第3课时 函数的表示法(1)
学习 目标 1. 掌握函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法)以及各自的优缺点． 2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，会作函数的图象并从图象上获取有用的信息．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P67—P68，完成下列填空．
一、 概念表述
函数的表示法
列表法 图象法 解析法
定 义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法
优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 能较便利地通过计算等手段研究函数性质
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图象难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
注意：三种表示法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(2) 任何一个函数都可以用图象法表示．( )
(3) 函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示.( )
(4) 函数图象一定是一条连续不断的曲线．( )
典例精讲能力初成
探究1 函数的表示方法
例1 (课本P67例4)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
变式 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
探究2 求函数的解析式
视角1 待定系数法求解析式
例2-1 (1) 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为 .
(2) 已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋9，则f(x)的解析式为 .
视角2 换元法(配凑法)求函数的解析式
例2-2 (1) 已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式；
(2) 已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
视角3 方程组(消去)法求函数的解析式
例2-3 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A. f(x)＝x＋1 B. f(x)＝x－1
C. f(x)＝－x＋1 D. f(x)＝－x－1
求函数解析式的常用方法：
(1) 待定系数法：已知函数类型时采用．
(2) 配凑法：从f(g(x))的解析式中凑出g(x)，再将解析式两边的g(x)换成x，得f(x)的解析式．
(3) 换元法：已知f(g(x))的解析式，令g(x)＝t，用t表示出x，代入f(g(x))的解析式，得到f(t)的解析式，再将t换成x，便得f(x)的解析式．
(4) 解方程组法：在已知中，含有关于两个不同变量的函数，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式．
探究3 分段函数
例3 (课本P68例5)画出函数y＝|x|的图象．
(1) 分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2) 分段函数是一个函数，其定义域、值域
分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
注意：分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
变式 已知f(x)＝
(1) 求f(2)，f 的值；
(2) 若f(x)＝，求x的值；
(3) 若f(x)≥，求x的取值范围．
随堂内化及时评价
1. 若f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A. f(x)＝3x＋2 B. f(x)＝3x＋1
C. f(x)＝3x－1 D. f(x)＝3x＋4
2. 设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A. －3 B. ±3
C. －1 D. ±1
3. 若一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A. y＝50x(x＞0) B. y＝100x(x＞0)
C. y＝(x＞0) D. y＝(x＞0)
4. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 0 1 2
f(x) 1 2 1
g(x) 2 1 0
则f(g(1))＝ ；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 ．
5. (课本P69练习1)如图，把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．
(第5题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)与g(x)分别由下表给出，则f(g(2))＝( )
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 若f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为( )
A. 1 B. －1
C. － D.
3. 已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝( )
A. －1(x≠0)
B. －1(x≠1)
C. －1(x≠0)
D. －1(x≠1)
4. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
二、 多项选择题
5. 若函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )
A. f(x)＝f B. －f(x)＝f
C. ＝f D. f(－x)＝－f(x)
6. 对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[π]＝3，[－1.08]＝－2.已知函数f(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最大值为1
B. 函数f(x)的最小值为0
C. 函数y＝f(x)的图象与直线y＝有无数个交点
D. f(x＋1)＝f(x)
三、 填空题
7. 已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝ ．
8. 设函数f(x)＝则f＝ ，f(x)的定义域是 .
四、 解答题
9. 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋. 当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1) 写出函数t的解析式；
(2) 用列表法表示此函数；
(3) 画出函数t的图象．
10. 已知函数f(x)＝
(1) 求f的值；
(2) 若f(a)＝2，求a的值；
(3) 画出f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域(直接写出结果即可)．
11. (多选)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝81x＋80，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)＝9x＋8
B. f(x)＝－9x－8
C. f(x)＝9x＋10
D. f(x)＝－9x－10
12. (多选)下列函数图象经过变换后，过原点的是( )
A. y＝(x－1)2－4的图象向右平移1个单位长度
B. y＝(x－1)2－4的图象向左平移1个单位长度
C. y＝(x＋1)2－2的图象向上平移1个单位长度
D. y＝(x＋1)2－2的图象向下平移1个单位长度
13. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
(第13题)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
14. 若函数f＝x2＋，则f(x)＝ ．第3课时 函数的表示法(1)
学习 目标 1. 掌握函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法)以及各自的优缺点． 2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，会作函数的图象并从图象上获取有用的信息．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P67—P68，完成下列填空．
一、 概念表述
函数的表示法
列表法 图象法 解析法
定 义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法
优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 能较便利地通过计算等手段研究函数性质
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图象难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
注意：三种表示法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
(2) 任何一个函数都可以用图象法表示．( × )
(3) 函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示.( √ )
(4) 函数图象一定是一条连续不断的曲线．( × )
典例精讲能力初成
探究1 函数的表示方法
例1 (课本P67例4)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
【解答】这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如图所示．
(例1答)
变式 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【解答】列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
图象法：如图所示．
(变式答)
解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
探究2 求函数的解析式
视角1 待定系数法求解析式
例2-1 (1) 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝x2－x＋1__.
【解析】由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).因为f(0)＝1，所以c＝1.因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以解得所以f(x)＝x2－x＋1.
已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋9，则f(x)的解析式为__f(x)＝2x＋3或f(x)＝
－2x－9__.
【解析】依题意设f(x)＝kx＋b(k≠0)，于是f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(k＋1)b，而f(f(x))＝4x＋9，因此解得或所以f(x)的解析式为f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
视角2 换元法(配凑法)求函数的解析式
例2-2 (1) 已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式；
【解答】令x＋1＝t，则x＝t－1.将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，所以f(x)＝x2－5x＋6.
(2) 已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
【解答】因为f＝x2＋＝－2，x＋≥2或x＋≤－2，所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
视角3 方程组(消去)法求函数的解析式
例2-3 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为( A )
A. f(x)＝x＋1 B. f(x)＝x－1
C. f(x)＝－x＋1 D. f(x)＝－x－1
【解析】由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1①，又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2②，①＋②得3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1.
求函数解析式的常用方法：
(1) 待定系数法：已知函数类型时采用．
(2) 配凑法：从f(g(x))的解析式中凑出g(x)，再将解析式两边的g(x)换成x，得f(x)的解析式．
(3) 换元法：已知f(g(x))的解析式，令g(x)＝t，用t表示出x，代入f(g(x))的解析式，得到f(t)的解析式，再将t换成x，便得f(x)的解析式．
(4) 解方程组法：在已知中，含有关于两个不同变量的函数，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式．
探究3 分段函数
例3 (课本P68例5)画出函数y＝|x|的图象．
【解答】由绝对值的概念，我们有y＝所以可作出函数y＝|x|的图象如图所示．
(例3答)
(1) 分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2) 分段函数是一个函数，其定义域、值域
分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
注意：分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
变式 已知f(x)＝
(1) 求f(2)，f 的值；
【解答】f(2)＝1，f＝＝，所以f ＝f ＝.
(2) 若f(x)＝，求x的值；
【解答】f(x)＝等价于解得x＝±.
(3) 若f(x)≥，求x的取值范围．
【解答】因为f(x)≥，所以或解得x≥或x≤
－，故x的取值范围是∪.
随堂内化及时评价
1. 若f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( A )
A. f(x)＝3x＋2 B. f(x)＝3x＋1
C. f(x)＝3x－1 D. f(x)＝3x＋4
【解析】令2x＋1＝t，则x＝，所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.
2. 设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( D )
A. －3 B. ±3
C. －1 D. ±1
【解析】因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2，所以f(a)＝1，即或解得a＝1或－1.
3. 若一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( C )
A. y＝50x(x＞0) B. y＝100x(x＞0)
C. y＝(x＞0) D. y＝(x＞0)
【解析】由＝100，得y＝(x＞0).
4. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 0 1 2
f(x) 1 2 1
g(x) 2 1 0
则f(g(1))＝__2__；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是__1__．
【解析】依题意，f(g(1))＝f(1)＝2，f(g(0))＝f(2)＝1，f(g(2))＝f(0)＝1，g(f(0))＝g(1)＝1，g(f(1))＝g(2)＝0，g(f(2))＝g(1)＝1，因此当且仅当x＝1时，f(g(x))>g(f(x))成立，所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是1.
5. (课本P69练习1)如图，把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．
(第5题)
【解答】依题意可得圆的直径为50 cm，则该矩形的另一边长为，其中0配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)与g(x)分别由下表给出，则f(g(2))＝( B )
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 若f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为( B )
A. 1 B. －1
C. － D.
3. 已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝( B )
A. －1(x≠0)
B. －1(x≠1)
C. －1(x≠0)
D. －1(x≠1)
【解析】令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1).
4. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是( C )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【解析】由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝所以f(1)＝12－1＝0，f()＝()2＝2，f()＝()2＝3，而f(x)＝1无解．
二、 多项选择题
5. 若函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( AD )
A. f(x)＝f B. －f(x)＝f
C. ＝f D. f(－x)＝－f(x)
【解析】根据题意得f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f.又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x).
6. 对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[π]＝3，[－1.08]＝－2.已知函数f(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是( BCD )
A. 函数f(x)的最大值为1
B. 函数f(x)的最小值为0
C. 函数y＝f(x)的图象与直线y＝有无数个交点
D. f(x＋1)＝f(x)
【解析】由题意得f(x)＝x－[x]＝由解析式可得函数的部分图象如图所示．对于A，函数f(x)<1，故A错误；对于B，函数f(x)的最小值为0，故B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象与直线y＝有无数个交点，故C正确；对于D，函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝__x2－x＋2__．
8. 设函数f(x)＝则f＝____，f(x)的定义域是__[－1，0)∪(0，＋∞)__.
【解析】由题知f＝2×＋2＝，所以f＝f＝－×＝－，所以f＝f＝2×＋2＝.f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞).
四、 解答题
9. 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋. 当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1) 写出函数t的解析式；
【解答】由题设条件知，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，则解得所以t＝x＋.又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．
(2) 用列表法表示此函数；
【解答】x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
注：表中的部分数据是近似值．
(3) 画出函数t的图象．
【解答】 函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示．
(第9题答)
10. 已知函数f(x)＝
(1) 求f的值；
【解答】因为f＝＋5＝，所以f＝f＝－2×＋8＝－3.
(2) 若f(a)＝2，求a的值；
【解答】因为f(a)＝2，所以或或解得a＝－1或a＝3.
(3) 画出f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域(直接写出结果即可)．
【解答】画出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝6，函数f(x)的值域为(－∞，6].
(第10题答)
11. (多选)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝81x＋80，则f(x)的解析式可能为( AD )
A. f(x)＝9x＋8
B. f(x)＝－9x－8
C. f(x)＝9x＋10
D. f(x)＝－9x－10
【解析】设f(x)＝kx＋b，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝81x＋80，所以解得或则f(x)＝9x＋8或f(x)＝－9x－10.
12. (多选)下列函数图象经过变换后，过原点的是( AC )
A. y＝(x－1)2－4的图象向右平移1个单位长度
B. y＝(x－1)2－4的图象向左平移1个单位长度
C. y＝(x＋1)2－2的图象向上平移1个单位长度
D. y＝(x＋1)2－2的图象向下平移1个单位长度
【解析】y＝(x－1)2－4的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－2)2－4的图象，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点，A正确；y＝(x－1)2－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝x2－4的图象，当x＝0时，y＝－4，函数图象不过原点，B错误；y＝(x＋1)2－2的图象向上平移1个单位长度得到y＝(x＋1)2－1的图象，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点，C正确；y＝(x＋1)2－2的图象向下平移1个单位长度得到y＝(x＋1)2－3的图象，当x＝0时，y＝－2，函数图象不过原点，D错误．
13. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( B )
(第13题)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
【解析】由图知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A，D.又因为当x＝0时，f(0)＝1，所以排除选项C.
14. 若函数f＝x2＋，则f(x)＝__x2＋2(x∈R)__．
【解析】f＝x2＋＝＋2，又y＝x－的值域为R，所以f(x)＝x2＋2(x∈R).(共44张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
第3课时 函数的表示法(1)
学习 目标 1. 掌握函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法)以及各自的优缺点．
2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，会作函数的图象并从图象上获取有用的信息．
新知初探 基础落实
请同学阅读课本P67—P68，完成下列填空．
一、 概念表述
函数的表示法
列表法 图象法 解析法
定 义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法
优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 能较便利地通过计算等手段研究函数性质
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图象难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
注意：三种表示法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何一个函数都可以用解析法表示． ( )
(2) 任何一个函数都可以用图象法表示． ( )
(3) 函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示. ( )
(4) 函数图象一定是一条连续不断的曲线． ( )
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
探究
(课本P67例4)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
1
函数的表示方法
1
【解答】这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．用解析
法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表
法可将函数y＝f(x)表示为
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如图所示．
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
【解答】列表法：
图象法：如图所示．
解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
变式
某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
探究
视角1 待定系数法求解析式
(1) 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为_________________.
2
求函数的解析式
2－1
f(x)＝x2－x＋1
(2) 已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋9，则f(x)的解析式为____________________.
f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9
视角2 换元法(配凑法)求函数的解析式
(1) 已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式；
【解答】令x＋1＝t，则x＝t－1.将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，所以f(x)＝x2－5x＋6.
2－2
【解析】由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1①，又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2②，①＋②得3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1.
A
视角3 方程组(消去)法求函数的解析式
已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为 ( )
A. f(x)＝x＋1 B. f(x)＝x－1
C. f(x)＝－x＋1 D. f(x)＝－x－1
2－3
求函数解析式的常用方法：
(1) 待定系数法：已知函数类型时采用．
(2) 配凑法：从f(g(x))的解析式中凑出g(x)，再将解析式两边的g(x)换成x，得f(x)的解析式．
(3) 换元法：已知f(g(x))的解析式，令g(x)＝t，用t表示出x，代入f(g(x))的解析式，得到f(t)的解析式，再将t换成x，便得f(x)的解析式．
(4) 解方程组法：在已知中，含有关于两个不同变量的函数，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式．
探究
(课本P68例5)画出函数y＝|x|的图象．
3
分段函数
3
(1) 分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2) 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
注意：分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
变式
随堂内化 及时评价
1. 若f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是 ( )
A. f(x)＝3x＋2 B. f(x)＝3x＋1
C. f(x)＝3x－1 D. f(x)＝3x＋4
A
D
C
4. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
【解析】依题意，f(g(1))＝f(1)＝2，f(g(0))＝f(2)＝1，f(g(2))＝f(0)＝1，g(f(0))＝g(1)＝1，g(f(1))＝g(2)＝0，g(f(2))＝g(1)＝1，因此当且仅当x＝1时，f(g(x))>g(f(x))成立，所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是1.
x 0 1 2
f(x) 1 2 1
g(x) 2 1 0
则f(g(1))＝____；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是____．
2
1
5. (课本P69练习1)如图，把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)与g(x)分别由下表给出，则f(g(2))＝ ( )
B
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
B
C
AD
【答案】BCD
三、 填空题
7. 已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝_______________．
[－1，0)∪(0，＋∞)
(1) 写出函数t的解析式；
(2) 用列表法表示此函数；
【解答】x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下：
注：表中的部分数据是近似值．
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
(3) 画出函数t的图象．
【解答】 函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示．
(2) 若f(a)＝2，求a的值；
(3) 画出f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域(直接写出结果即可)．
【解答】画出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝6，函数f(x)的值域为(－∞，6].
11. (多选)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝81x＋80，则f(x)的解析式可能为 ( )
A. f(x)＝9x＋8 B. f(x)＝－9x－8
C. f(x)＝9x＋10 D. f(x)＝－9x－10
AD
12. (多选)下列函数图象经过变换后，过原点的是 ( )
A. y＝(x－1)2－4的图象向右平移1个单位长度
B. y＝(x－1)2－4的图象向左平移1个单位长度
C. y＝(x＋1)2－2的图象向上平移1个单位长度
D. y＝(x＋1)2－2的图象向下平移1个单位长度
AC
【解析】y＝(x－1)2－4的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－2)2－4的图象，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点，A正确；y＝(x－1)2－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝x2－4的图象，当x＝0时，y＝－4，函数图象不过原点，B错误；y＝(x＋1)2－2的图象向上平移1个单位长度得到y＝(x＋1)2－1的图象，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点，C正确；y＝(x＋1)2－2的图象向下平移1个单位长度得到y＝(x＋1)2－3的图象，当x＝0时，y＝－2，函数图象不过原点，D错误．
【解析】由图知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A，D.又因为当x＝0时，f(0)＝1，所以排除选项C.
B
x2＋2(x∈R)
