第2课时 函数的单调性与最值
学习 目标 1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2. 会借助单调性求一些简单函数在给定区间上的最值，掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
函数最值的概念
最值 条件 几何意义
最 大值 ① x∈D，都有f(x)≤M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最 小值 ① x∈D，都有f(x)≥M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何函数都有最大值、最小值．( )
(2) 如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．( )
(3) 如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数f(x)的最大值是f(b).( )
(4) 如果函数的值域是确定的，则它一定有最值．( )
典例精讲能力初成
探究1 函数单调性的应用
视角1 利用单调性比较大小
例1-1 设函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(0)＝f(2)，则( )
A. f(－2)B. fC. fD. c利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，如函数y＝f(x)在定义域的某个子区间上单调递增(递减)，则对区间内任意两个值x1，x2，且x1f(x2)).
视角2 利用单调性解不等式
例1-2 已知f(x)为R上的增函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围是( )
A. (－∞，1)
B. (－1，0)∪(0，1)
C. (0，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性脱去“f”，使其转化为求解具体的不等式，此时应特别注意函数的定义域．
视角3 利用函数的单调性求参数的取值范围
例1-3 若函数f(x)＝满足：对任意的实数x1≠x2，<0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
利用单调性求参数的值(取值范围)的思路：根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数除了要注意各段的单调性之外，还要注意衔接点的取值．
探究2 函数的最值
视角1 图象法求函数最值
例2-1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值和最小值．
变式 已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
视角2 单调性法求函数最值
例2-2 (课本P81例5)已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
求最值的常用方法：
(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后利用基本不等式求出最值．
(4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
变式 已知函数f(x)＝x－.
(1) 求证：f(x)在[0，＋∞)上是增函数；
(2) 求f(x)在[1，4]上的最大值和最小值．
探究3 函数最值的实际应用
(课本P80例4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝
－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)
(例3)
随堂内化及时评价
1. 若函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
(第1题)
A. f(－2)，0 B. 0，2
C. f(－2)，2 D. f(2)，2
2. 已知函数f(x)＝在R上是减函数，则整数a的取值可以是( )
A. －2 B. 2
C. 0 D. 1
3. 函数y＝x＋的最小值为 ．
4. 若函数f(x)＝x2－4x＋8，x∈[1，a]，它的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是 ．
5. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足<0，且f＝3，f(3)＝9，则不等式f(x)>3x的解集为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为( )
A. [－6，2] B. [－6，1]
C. [0，2] D. [0，1]
2. 若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0，3] B. [2，＋∞)
C. (0，＋∞) D. [2，3]
4. 设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论正确的是( )
A. y＝在R上为减函数
B. y＝|f(x)|在R上为增函数
C. y＝－在R上为增函数
D. y＝－f(x)在R上为减函数
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( )
A. 若存在x1，x2∈R，当x1B. 函数f(x)＝在定义域内单调递减
C. 若函数f(x)＝x2－mx的单调递减区间是(－∞，1]，则m＝2
D. 若g(x)在R上单调递增，则g(－1)6. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，若f(t)<0，则( )
A. f(t－2)>0 B. f(t－1)<0
C. f(2－t)<0 D. f(4－t)>f(2)
三、 填空题
7. 已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数．若f(2m－1)－f(1－m)>0，则实数m的取值范围是 ．
8. 已知函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a＝ ．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x－.
(1) 判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义进行证明；
(2) 求f(x)在区间[2，6]上的最大值与最小值．
10. 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1) 当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2) 若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
11. (2025·广州八区期末)若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数k的取值范围是 ．
12. (2025·蚌埠期末)已知函数f(x)满足： x1，x2∈R，当x1≠x2时，>2恒成立，且f(2)＝12，若f(m2)≥2m2＋8，则实数m的取值范围是( )
A. [－，]
B. [－2，2]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. (－∞，－2]∪[2，＋∞)
13. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f＝f(m)－f(n)，且当x>1时，f(x)>0.
(1) 讨论函数f(x)的单调性，并说明理由；
(2) 若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)－f(3x)>3.第2课时 函数的单调性与最值
学习 目标 1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2. 会借助单调性求一些简单函数在给定区间上的最值，掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
新知初探基础落实
问题1：如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．
函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
问题2：你是怎样理解函数图象最高点的？
图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
一、 概念表述
函数最值的概念
最值 条件 几何意义
最大值 ① x∈D，都有f(x)≤M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ① x∈D，都有f(x)≥M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何函数都有最大值、最小值．( × )
(2) 如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．( √ )
(3) 如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数f(x)的最大值是f(b).( × )
(4) 如果函数的值域是确定的，则它一定有最值．( × )
典例精讲能力初成
探究1 函数单调性的应用
视角1 利用单调性比较大小
例1-1 设函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(0)＝f(2)，则( B )
A. f(－2)B. fC. fD. c【解析】因为f(0)＝f(2)，所以f(x)的对称轴为x＝1.因为f(x)的图象开口向上，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，因为－2<0<，所以f(－2)>f(0)>f＝f，f(0)＝c.
利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，如函数y＝f(x)在定义域的某个子区间上单调递增(递减)，则对区间内任意两个值x1，x2，且x1f(x2)).
视角2 利用单调性解不等式
例1-2 已知f(x)为R上的增函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围是( C )
A. (－∞，1)
B. (－1，0)∪(0，1)
C. (0，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】因为f(x)为R上的增函数，所以由f>f(1)，得>1，即－1＝>0，即x(1－x)>0，解得0求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性脱去“f”，使其转化为求解具体的不等式，此时应特别注意函数的定义域．
视角3 利用函数的单调性求参数的取值范围
例1-3 若函数f(x)＝满足：对任意的实数x1≠x2，<0恒成立，则实数a的取值范围为( B )
A. B.
C. D.
【解析】因为对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，所以f(x)是R上的减函数，所以解得a∈.
利用单调性求参数的值(取值范围)的思路：根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数除了要注意各段的单调性之外，还要注意衔接点的取值．
探究2 函数的最值
视角1 图象法求函数最值
例2-1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值和最小值．
【解答】作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(例2-1答)
变式 已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
【解答】f(x)＝－|x－1|＋2＝作出函数的图象如图所示．由图象可知，函数f(x)＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].
(变式答)
视角2 单调性法求函数最值
例2-2 (课本P81例5)已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
【解答】 x1，x2∈[2，6]，且x10，(x1－1)·(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减．因此，函数f(x)＝在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
求最值的常用方法：
(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后利用基本不等式求出最值．
(4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
变式 已知函数f(x)＝x－.
(1) 求证：f(x)在[0，＋∞)上是增函数；
【解答】任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，所以f(x1)(2) 求f(x)在[1，4]上的最大值和最小值．
【解答】由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又x∈[1，4]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝－1；当x＝4时，f(x)取得最大值f(4)＝.
探究3 函数最值的实际应用
(课本P80例4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝
－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)
(例3)
【解答】画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象如图所示，显然函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
(例3答)
随堂内化及时评价
1. 若函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
(第1题)
A. f(－2)，0 B. 0，2
C. f(－2)，2 D. f(2)，2
【解析】由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.
2. 已知函数f(x)＝在R上是减函数，则整数a的取值可以是( A )
A. －2 B. 2
C. 0 D. 1
【解析】由题意可得解得－2≤a≤－1，所以结合选项，整数a的取值可以为－2.
3. 函数y＝x＋的最小值为__1__．
【解析】方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0，配方得y＝＋.又因为t≥0，所以y≥＋＝1，故函数y＝x＋ 的最小值为1.
方法二(单调性法)：由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y＝x 和y＝ 在定义域[1，＋∞)内均为增函数，故函数y＝x＋ 在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
4. 若函数f(x)＝x2－4x＋8，x∈[1，a]，它的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是__[3，＋∞)__．
【解析】由题意，函数f(x)＝x2－4x＋8表示开口向上，且对称轴为x＝2的抛物线，要使得当x∈[1，a]时，函数f(x)的最大值为f(a)，则满足|a－2|≥|1－2|且a>1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞).
5. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足<0，且f＝3，f(3)＝9，则不等式f(x)>3x的解集为__(0，3)__．
【解析】不妨设x1>x2>0，由<0，故x2f(x1)－x1f(x2)<0，即<.令g(x)＝，则g(x1)3x，不等式两边同除以x得>3，因为f(3)＝9，所以g(3)＝＝3，即g(x)>g(3)，所以x<3.综上，0配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为( A )
A. [－6，2] B. [－6，1]
C. [0，2] D. [0，1]
2. 若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( D )
A. B.
C. D.
【解析】y＝x2＋(2a－1)x＋1的对称轴为x＝，若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则≥2，解得a≤－.
3. 已知函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是( D )
A. (0，3] B. [2，＋∞)
C. (0，＋∞) D. [2，3]
【解析】因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得2≤a≤3.
4. 设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论正确的是( D )
A. y＝在R上为减函数
B. y＝|f(x)|在R上为增函数
C. y＝－在R上为增函数
D. y＝－f(x)在R上为减函数
【解析】对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，故A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，故B错误；对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，故C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x10，则y＝－f(x)在R上为减函数，故D正确．
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( CD )
A. 若存在x1，x2∈R，当x1B. 函数f(x)＝在定义域内单调递减
C. 若函数f(x)＝x2－mx的单调递减区间是(－∞，1]，则m＝2
D. 若g(x)在R上单调递增，则g(－1)【解析】 x1，x2∈R，当x16. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，若f(t)<0，则( ACD )
A. f(t－2)>0 B. f(t－1)<0
C. f(2－t)<0 D. f(4－t)>f(2)
【解析】函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由f(t)<0，f(0)＝f(2)＝a>0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)＝f(x2)＝0，其中t∈(x1，x2).对于A，t∈(x1，x2)，则t－2<0，所以f(t－2)>f(0)>0，故A正确；对于B，t∈(x1，x2)，则t－1可能小于0，也可能属于(x1，x2)，故f(t－1)的符号不确定，故B错误；对于C，根据对称性可得f(2－t)＝f(t)<0，故C正确；对于D，由于t∈(x1，x2)，且x2∈(1，2)，所以4－t>2，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(4－t)>f(2)，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数．若f(2m－1)－f(1－m)>0，则实数m的取值范围是____．
【解析】因为f(2m－1)－f(1－m)>0，所以f(2m－1)>f(1－m).又函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数，所以有解得8. 已知函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a＝__2__．
【解析】当x≥0时，y＝－＝－1>－1.因为f(x)的最小值为－1，所以函数y＝x2＋ax在(－∞，0)上取得最小值－1，则解得a＝2.
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x－.
(1) 判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义进行证明；
【解答】函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，即(x1－x2)(1＋|<0，所以f(x1)(2) 求f(x)在区间[2，6]上的最大值与最小值．
【解答】由(1)知，f(x)在[2，6]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝2－＝0，f(x)max＝f(6)＝6－＝.
10. 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1) 当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
【解答】当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，f(x)图象的对称轴为x＝－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为.
(2) 若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
【解答】因为函数f(x)图象的对称轴为x＝－.当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，解得a＝－，满足题意；当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，则－2a－1＝1，解得a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.
11. (2025·广州八区期末)若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数k的取值范围是____．
【解析】因为函数f(x)＝为R上的增函数，所以解得k≥，所以实数k的取值范围为.
12. (2025·蚌埠期末)已知函数f(x)满足： x1，x2∈R，当x1≠x2时，>2恒成立，且f(2)＝12，若f(m2)≥2m2＋8，则实数m的取值范围是( C )
A. [－，]
B. [－2，2]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. (－∞，－2]∪[2，＋∞)
【解析】不妨设x1>x2，>2 f(x1)－f(x2)>2x1－2x2，故f(x1)－2x1>f(x2)－2x2，令F(x)＝f(x)－2x，则F(x1)>F(x2)，所以F(x)＝f(x)－2x在R上单调递增．因为f(2)＝12，所以F(2)＝f(2)－4＝8，f(m2)≥2m2＋8 f(m2)－2m2≥8 F(m2)≥F(2)，所以m2≥2，解得m∈
(－∞，－]∪[，＋∞).
13. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f＝f(m)－f(n)，且当x>1时，f(x)>0.
(1) 讨论函数f(x)的单调性，并说明理由；
【解答】f(x)在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，不妨取任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，由题意f＝f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2) 若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)－f(3x)>3.
【解答】由f＝f(m)－f(n)，可得f(m)＝f＝f(mn)－f(n)，即f(mn)＝f(m)＋f(n).由f(2)＝1，可得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.令m＝4，n＝2，则f(8)＝f(4)＋f(2)＝3，所以不等式f(x＋3)－f(3x)>3，即f(x＋3)－f(3x)>f(8)，即f>f(8).由(1) 可知f(x)在定义域内单调递增，所以只需解得03的解集为.(共44张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
第2课时 函数的单调性与最值
学习 目标 1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
2. 会借助单调性求一些简单函数在给定区间上的最值，掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
新知初探 基础落实
问题1：如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．
函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
问题2：你是怎样理解函数图象最高点的？
图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
一、 概念表述
函数最值的概念
最值 条件 几何意义
最大值 ① x∈D，都有f(x)≤M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ① x∈D，都有f(x)≥M； ② x0∈D，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 任何函数都有最大值、最小值． ( )
(2) 如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的． ( )
(3) 如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数f(x)的最大值是f(b). ( )
(4) 如果函数的值域是确定的，则它一定有最值． ( )
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
视角1 利用单调性比较大小
设函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(0)＝f(2)，则 ( )
1
函数单调性的应用
B
1－1
利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，如函数y＝f(x)在定义域的某个子区间上单调递增(递减)，则对区间内任意两个值x1，x2，且x1f(x2)).
1－2
C
求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性脱去“f”，使其转化为求解具体的不等式，此时应特别注意函数的定义域．
1－3
B
利用单调性求参数的值(取值范围)的思路：根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数除了要注意各段的单调性之外，还要注意衔接点的取值．
探究
2
函数的最值
【解答】作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
2－1
变式
已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
2－2
求最值的常用方法：
(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后利用基本不等式求出最值．
(4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
变式
探究
(课本P80例4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)
3
函数最值的实际应用
3
随堂内化 及时评价
1. 若函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
( )
A. f(－2)，0
B. 0，2
C. f(－2)，2
D. f(2)，2
C
【解析】由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.
A
1
4. 若函数f(x)＝x2－4x＋8，x∈[1，a]，它的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】由题意，函数f(x)＝x2－4x＋8表示开口向上，且对称轴为x＝2的抛物线，要使得当x∈[1，a]时，函数f(x)的最大值为f(a)，则满足|a－2|≥|1－2|且a>1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞).
[3，＋∞)
(0，3)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为 ( )
A. [－6，2] B. [－6，1]
C. [0，2] D. [0，1]
A
D
D
D
CD
6. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，若f(t)<0，则 ( )
A. f(t－2)>0 B. f(t－1)<0 C. f(2－t)<0 D. f(4－t)>f(2)
ACD
【解析】函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(－∞，1)上单
调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由f(t)<0，f(0)＝f(2)＝a>0可
得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)＝f(x2)＝0，其中t∈
(x1，x2).对于A，t∈(x1，x2)，则t－2<0，所以f(t－2)>f(0)>0，故
A正确；对于B，t∈(x1，x2)，则t－1可能小于0，也可能属于(x1，x2)，故f(t－1)的符号不确定，故B错误；对于C，根据对称性可得f(2－t)＝f(t)<0，故C正确；对于D，由于t∈(x1，x2)，且x2∈(1，2)，所以4－t>2，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(4－t)>f(2)，故D正确．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数．若f(2m－1)－f(1－
m)>0，则实数m的取值范围是__________．
2
10. 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1) 当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
10. 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(2) 若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
C
