3.2 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义法证明函数单调性的步骤． 2. 会用图象求函数的单调区间，能利用函数单调性解决一些简单问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P76—P77，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I，当x1
都有 都有
结论 那么就称函数f(x)在区间I上是 函数 那么就称函数f(x)在区间I上是 函数
图示
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的 ．
3. 单调性的定义辨析
(1) 注意x1，x2的任意性．
(2) I D，单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
(3) 一个函数出现两个或两个以上的单调递增(减)区间时，要用“ ”或“ ”连接，不能用“∪”连接．
(4) 函数f(x)在区间I上是增函数 x1，x2∈I，x10 x1，x2∈I，x10.
函数f(x)在区间I上是减函数 x1，x2∈I，x1f(x2) x1，x2∈I，x1二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( )
(2) 若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).( )
(3) 若函数f(x)在定义域上有f(1)(4) 若函数f(x)在区间D上是增函数，则函数－f(x)在区间D上是减函数．( )
典例精讲能力初成
探究1 函数单调性的判断与证明
例1 (课本P78例1)根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：
变式1 (课本P79例3补充)求证：函数f(x)＝x＋在区间(0，2)上是减函数．
变式2 已知函数f(x)＝，判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
探究2 求函数的单调区间
1. 基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件 单调递 增区间 单调递 减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k>0 无
k<0 无 _
反比例函数 k>0 无
k<0 _ _ 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a>0 _ _ _ _
a<0 _ _ ＋∞))
视角1 确定不含参函数的单调性(区间)
例2-1 (1) 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，并判断在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
(例2-1(1))
(2) 作出函数f(x)＝的图象，并求函数f(x)的单调区间．
(1) 函数单调区间的两种求法：①图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间；②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”或“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
变式 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A. [1，2] B. [－1，0]
C. [0，2] D. [2，＋∞)
视角2 确定含参函数的单调性(区间)
例2-2 讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
变式 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为 ．
随堂内化及时评价
1. 下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A. y＝－x＋1 B. y＝3x－1
C. y＝x2－4x＋5 D. y＝
2. 已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，－2] B. [－2，＋∞)
C. [－6，＋∞) D. (－∞，－6]
3. 若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
4. (多选)下列说法能判断函数f(x)在区间(a，b)上单调递增的有( )
A. 对于任意的x1，x2∈(a，b)，当x1>x2时，都有f(x1)－f(x2)>0恒成立
B. 对于任意的x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，都有>0恒成立
C. 存在x1，x2∈(a，b)，使得>0成立
D. 对于任意的a0恒成立，并且对于任意的≤x10恒成立
5. (课本P79练习4)画出反比例函数y＝的图象．
(1) 这个函数的定义域是什么？
(2) 它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若定义在区间[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
(第1题)
A. [－2，－1] B. [－1，1]
C. [－2，0] D. [－1，2]
2. 若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 ( )
A. (－∞，－3)
B. (0，＋∞)
C. (3，＋∞)
D. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
3. 函数f(x)＝－的单调递增区间为( )
A. (－∞，0)
B. (－∞，0)∪(0，＋∞)
C. R
D. (－∞，0)和(0，＋∞)
4. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，在区间(－∞，1)上满足(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列关系式中一定成立的是( )
A. f(－1)C. f(－2)>f(3) D. f(0)＝0
5. “函数f(x)在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是( )
A. “存在a，b∈[1，2]，使得aB. “存在a，b∈[1，2]，使得aC. “存在a∈(1，2]，使得f(a)≤f(1)”
D. “存在a∈(1，2)，使得f(a)≥f(2)”
二、 多项选择题
6. 下列说法正确的是( )
A. 已知f(x)是定义在[－3，3]上的函数，且f(－3)>f(3)，所以f(x)在[－3，3]上单调递减
B. 函数y＝的单调递减区间是∪
C. 函数y＝的单调递减区间是
D. 已知f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则有f(a)－f(－a)>f(－b)－f(b)
三、 填空题
7. 函数f(x)＝的单调递减区间为 .
8. 函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是 .
四、 解答题
9. 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1) f(x)＝－；
(2) f(x)＝－(x－3)|x|.
10. 已知f(x)＝(x≠a).
(1) 若a＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2) 若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
11. 若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递减区间为( )
A. (－∞，0) B. [0，2]
C. (－∞，0)和[0，2] D. (－∞，2]
12. 已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－∞，－2) D. (－2，＋∞)
13. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是增函数，且f(x)<0
B. f(x)是增函数，且f(x)>0
C. f(x)是减函数，且f(x)<0
D. f(x)是减函数，且f(x)>03.2 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义法证明函数单调性的步骤． 2. 会用图象求函数的单调区间，能利用函数单调性解决一些简单问题．
新知初探基础落实
问题1：观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2：如何理解函数图象是上升的？
按从左向右的方向看函数的图象，图象上点的横坐标逐渐增大，即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，意味着函数值随着自变量的增大而增大．
一、 生成概念
先研究二次函数f(x)＝x2的单调性．
画出它的图象，可以看到：
图象在y轴左侧部分从左向右是下降的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小．用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈(－∞，0]，得到f(x1)＝x，f(x2)＝x，那么当x1f(x2).这时我们就说函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上单调递减．
(你能说明为什么f(x1)>f(x2)吗？)
图象在y轴右侧部分从左向右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大．用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈[0，＋∞)，得到f(x1)＝x，f(x2)＝x，那么当x1请同学阅读课本P76—P77，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I，当x1都有__f(x1)f(x2)__
结论 那么就称函数f(x)在区间I上是 __增__函数 那么就称函数f(x)在区间I上是 __减 函数
图示
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是__单调递增或单调递减__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的__单调区间__．
3. 单调性的定义辨析
(1) 注意x1，x2的任意性．
(2) I D，单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
(3) 一个函数出现两个或两个以上的单调递增(减)区间时，要用“__和__”或“__，__”连接，不能用“∪”连接．
(4) 函数f(x)在区间I上是增函数 x1，x2∈I，x10 x1，x2∈I，x10.
函数f(x)在区间I上是减函数 x1，x2∈I，x1f(x2) x1，x2∈I，x1三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
(2) 若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).( √ )
(3) 若函数f(x)在定义域上有f(1)(4) 若函数f(x)在区间D上是增函数，则函数－f(x)在区间D上是减函数．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 函数单调性的判断与证明
例1 (课本P78例1)根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．
【解答】函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R. x1，x2∈R，且x10时，k(x1－x2)<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时f(x)＝kx＋b是减函数．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：
变式1 (课本P79例3补充)求证：函数f(x)＝x＋在区间(0，2)上是减函数．
【解答】设 x1，x2∈(0，2)，且x10，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝x＋在(0，2)上是减函数．
变式2 已知函数f(x)＝，判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
【解答】由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，证明如下：设 x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝.又x1＞1，x2＞1，所以x－1＞0，x－1＞0，x1＋x2＞0，x1－x2＜0，所以＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
探究2 求函数的单调区间
1. 基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件 单调递 增区间 单调递 减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k>0 __R__ 无
k<0 无 __R__
反比例函数 k>0 无 __(－∞，0)， (0，＋∞)__
k<0 __(－∞，0)， (0，＋∞)__ 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a>0 __ ＋∞))__ __ －\f(b,2a)))__
a<0 __ －\f(b,2a)))__ ＋∞))
视角1 确定不含参函数的单调性(区间)
例2-1 (1) 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，并判断在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
(例2-1(1))
【解答】y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．
(2) 作出函数f(x)＝的图象，并求函数f(x)的单调区间．
【解答】作出f(x)＝的图象如图所示，由图可知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞).
(例2-1(2)答)
(1) 函数单调区间的两种求法：①图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间；②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”或“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
变式 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( A )
A. [1，2] B. [－1，0]
C. [0，2] D. [2，＋∞)
【解析】作出函数f(x)＝|x－2|x＝的图象如图所示，由图可得，函数的单调递减区间是[1，2].
(变式答)
视角2 确定含参函数的单调性(区间)
例2-2 讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
【解答】f(x)＝＝a＋，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x10，(x2＋2)(x1＋2)>0.若a<，则1－2a>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．若a>，则1－2a<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
变式 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为__(4，12)__．
【解析】函数f(x)＝－x2＋ax＋1图象的对称轴为x＝，依题意，2<<6，得4随堂内化及时评价
1. 下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( B )
A. y＝－x＋1 B. y＝3x－1
C. y＝x2－4x＋5 D. y＝
2. 已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( B )
A. (－∞，－2] B. [－2，＋∞)
C. [－6，＋∞) D. (－∞，－6]
【解析】函数y＝x2＋2(a－2)x＋5的对称轴为x＝2－a，因为函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，所以2－a≤4，解得a≥－2.
3. 若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( B )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
【解析】由y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，知a<0.由y＝－在(0，＋∞)上是减函数，知b<0，所以y＝ax2＋bx图象的对称轴x＝－<0.又因为y＝ax2＋bx的图象开口向下，所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．
4. (多选)下列说法能判断函数f(x)在区间(a，b)上单调递增的有( AB )
A. 对于任意的x1，x2∈(a，b)，当x1>x2时，都有f(x1)－f(x2)>0恒成立
B. 对于任意的x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，都有>0恒成立
C. 存在x1，x2∈(a，b)，使得>0成立
D. 对于任意的a0恒成立，并且对于任意的≤x10恒成立
【解析】对于A，由函数单调的定义可知A正确；对于B，因为x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2时，>0恒成立，可得或恒成立，即或恒成立，所以函数f(x)在(a，b)上是增函数，故B正确；对于C，不能，例如f(x)＝x2，x∈(－2，4)时，－1<3，且＝>0，但函数f(x)＝x2在
(－2，4)上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误；对于D，由B可知f(x)在，内单调递增，例如图，满足f(x)在，内单调递增，但f(x)在(a，b)内不单调，故D错误．
(第4题答)
5. (课本P79练习4)画出反比例函数y＝的图象．
【解答】当k>0时，作出y＝的图象如图(1)所示．当k<0时，作出y＝的图象如图(2)所示．
图(1) 图(2)
(第5题答)
(1) 这个函数的定义域是什么？
【解答】定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2) 它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论．
【解答】当k>0时，f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数．当k<0时，f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．证明如下：当k>0时， x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以当k>0时，f(x)＝在(－∞，0)上是减函数．同理，可以证明其他三种情况．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若定义在区间[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( B )
(第1题)
A. [－2，－1] B. [－1，1]
C. [－2，0] D. [－1，2]
2. 若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 ( C )
A. (－∞，－3)
B. (0，＋∞)
C. (3，＋∞)
D. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
3. 函数f(x)＝－的单调递增区间为( D )
A. (－∞，0)
B. (－∞，0)∪(0，＋∞)
C. R
D. (－∞，0)和(0，＋∞)
【解析】f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由反比例函数的性质可知f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
4. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，在区间(－∞，1)上满足(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列关系式中一定成立的是( B )
A. f(－1)C. f(－2)>f(3) D. f(0)＝0
【解析】由f(x)在(－∞，1)上满足(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增．对于A，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋2)＝f(1－2)，即f(3)＝f(－1)，故A错误；对于B，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋1)＝f(1－1)，即f(2)＝f(0)，因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以f(－1)5. “函数f(x)在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是( B )
A. “存在a，b∈[1，2]，使得aB. “存在a，b∈[1，2]，使得aC. “存在a∈(1，2]，使得f(a)≤f(1)”
D. “存在a∈(1，2)，使得f(a)≥f(2)”
【解析】若函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，即对任意的a，b∈[1，2]，使得a二、 多项选择题
6. 下列说法正确的是( CD )
A. 已知f(x)是定义在[－3，3]上的函数，且f(－3)>f(3)，所以f(x)在[－3，3]上单调递减
B. 函数y＝的单调递减区间是∪
C. 函数y＝的单调递减区间是
D. 已知f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则有f(a)－f(－a)>f(－b)－f(b)
【解析】对于A，设f(x)＝(x－1)2，x∈[－3，3]，则f(－3)＝16>4＝f(3)，但是f(x)在
[－3，3]上不单调，故A错误．对于B，y＝＝＝＋，所以函数y＝的单调递减区间是，，故B错误．对于C，令－6x2＋5x＋1≥0，解得
－≤x≤1，所以y＝的定义域为.又u＝－6x2＋5x＋1的单调递减区间是，所以y＝的单调递减区间是，故C正确．对于D，若a＋b>0，即a>－b，b>－a，所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)>f(－b)＋f(－a)，即f(a)－f(－a)>f(－b)－f(b)，故D正确．
三、 填空题
7. 函数f(x)＝的单调递减区间为____.
【解析】令－2x2＋x＋3≥0，解得－1≤x≤，所以函数f(x)的定义域为.又t＝－2x2＋x＋3的单调递减区间为，所以f(x)的单调递减区间为.
8. 函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是__(－∞，1)和__.
【解析】当x≥2或x≤1时，f(x)＝x2－3x＋2，对称轴为x＝；当1－x2＋3x－2，对称轴为x＝，作出f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)的单调递减区间为
(－∞，1)和.
(第8题答)
四、 解答题
9. 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1) f(x)＝－；
【解答】画出f(x)＝－的图象如图(1)所示，可得其单调递增区间为(－∞，－2)和
(－2，＋∞)，无单调递减区间．
图(1)
(2) f(x)＝－(x－3)|x|.
【解答】f(x)＝－(x－3)|x|＝作出该函数的图象如图(2)所示，观察图象可知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0]和.
图(2)
(第9题答)
10. 已知f(x)＝(x≠a).
(1) 若a＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
【解答】当a＝－2时，f(x)＝＝＝1－.因为函数g(x)＝－在(－∞，
－2)上单调递增，所以函数f(x)＝1－在(－∞，－2)上单调递增．
(2) 若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
【解答】f(x)＝＝＝1＋.任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＋∞)上单调递减，所以＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0，所以011. 若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递减区间为( C )
A. (－∞，0) B. [0，2]
C. (－∞，0)和[0，2] D. (－∞，2]
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的对称轴为x＝2，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和[0，2].
(第11题答)
12. 已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( A )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－∞，－2) D. (－2，＋∞)
【解析】作出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)＞f(a) 4－a＞a，解得a＜2.
13. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是( D )
A. f(x)是增函数，且f(x)<0
B. f(x)是增函数，且f(x)>0
C. f(x)是减函数，且f(x)<0
D. f(x)是减函数，且f(x)>0
【解析】当x>0时，f(x)＝f(·)＝[f()]2>0.设x1>x2>0，则>1，由已知得f<1，所以f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝ff(x2)－f(x2)＝f(x2)<0，即f(x1)第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义法证明函数单调性的步骤．
2. 会用图象求函数的单调区间，能利用函数单调性解决一些简单问题．
新知初探 基础落实
问题1：观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2：如何理解函数图象是上升的？
按从左向右的方向看函数的图象，图象上点的横坐标逐渐增大，即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，意味着函数值随着自变量的增大而增大．
请同学阅读课本P76—P77，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 增函数与减函数的定义
f(x1)f(x1)>f(x2)
增
减
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是_____________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的___________．
3. 单调性的定义辨析
(1) 注意x1，x2的任意性．
(2) I D，单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
(3) 一个函数出现两个或两个以上的单调递增(减)区间时，要用“_____”或“_____”连接，不能用“∪”连接．
单调递增或单调递减
单调区间
和
，
＜
＜
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．
( )
(2) 若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3). ( )
(3) 若函数f(x)在定义域上有f(1)(4) 若函数f(x)在区间D上是增函数，则函数－f(x)在区间D上是减函数． ( )
×
√
×
√
典例精讲 能力初成
探究
(课本P78例1)根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．
1
函数单调性的判断与证明
1
【解答】函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R. x1，x2∈R，且x10时，k(x1－x2)<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时f(x)＝kx＋b是减函数．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：
变式1
变式2
探究
1. 基本初等函数的单调区间如下表所示：
2
求函数的单调区间
R
R
(－∞，0)，(0，＋∞)
(－∞，0)，(0，＋∞)
视角1 确定不含参函数的单调性(区间)
(1) 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，并判断在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
【解答】y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．
2－1
(1) 函数单调区间的两种求法：①图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间；②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”或“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
变式
A
函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是 ( )
A. [1，2] B. [－1，0] C. [0，2] D. [2，＋∞)
视角2 确定含参函数的单调性(区间)
2－2
变式
已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为_______．
(4，12)
随堂内化 及时评价
B
2. 已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
( )
A. (－∞，－2] B. [－2，＋∞)
C. [－6，＋∞) D. (－∞，－6]
B
【解析】函数y＝x2＋2(a－2)x＋5的对称轴为x＝2－a，因为函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，所以2－a≤4，解得a≥－2.
B
【答案】AB
【解答】定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若定义在区间[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为
( )
A. [－2，－1]
B. [－1，1]
C. [－2，0]
D. [－1，2]
B
2. 若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是
( )
A. (－∞，－3)
B. (0，＋∞)
C. (3，＋∞)
D. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
C
D
4. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，在区间(－∞，1)上满足(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列关系式中一定成立的是 ( )
A. f(－1)f(3) D. f(0)＝0
B
【解析】由f(x)在(－∞，1)上满足(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增．对于A，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋2)＝f(1－2)，即f(3)＝f(－1)，故A错误；对于B，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋1)＝f(1－1)，即f(2)＝f(0)，因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以f(－1)5. “函数f(x)在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是 ( )
A. “存在a，b∈[1，2]，使得aB. “存在a，b∈[1，2]，使得aC. “存在a∈(1，2]，使得f(a)≤f(1)”
D. “存在a∈(1，2)，使得f(a)≥f(2)”
B
【解析】若函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，即对任意的a，b∈[1，2]，使得a【答案】CD
8. 函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是___________________.
四、 解答题
9. 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
图(1)
9. 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(2) f(x)＝－(x－3)|x|.
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的
对称轴为x＝2，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和[0，2].
C
【解析】作出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)＞f(a) 4－a＞a，解得a＜2.
A
13. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是 ( )
A. f(x)是增函数，且f(x)<0 B. f(x)是增函数，且f(x)>0
C. f(x)是减函数，且f(x)<0 D. f(x)是减函数，且f(x)>0
D