第3课时 函数的奇偶性
学习 目标 1. 理解函数奇偶性的定义． 2. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法，会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P82—P84，完成下列填空．
一、 概念表述
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )
(2) 存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3) 函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数．( )
(4) 若y＝f(x)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1).( )
典例精讲能力初成
探究1 函数奇偶性的判断
例1 (课本P84例6)判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4；
(2) f(x)＝x5；
(3) f(x)＝x＋；
(4) f(x)＝.
判断函数奇偶性的方法：(1) 定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2) 图象法．
变式 判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)＝x3－；
(2) f(x)＝；
(3) f(x)＝x＋1；
(4) f(x)＝＋.
探究2 奇、偶函数图象性质的应用
视角1 根据图象求解析式
例2-1 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(例2-1)
(1) 补出f(x)的完整图象；
(2) 解不等式xf(x)>0.
巧用奇偶性作函数图象的步骤：(1) 确定函数的奇偶性；(2) 作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；(3) 根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
变式1 (课本P85练习1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．
(1)
(2)
变式2 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(变式2)
(1) 请补出函数y＝f(x)的完整图象；
(2) 根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3) 根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
视角2 函数图象的识别
例2-2 函数f(x)＝的图象大致为( )
A B
C D
变式 函数f(x)＝的大致图象是( )
A B
C D
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝－x的图象( )
A. 关于y轴对称
B. 关于直线y＝x对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y＝－x对称
2. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，那么g(1)＝( )
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
3. 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D. 1
4. (2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，x∈R，且f(x)是奇函数，则a＝ ．
5. 设f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝ ；f(a)＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列说法错误的是( )
A. 函数y＝是奇函数
B. 函数y＝x2是偶函数
C. 函数y＝x2，x∈[－1，1)是偶函数
D. 函数y＝(x－1)2＋4既不是奇函数，也不是偶函数
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A. y＝ B. y＝－x2
C. y＝－|x| D. y＝|x|＋1
3. 函数f(x)＝(a，b，c∈R)的图象不可能为( )
A B
C D
4. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)＝( )
A. －7 B. －5
C. 5 D. 7
二、 多项选择题
5. 下列判断正确的是( )
A. f(x)＝(x－1)是偶函数
B. f(x)＝是奇函数
C. f(x)＝＋是奇函数
D. f(x)＝是非奇非偶函数
6. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是( )
A. y＝f(|x|) B. y＝f(x2)
C. y＝x·f(x) D. y＝f(x)＋x
三、 填空题
7. (课本P86习题11改)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在R上的解析式为 ．
8. 已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使f(x)>0的x的取值范围为 ．
(第8题)
四、 解答题
9. (课本P85 练习3)
(1) 从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
(2) 从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
10. 已知函数f(x)＝mx＋，且f(1)＝3.
(1) 求实数m的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性．
11. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意．一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川、河流、森林、草原，营造出一个精神和自然聚合的空间．图(2)是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
图(1) 图(2)
(第11题)
A. y＝|x| B. y＝x
C. y＝ D. y＝
12. 若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
(第12题)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
13. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，对任意的x1，x2∈(－∞，0)，当x1≠x2时，>0恒成立，且f(1)＝0，则关于x的不等式f(x)<0的解集为 ．
14. (多选)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则( )
A. f(0)＝0 B. f(1)＝0
C. f(16)＝16f(2) D. f(x)为奇函数第3课时 函数的奇偶性
学习 目标 1. 理解函数奇偶性的定义． 2. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法，会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
新知初探基础落实
问题1：观察f(x)＝x2和g(x)＝2－的图象，你能发现什么共同的特征？
两个函数都关于y轴对称，且都有最值．
一、 生成概念
问题2：从形的角度来看，发现两个函数都是关于y轴对称，如果没有图，从解析式的角度能得出这样的性质吗？
以f(x)＝x2为例，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x) … 9 4 1 0 1 4 9 …
可以发现对于f(x)＝x2，有f(－3)＝f(3)＝9，f(－2)＝f(2)＝4，f(－1)＝f(1)＝1.
【追问1】 对于定义域为R的这样的一个函数，列表法显然是无法完成的．那么类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
这样的变化过程写不完，我们能发现的是f(－x)＝f(x).
实际上， x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，这时称函数y＝f(x)＝x2为偶函数．
【追问2】 f(x)＝x2，x∈[－1，4]是否也具有上述性质？
不具有．对于定义域中的所有x都得成立，即 x∈R，－x∈R，f(－x)＝f(x)，在这个过程中，我们发现图象要关于y轴对称，定义域必须关于原点对称．显然此函数的定义域不满足．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(1) 定义域特征：关于原点对称；
(2) 代数特征：f(－x)＝f(x)；
(3) 几何特征：偶函数的图象关于y轴对称．
问题3：观察f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现什么共同的特征？
从形的角度来看，发现两个函数都是关于原点对称，那么从数量关系的角度来看，它们又具有何种关系呢？
以f(x)＝x为例，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x) … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
可以发现对于f(x)＝x，有f(－3)＝－f(3)，f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1).
实际上， x∈R，都有f(－x)＝－x＝－f(x)，这时称函数y＝f(x)＝x为奇函数．
【追问】 f(x)＝x，x∈[－1，4]是否也具有上述性质？
不具有．对于定义域中的所有x都得成立，即 x∈R，－x∈R，f(－x)＝－f(x)，在这个过程中，我们发现图象要关于原点轴对称，定义域必须关于原点对称．显然此函数的定义域不满足．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
(1) 定义域特征：关于原点对称；
(2) 代数特征：f(－x)＝－f(x)；
(3) 几何特征：奇函数的图象关于原点对称．
请同学阅读课本P82—P84，完成下列填空．
二、 概念表述
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)是偶函数 关于__y轴__ 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)是奇函数 关于__原点__ 对称
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( × )
(2) 存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( √ )
(3) 函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数．( × )
(4) 若y＝f(x)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1).( × )
典例精讲能力初成
探究1 函数奇偶性的判断
例1 (课本P84例6)判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4；
【解答】函数f(x)＝x4的定义域为R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数f(x)＝x4为偶函数．
(2) f(x)＝x5；
【解答】函数f(x)＝x5的定义域为R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x5为奇函数．
(3) f(x)＝x＋；
【解答】函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
(4) f(x)＝.
【解答】函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝为偶函数．
判断函数奇偶性的方法：(1) 定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2) 图象法．
变式 判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)＝x3－；
【解答】函数f(x)＝x3－的定义域为{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)，所以函数f(x)＝x3－是奇函数．
(2) f(x)＝；
【解答】因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
(3) f(x)＝x＋1；
【解答】函数f(x)＝x＋1的定义域为R，f(－x)＝－x＋1，不满足对 x∈R，有f(x)＝
f(－x)或f(－x)＝－f(x)恒成立，所以该函数是非奇非偶函数．
(4) f(x)＝＋.
【解答】要使得f(x)有意义，则解得x＝±1，故f(x)的定义域为{－1，1}，此时f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数也是偶函数．
探究2 奇、偶函数图象性质的应用
视角1 根据图象求解析式
例2-1 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(例2-1)
(1) 补出f(x)的完整图象；
【解答】先描出(1，1)，(2，0)关于原点对称的点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图所示．
(例2-1答)
(2) 解不等式xf(x)>0.
【解答】xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).
巧用奇偶性作函数图象的步骤：(1) 确定函数的奇偶性；(2) 作出函数在[0，＋∞)(或
(－∞，0])上对应的图象；(3) 根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，
＋∞))上对应的函数图象．
变式1 (课本P85练习1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．
(1)
【解答】
(2)
【解答】
变式2 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(变式2)
(1) 请补出函数y＝f(x)的完整图象；
【解答】由题意作出函数图象如图所示．
(变式2答)
(2) 根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
【解答】由图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
(3) 根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解答】由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2).
视角2 函数图象的识别
例2-2 函数f(x)＝的图象大致为( D )
A B
C D
【解析】f(x)＝的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除B，C；当x>0时，f(x)＝＝x－，易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，排除A.
变式 函数f(x)＝的大致图象是( B )
A B
C D
【解析】因为f(x)＝，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)>0，排除A，D，故B正确．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝－x的图象( C )
A. 关于y轴对称
B. 关于直线y＝x对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y＝－x对称
【解析】因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－
(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
2. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，那么g(1)＝( B )
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
【解析】由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，所以由得解得g(1)＝3.
3. 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( A )
A. B.
C. D. 1
【解析】由f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝，即4ax＝2x，解得a＝，经检验，a＝符合题意．
4. (2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，x∈R，且f(x)是奇函数，则a＝__0__．
【解析】因为f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
5. 设f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝____；f(a)＝____．
【解析】因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＝ax2＋bx，得b＝0，且a－1＝－2a，得a＝，所以a＋b＝，f(a)＝f＝×＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列说法错误的是( C )
A. 函数y＝是奇函数
B. 函数y＝x2是偶函数
C. 函数y＝x2，x∈[－1，1)是偶函数
D. 函数y＝(x－1)2＋4既不是奇函数，也不是偶函数
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上为增函数的是( D )
A. y＝ B. y＝－x2
C. y＝－|x| D. y＝|x|＋1
3. 函数f(x)＝(a，b，c∈R)的图象不可能为( C )
A B
C D
【解析】当f(x)的图象经过原点时，可得f(0)＝0，即b＝0，f(x)＝.若f(x)的图象关于y轴对称，可得f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，可得a＝0，即f(x)＝0，故C不可能成立．若a＝c＝1，即有f(x)＝，f(－x)＝－f(x)，可得f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，且x>0时，f(x)为连续函数，故A可能成立．若a＝－1，c＝－1，即有f(x)＝(x≠±1)，f(－x)＝－f(x)，可得f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，且x>1时，f(x)为增函数，0－(x≠±1)，f(－x)＝f(x)，可得f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，且x>1时，f(x)为增函数，04. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)＝( C )
A. －7 B. －5
C. 5 D. 7
【解析】因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－6x，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－6(－x)]＝－x2－6x，所以f(－1)＝－1＋6＝5.
二、 多项选择题
5. 下列判断正确的是( BC )
A. f(x)＝(x－1)是偶函数
B. f(x)＝是奇函数
C. f(x)＝＋是奇函数
D. f(x)＝是非奇非偶函数
【解析】对于A，由≥0且x－1≠0，得x≤－1或x>1，则f(x)的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)为非奇非偶函数，故A错误．对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(x)＋f(－x)＝－x2＋x＋(－x)2－x＝0；当x<0时，也有f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数，故B正确．对于C，由3－x2≥0且x2－3≥0，得x2＝3，即x＝±，f(x)的定义域关于原点对称，此时f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数，故C正确．对于D，由1－x2≥0且|x＋3|－3≠0，得－1≤x≤1且x≠0，f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)＝＝，f(－x)＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故D错误．
6. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是( ABC )
A. y＝f(|x|) B. y＝f(x2)
C. y＝x·f(x) D. y＝f(x)＋x
【解析】因为f(x)的定义域为R，又因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以y＝f(|x|)是偶函数，故A是偶函数；令F(x)＝f(x2)，则F(－x)＝f(x2)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，故B是偶函数；令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，所以M(x)是偶函数，故C是偶函数；令N(x)＝f(x)＋x，则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－＝－N(x)，所以N(x)是奇函数，故D是奇函数．
三、 填空题
7. (课本P86习题11改)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在R上的解析式为__f(x)＝__．
【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).因为当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，所以当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)(1－x)＝－f(x)，整理得f(x)＝x(1－x)＝
－x2＋x，所以f(x)的解析式为f(x)＝
8. 已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使f(x)>0的x的取值范围为__(－2，0)∪(0，2)__．
(第8题)
【解析】因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以可根据f(x)在区间[0，5]上的图象作出f(x)在区间[－5，0)上的图象，从而得到f(x)在区间[－5，5]上的图象如图所示．根据图象可知，使f(x)＞0的x的取值范围为(－2，0)∪(0，2).
(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P85 练习3)
(1) 从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
【解答】充分性：若y＝f(x)的图象关于y轴对称，设M(x0，f(x0))为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点M′(－x0，f(x0))仍在该图象上，即f(－x0)＝f(x0)，所以y＝f(x)为偶函数，必要性：若y＝f(x)为偶函数，设M(x0，f(x0))为f(x)图象上任意一点，点M关于y轴的对称点为M′(－x0，f(x0))，由于f(x)为偶函数，所以f(x0)＝f(－x0)，所以点M′(－x0，f(－x0))在f(x)的图象上，所以f(x)的图象关于y轴对称．
(2) 从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
【解答】充分性：若y＝f(x)的图象关于原点对称，设M(x0，f(x0))为其图象上任意一点，则点M关于原点的对称点M′(－x0，－f(x0))仍在该图象上，所以f(－x0)＝－f(x0)，所以y＝f(x)为奇函数．必要性：若y＝f(x)为奇函数，设M(x0，f(x0))为其图象上任意一点，则点M关于原点的对称点为M′(－x0，－f(x0))，由于y＝f(x)为奇函数，所以－f(x0)＝f(－x0)，所以点
M′(－x0，f(－x0))仍在y＝f(x)的图象上，所以y＝f(x)的图象关于原点对称．
10. 已知函数f(x)＝mx＋，且f(1)＝3.
(1) 求实数m的值；
【解答】由题意知f(1)＝m＋1＝3，所以m＝2.
(2) 判断函数f(x)的奇偶性．
【解答】由(1)知，f(x)＝2x＋，此函数的定义域为{x|x≠0}．因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝2(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
11. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意．一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川、河流、森林、草原，营造出一个精神和自然聚合的空间．图(2)是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为( C )
图(1) 图(2)
(第11题)
A. y＝|x| B. y＝x
C. y＝ D. y＝
【解析】对于A，y|x＝1＝>1，故A错误；对于B，记f(x)＝x，则f(－x)＝－x·＝－f(x)，故f(x)为奇函数，不符合题意，故B错误；对于C，记h(x)＝，则
h(－x)＝＝h(x)，故y＝为偶函数，当x≥0时，y＝＝＝，此函数在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，且h(0)＝0，h(1)＝1，h(2)＝0，故C正确；对于D，记g(x)＝，则g(－x)＝≠g(x)，故g(x)不是偶函数，不符合题意，故D错误．
12. 若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( B )
(第12题)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
【解析】根据函数图象的对称性可知f(x)为偶函数．A选项f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，C选项f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，它们的定义域都不关于原点对称，所以不可能是偶函数，即可排除A，C选项；又x＝±1不在函数f(x)的定义域内，而D选项f(x)＝的定义域包括x＝±1，所以排除D选项．
13. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，对任意的x1，x2∈(－∞，0)，当x1≠x2时，>0恒成立，且f(1)＝0，则关于x的不等式f(x)<0的解集为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．
【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)为奇函数．令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝g(x)，则g(x)为偶函数，又f(－1)＝f(1)＝0，则
g(－1)＝g(1)＝0.因为对任意的x1，x2∈(－∞，0)，当x1≠x2时，>0恒成立，所以当x<0时，g(x)为增函数，则当x>0时，g(x)为减函数，所以当x<－1或x>1时，g(x)＝xf(x)<0；当－10.因此当－11时，f(x)<0，即不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).
14. (多选)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则( ABD )
A. f(0)＝0 B. f(1)＝0
C. f(16)＝16f(2) D. f(x)为奇函数
【解析】由题意知，定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，所以A正确；对于B，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，所以B正确；对于C，令x＝y＝4，得f(16)＝4f(4)＋4f(4)＝8f(4)，再令x＝y＝2，得f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，可得f(16)＝8f(4)＝32f(2)，所以C错误；对于D，令x＝y＝－1，得f(1)＝－2f(－1)＝0，则f(－1)＝0，再令y＝－1，得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以D正确.(共53张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
第3课时 函数的奇偶性
学习 目标 1. 理解函数奇偶性的定义．
2. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法，会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
新知初探 基础落实
两个函数都关于y轴对称，且都有最值．
一、 生成概念
问题2：从形的角度来看，发现两个函数都是关于y轴对称，如果没有图，从解析式的角度能得出这样的性质吗？
以f(x)＝x2为例，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x) … 9 4 1 0 1 4 9 …
可以发现对于f(x)＝x2，有f(－3)＝f(3)＝9，f(－2)＝f(2)＝4，f(－1)＝f(1)＝1.
【追问1】 对于定义域为R的这样的一个函数，列表法显然是无法完成的．那么类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
这样的变化过程写不完，我们能发现的是f(－x)＝f(x).
实际上， x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，这时称函数y＝f(x)＝x2为偶函数．
【追问2】 f(x)＝x2，x∈[－1，4]是否也具有上述性质？
不具有．对于定义域中的所有x都得成立，即 x∈R，－x∈R，f(－x)＝f(x)，在这个过程中，我们发现图象要关于y轴对称，定义域必须关于原点对称．显然此函数的定义域不满足．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(1) 定义域特征：关于原点对称；
(2) 代数特征：f(－x)＝f(x)；
(3) 几何特征：偶函数的图象关于y轴对称．
从形的角度来看，发现两个函数都是关于原点对称，那么从数量关系的角度来看，它们又具有何种关系呢？
以f(x)＝x为例，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x) … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
可以发现对于f(x)＝x，有f(－3)＝－f(3)，f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1).
实际上， x∈R，都有f(－x)＝－x＝－f(x)，这时称函数y＝f(x)＝x为奇函数．
【追问】 f(x)＝x，x∈[－1，4]是否也具有上述性质？
不具有．对于定义域中的所有x都得成立，即 x∈R，－x∈R，f(－x)＝－f(x)，在这个过程中，我们发现图象要关于原点轴对称，定义域必须关于原点对称．显然此函数的定义域不满足．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
(1) 定义域特征：关于原点对称；
(2) 代数特征：f(－x)＝－f(x)；
(3) 几何特征：奇函数的图象关于原点对称．
请同学阅读课本P82—P84，完成下列填空．
二、 概念表述
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f(x)是偶函数 关于______对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且_________________，那么函数f(x)是奇函数 关于_______对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．
( )
(2) 存在既是奇函数，又是偶函数的函数． ( )
(3) 函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数． ( )
(4) 若y＝f(x)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1). ( )
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
(课本P84例6)判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4；
1
函数奇偶性的判断
1
【解答】函数f(x)＝x4的定义域为R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数f(x)＝x4为偶函数．
(2) f(x)＝x5；
【解答】函数f(x)＝x5的定义域为R.因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝
－x5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x5为奇函数．
(课本P84例6)判断下列函数的奇偶性：
判断函数奇偶性的方法：(1) 定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2) 图象法．
变式
判断下列函数的奇偶性．
【解答】函数f(x)＝x＋1的定义域为R，f(－x)＝－x＋1，不满足对 x∈R，有f(x)＝
f(－x)或f(－x)＝－f(x)恒成立，所以该函数是非奇非偶函数．
判断下列函数的奇偶性．
(3) f(x)＝x＋1；
探究
视角1 根据图象求解析式
已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1) 补出f(x)的完整图象；
2
奇、偶函数图象性质的应用
【解答】先描出(1，1)，(2，0)关于原点对称的点(－1，
－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图所示．
2－1
已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(2) 解不等式xf(x)>0.
【解答】xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是
(－2，0)∪(0，2).
巧用奇偶性作函数图象的步骤：(1) 确定函数的奇偶性；(2) 作出函数在[0，＋∞)
(或(－∞，0])上对应的图象；(3) 根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]
(或[0，＋∞))上对应的函数图象．
【解答】
(课本P85练习1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．
(1)
变式1
【解答】
(课本P85练习1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．
(2)
【解答】由题意作出函数图象如图所示．
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1) 请补出函数y＝f(x)的完整图象；
变式1
【解答】由图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(2) 根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3) 根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解答】由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2).
2－2
D
变式
B
随堂内化 及时评价
C
2. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，那么g(1)＝ ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
B
A
4. (2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，x∈R，且f(x)是奇函数，则a＝____．
【解析】因为f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
0
5. 设f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝_____；f(a)＝_____．
配套新练案
C
D
【答案】C
4. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)＝ ( )
A. －7 B. －5
C. 5 D. 7
C
【解析】因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－6x，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－6(－x)]＝－x2－6x，所以f(－1)＝－1＋6＝5.
【答案】BC
6. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是 ( )
A. y＝f(|x|) B. y＝f(x2)
C. y＝x·f(x) D. y＝f(x)＋x
ABC
三、 填空题
7. (课本P86习题11改)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝
x(1＋x)，则f(x)在R上的解析式为__________________．
8. 已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使f(x)>0的x的取值范围为___________________．
【解析】因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以可根据f(x)在区间[0，5]上的图象作出f(x)在区间[－5，0)上的图象，从而得到f(x)在区间[－5，5]上的图象如图所示．根据图象可知，使f(x)＞0的x的取值范围为(－2，0)∪(0，2).
(－2，0)∪(0，2)
四、 解答题
9. (课本P85 练习3)
(1) 从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
【解答】充分性：若y＝f(x)的图象关于y轴对称，设M(x0，f(x0))为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点M′(－x0，f(x0))仍在该图象上，即f(－x0)＝f(x0)，所以y＝f(x)为偶函数，必要性：若y＝f(x)为偶函数，设M(x0，f(x0))为f(x)图象上任意一点，点M关于y轴的对称点为M′(－x0，f(x0))，由于f(x)为偶函数，所以f(x0)＝f(－x0)，所以点M′(－x0，f(－x0))在f(x)的图象上，所以f(x)的图象关于y轴对称．
(2) 从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
【解答】充分性：若y＝f(x)的图象关于原点对称，设M(x0，f(x0))为其图象上任意一点，则点M关于原点的对称点M′(－x0，－f(x0))仍在该图象上，所以f(－x0)＝
－f(x0)，所以y＝f(x)为奇函数．必要性：若y＝f(x)为奇函数，设M(x0，f(x0))为其图象上任意一点，则点M关于原点的对称点为M′(－x0，－f(x0))，由于y＝f(x)为奇函数，所以－f(x0)＝f(－x0)，所以点M′(－x0，f(－x0))仍在y＝f(x)的图象上，所以y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1) 求实数m的值；
【解答】由题意知f(1)＝m＋1＝3，所以m＝2.
(2) 判断函数f(x)的奇偶性．
11. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意．一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川、河流、森林、草原，营造出一个精神和自然聚合的空间．图(2)是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为
( )
【答案】C
12. 若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是 ( )
B
(－1，0)∪(1，＋∞)
14. (多选)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则
( )
A. f(0)＝0 B. f(1)＝0 C. f(16)＝16f(2) D. f(x)为奇函数
ABD
【解析】由题意知，定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，所以A正确；对于B，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，所以B正确；对于C，令x＝y＝4，得f(16)＝4f(4)＋4f(4)＝8f(4)，再令x＝y＝2，得f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，可得f(16)＝8f(4)＝32f(2)，所以C错误；对于D，令x＝y＝－1，得f(1)＝－2f(－1)＝0，则f(－1)＝0，再令y＝－1，得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以D正确.
