y，其中y＝x－1，x∈N*，y∈N*
AC
【解析】对于A，对集合{1，2，3，4}中的每个元素x，按照y＝2x＋1，在{x|x<10，x∈N}中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，存在x∈{x|x≥0}，按照y2＝x，在R中有两个y值与之对应，如x＝1，与之对应的y＝±1，B不是；对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当x＝1时，按照y＝x－1，在N*中不存在元素与之对应，D不是．
9. 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是
( )
BC
10. 下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是 ( )
AD
【解析】A，D都满足函数的定义．在B中，当x＝0时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性．在C中，存在x，有两个y值与x对应，不满足函数对应的唯一性．
11. 已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x【解析】如图，可知满足条件的函数共10个．
10
12. (课本P63练习1)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2①.求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数．
【解答】定义域为{t|0≤t≤26}，值域为{h|0≤h≤845}，对于数集{t|0≤t≤26}中的任一个数t，在数集{h|0≤h≤845}中都有唯一确定的数h＝130t－5t2与之对应．
13. (课本P64练习2)某日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的温度走势如图所示．
【解答】由图可知，设从某日8时起24小时内，经过时间t的温度为y ℃，则定义域为{t|0≤t≤24}，值域为{y|2≤y≤12}．
(1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度．
