第4课时 函数奇偶性的应用
学习 目标 1. 利用函数奇偶性求函数解析式． 2. 理解函数奇偶性对函数单调性的影响，能利用函数奇偶性和单调性比较大小、求最值和解不等式．
新知初探基础落实
1. 奇偶函数的性质
(1) 若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝ ．
(2) 若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
(3) 若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
2. f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
f(x) g(x) f(x)±g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
典例精讲能力初成
探究1 函数奇偶性的应用
视角1 已知函数的奇偶性求值
例1-1 (1) 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝ ．
已知函数f(x)和g(x)均为R上的奇函数，且h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，h(5)＝6，则
h(－5)的值为( )
A. －2 B. －8
C. －6 D. 6
变式 已知函数f(x)＝＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
视角2 已知函数的奇偶性求参数
例1-2 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1) 定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]时，可以根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2) 解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
变式 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[2a－1，a]，则a＝ ，b＝ ．
视角3 利用奇偶性求函数的解析式
例1-3 (1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝ ．
(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
探究2 奇偶性、单调性的综合应用
例2 已知函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数．
(1) 请写出一个满足条件的函数f(x)的解析式；
(2) 比较f(－1)与f(2)的大小；
(3) 试比较f与f(2a2－a＋1)的大小．
(1) 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
(2) 对于偶函数，可以利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉“f”，使不等式得解．
变式 若函数f(x)为R上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，f(5)＝0，则xf(x)>0的解集是 ．
随堂内化及时评价
1. 若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，则f(－x)在区间[－5，－2]上有( )
A. 最小值5 B. 最小值－5
C. 最大值－5 D. 最大值5
2. 若函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A. f(x)＝－x－1 B. f(x)＝－x＋1
C. f(x)＝x－1 D. f(x)＝x＋1
3. 已知y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是 ．
4. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，那么下列各式成立的是( )
A. f(－2)>f(0)>f(1)
B. f(－2)>f(－1)>f(0)
C. f(1)>f(0)>f(－2)
D. f(1)>f(－2)>f(0)
5. 若定义在R上的函数f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－2x，则f(2)＋g(1)＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(1)A. f(0)f(1)
C. f(2)f(0)
2. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
3. 已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A. f(x)＝－x2＋2x－3
B. f(x)＝－x2－2x－3
C. f(x)＝x2－2x＋3
D. f(x)＝－x2－2x＋3
4. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( )
A. (－1，0)∪(1，＋∞)
B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、 多项选择题
5. 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A. fB. f(2)C. f(2)D. f(－2)6. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是( )
A. f(3)>f(－4)
B. 若f(m－1)C. 若>0，则x∈(－∞，－1)∪(0，1)
D. x∈R， M∈R，使得f(x)≤M
三、 填空题
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝ ．
8. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上为减函数，则当x＝ 时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝2x－.
(1) 判断f(x)的奇偶性；
(2) 根据定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(3) 当x∈[－2，－1]时，求函数f(x)的最大值及对应的x的值．(只需写出结论)
10. (2025·惠州期末)已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1) 求实数m的值；
(2) 判断函数y＝f(x)在(－∞，0]上的单调性，并用定义法证明；
(3) 求不等式f(t)－f(1－2t)>0的解集．
11. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)，则( )
A. f(0)＝0
B. f(1)＝1
C. f(x)是奇函数
D. f(x)在R上单调递增
12. 已知定义在R上的函数g(x)＝＋1 013的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝ .
13. (课本P87习题13改)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 若f(x)＝x3－3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f(－2 021)＋f(－2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)的值.
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．第4课时 函数奇偶性的应用
学习 目标 1. 利用函数奇偶性求函数解析式． 2. 理解函数奇偶性对函数单调性的影响，能利用函数奇偶性和单调性比较大小、求最值和解不等式．
新知初探基础落实
1. 奇偶函数的性质
(1) 若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝__0__．
(2) 若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性__相同__．
(3) 若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性__相反__．
2. f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
f(x) g(x) f(x)±g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
典例精讲能力初成
探究1 函数奇偶性的应用
视角1 已知函数的奇偶性求值
例1-1 (1) 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝__－3__．
【解析】因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3.
已知函数f(x)和g(x)均为R上的奇函数，且h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，h(5)＝6，则
h(－5)的值为( A )
A. －2 B. －8
C. －6 D. 6
【解析】h(5)＝af(5)＋bg(5)＋2①，h(－5)＝af(－5)＋bg(－5)＋2，因为f(x)和g(x) 都是奇函数，所以f(－5)＝－f(5)，g(－5)＝－g(5)，即h(－5)＝－af(5)－bg(5)＋2②，①＋②可得h(5)＋h(－5)＝4，所以h(－5)＝4－h(5)＝－2.
变式 已知函数f(x)＝＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__2__．
【解析】记g(x)＝f(x)－1＝，显然g(x)的定义域[－2 025，2 025]关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是区间[－2 025，2 025]上的奇函数．设g(x)的最大值为g(x)max＝g(x0)＝a>0，则g(x)的最小值为g(x)min＝g(－x0)＝－g(x0)＝－a，所以M＋m＝1＋a＋1－a＝2.
视角2 已知函数的奇偶性求参数
例1-2 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)【解答】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)在[－2，2]上单调递减．所以不等式f(1－m)利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1) 定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]时，可以根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2) 解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
变式 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[2a－1，a]，则a＝____，b＝__0__．
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a－1＝－a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，易得b＝0.
视角3 利用奇偶性求函数的解析式
例1-3 (1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝__－x(x＋1)__．
【解析】当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝－x(－x－1).因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x(－x－1)，故f(x)＝－x(x＋1).
(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【解答】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).由f(x)＋g(x)＝①，用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，所以f(x)－g(x)＝②，由(①＋②)÷2，得f(x)＝；由(①－②)÷2，得g(x)＝.
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
探究2 奇偶性、单调性的综合应用
例2 已知函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数．
(1) 请写出一个满足条件的函数f(x)的解析式；
【解答】f(x)＝x2(答案不唯一)，根据二次函数的性质知其在(－∞，0]上是减函数．
(2) 比较f(－1)与f(2)的大小；
【解答】因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，－2<－1<0，所以有f(－2)>f(－1)，即f(－1)(3) 试比较f与f(2a2－a＋1)的大小．
【解答】因为函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为2a2－a＋1＝2＋≥>0，所以f(2a2－a＋1)≥f.又因为f＝f，所以f≤f(2a2－a＋1).
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝
f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
(2) 对于偶函数，可以利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉“f”，使不等式得解．
变式 若函数f(x)为R上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，f(5)＝0，则xf(x)>0的解集是__(－∞，－5)∪(5，＋∞)__．
【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(5)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－5)＝0，即函数的大致图象如图所示，所以xf(x)>0的解集是(－∞，－5)∪(5，＋∞).
(变式答)
随堂内化及时评价
1. 若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，则f(－x)在区间[－5，－2]上有( A )
A. 最小值5 B. 最小值－5
C. 最大值－5 D. 最大值5
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，所以f(x)在区间[－5，－2]上有最大值－5，所以f(－x)＝－f(x)在区间[－5，－2]上有最小值5.
2. 若函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( A )
A. f(x)＝－x－1 B. f(x)＝－x＋1
C. f(x)＝x－1 D. f(x)＝x＋1
【解析】设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1，所以当x<0时，f(x)＝－x－1.
3. 已知y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是__[－2，2]__．
【解析】由f(a)≥f(－2)，得f(|a|)≥f(2)，所以|a|≤2，所以－2≤a≤2.
4. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，那么下列各式成立的是( B )
A. f(－2)>f(0)>f(1)
B. f(－2)>f(－1)>f(0)
C. f(1)>f(0)>f(－2)
D. f(1)>f(－2)>f(0)
【解析】因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1).又2>1>0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(2)>f(1)>f(0)，即f(－2)>f(1)>f(0)，f(－2)>f(－1)>f(0).
5. 若定义在R上的函数f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－2x，则f(2)＋g(1)＝__－3__．
【解析】因为f(x)＋g(x)＝x2－2x，所以f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，代入上式，－f(x)＋g(x)＝x2＋2x，则有f(x)＝－2x，g(x)＝x2，则f(2)＋g(1)＝－4＋1＝－3.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(1)A. f(0)f(1)
C. f(2)f(0)
2. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( C )
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
3. 已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( B )
A. f(x)＝－x2＋2x－3
B. f(x)＝－x2－2x－3
C. f(x)＝x2－2x＋3
D. f(x)＝－x2－2x＋3
【解析】若x<0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x＋3.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
4. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( B )
A. (－1，0)∪(1，＋∞)
B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】因为奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，f(－1)＝－f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0等价于不等式x[f(x)＋f(x)]<0，即2xf(x)<0.所以当x<0时，f(x)>0＝f(－1)，由函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，得－10时，f(x)<0＝f(1)，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，得0二、 多项选择题
5. 若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( BD )
A. fB. f(2)C. f(2)D. f(－2)【解析】因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2).又因为f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，所以f(2)＝f(－2)6. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是( ACD )
A. f(3)>f(－4)
B. 若f(m－1)C. 若>0，则x∈(－∞，－1)∪(0，1)
D. x∈R， M∈R，使得f(x)≤M
【解析】由①②知f(x)在R上为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由③知f(－1)＝f(1)＝0，故可作出f(x)的大致图象如图所示．对于A，f(3)＝f(－3)＞f(－4)，故A正确；对于B，由f(m－1)＜f(2)，知m－1＞2或m－1＜－2，解得m＞3或m＜－1，故B错误；对于 C，由＞0，得x∈(－∞，－1)∪(0，1)，故C正确；对于D，函数f(x)的图象连续不断，可知 M＝f(x)max＝f(0)，使 x∈R有f(x)≤M，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝____．
【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；因为当x>0时，f(x)＝
－x2－x；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2＋x，又因为f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x2－x.综上，f(x)＝
8. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上为减函数，则当x＝__1__时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)【解析】由f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，知f(x)在
(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝2x－.
(1) 判断f(x)的奇偶性；
【解答】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2) 根据定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
【解答】设x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3) 当x∈[－2，－1]时，求函数f(x)的最大值及对应的x的值．(只需写出结论)
【解答】因为f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[－2，－1]上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝－2＋1＝－1.
10. (2025·惠州期末)已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1) 求实数m的值；
【解答】由函数f(x)＝是R上的偶函数，得f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，即＝对任意x∈R恒成立，整理得mx＝0对任意x∈R恒成立，所以m＝0.
(2) 判断函数y＝f(x)在(－∞，0]上的单调性，并用定义法证明；
【解答】由(1)知，f(x)＝在(－∞，0]上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0]，且x10，x2＋x1<0，1＋x>0，1＋x>0，因此>0，即f(x2)－f(x1)>0，则f(x2)>f(x1)，所以函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增．
(3) 求不等式f(t)－f(1－2t)>0的解集．
【解答】由(1)(2)知，定义在R上的偶函数f(x)＝在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，不等式f(t)－f(1－2t)>0 f(|t|)>f(|1－2t|)，则|t|<|2t－1|，解得t<或t>1，所以原不等式的解集为t<或t>1}.
11. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)，则( AC )
A. f(0)＝0
B. f(1)＝1
C. f(x)是奇函数
D. f(x)在R上单调递增
【解析】由f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)知，当x＝y＝0时，f(0)＝3f(0)，即f(0)＝0，故A正确；取f(x)＝－x，则f(x)满足条件f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)，但f(1)＝－1，且f(x)在R上单调递减，故B，D错误；当x＝－t，y＝t时，f(t)＝f(－t)＋2f(t)，即f(－t)＝－f(t)，故C正确．
12. 已知定义在R上的函数g(x)＝＋1 013的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝__2 026__.
【解析】令G(x)＝，则G(－x)＝－＝－G(x)，即G(x)为奇函数，所以G(x)max＋G(x)min＝0.而g(x)＝＋1 013＝G(x)＋1 013，所以M＋m＝G(x)max＋1 013＋G(x)min＋1 013＝2 026.
13. (课本P87习题13改)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 若f(x)＝x3－3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f(－2 021)＋f(－2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)的值.
【解答】①设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，则g(x)＝f(x＋a)－b为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，则f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b，整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得a＝1，b＝－2，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2).
②因为f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)，所以f(－x＋1)＋f(x＋1)＝－4，故
f(－2 021)＋f(－2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝[f(－2 021)＋f(2 023)]＋[f(－2 022)＋f(2 024)]＝[f(－2 022＋1)＋f(2 022＋1)]＋[f(－2 023＋1)＋f(2 023＋1)]＝－4＋(－4)＝－8.
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
【解答】推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．(共46张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
第4课时 函数奇偶性的应用
学习 目标 1. 利用函数奇偶性求函数解析式．
2. 理解函数奇偶性对函数单调性的影响，能利用函数奇偶性和单调性比较大小、求最值和解不等式．
新知初探 基础落实
1. 奇偶函数的性质
(1) 若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝____．
(2) 若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性_______．
(3) 若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性_______．
0
相同
相反
2. f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
f(x) g(x) f(x)±g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
典例精讲 能力初成
探究
视角1 已知函数的奇偶性求值
(1) 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝______．
1
函数奇偶性的应用
【解析】因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3.
1－1
－3
(2) 已知函数f(x)和g(x)均为R上的奇函数，且h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，h(5)＝6，则
h(－5)的值为 ( )
A. －2 B. －8
C. －6 D. 6
A
【解析】h(5)＝af(5)＋bg(5)＋2①，h(－5)＝af(－5)＋bg(－5)＋2，因为f(x)和g(x) 都是奇函数，所以f(－5)＝－f(5)，g(－5)＝－g(5)，即h(－5)＝－af(5)－bg(5)＋2②，①＋②可得h(5)＋h(－5)＝4，所以h(－5)＝4－h(5)＝－2.
变式
2
视角2 已知函数的奇偶性求参数
设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)1－2
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1) 定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]时，可以根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2) 解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
变式
若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[2a－1，a]，则a＝
_____，b＝____．
0
【解析】当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝－x(－x－1).因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x(－x－1)，故f(x)＝－x(x＋1).
视角3 利用奇偶性求函数的解析式
(1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝____________．
1－3
－x(x＋1)
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间
[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解
析式，x就应在哪个区间上设．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
探究
已知函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数．
(1) 请写出一个满足条件的函数f(x)的解析式；
2
奇偶性、单调性的综合应用
2
【解答】f(x)＝x2(答案不唯一)，根据二次函数的性质知其在(－∞，0]上是减函数．
(2) 比较f(－1)与f(2)的大小；
【解答】因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，－2<－1<0，所以有f(－2)>f(－1)，即f(－1)已知函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数．
(1) 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝
f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别
注意函数的定义域．
(2) 对于偶函数，可以利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全
部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉“f”，使不等式得解．
【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(5)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－5)＝0，即函数的大致图象如图所示，所以xf(x)>0的解集是(－∞，－5)∪(5，＋∞).
变式
若函数f(x)为R上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，f(5)＝0，则xf(x)>0的解集是_________________________．
(－∞，－5)∪(5，＋∞)
随堂内化 及时评价
1. 若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，则f(－x)在区间[－5，－2]上有( )
A. 最小值5 B. 最小值－5
C. 最大值－5 D. 最大值5
A
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是5，所以f(x)在区间[－5，－2]上有最大值－5，所以f(－x)＝－f(x)在区间[－5，－2]上有最小值5.
2. 若函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为 ( )
A. f(x)＝－x－1 B. f(x)＝－x＋1
C. f(x)＝x－1 D. f(x)＝x＋1
A
【解析】设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1，所以当x<0时，f(x)＝－x－1.
3. 已知y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是_____________．
【解析】由f(a)≥f(－2)，得f(|a|)≥f(2)，所以|a|≤2，所以－2≤a≤2.
[－2，2]
4. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，那么下列各式成立的是 ( )
A. f(－2)>f(0)>f(1) B. f(－2)>f(－1)>f(0)
C. f(1)>f(0)>f(－2) D. f(1)>f(－2)>f(0)
B
【解析】因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1).又2>1>0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(2)>f(1)>f(0)，即f(－2)>f(1)>f(0)，f(－2)>f(－1)>f(0).
5. 若定义在R上的函数f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－2x，则f(2)＋g(1)＝______．
【解析】因为f(x)＋g(x)＝x2－2x，所以f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，代入上式，－f(x)＋g(x)＝x2＋2x，则有f(x)＝－2x，g(x)＝x2，则f(2)＋g(1)＝－4＋1＝－3.
－3
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(1)( )
A. f(0)f(1)
C. f(2)f(0)
B
2. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于 ( )
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
C
3. 已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是 ( )
A. f(x)＝－x2＋2x－3 B. f(x)＝－x2－2x－3
C. f(x)＝x2－2x＋3 D. f(x)＝－x2－2x＋3
B
【解析】若x<0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x＋3.因为函数f(x)是奇函数，所以
f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
4. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为 ( )
A. (－1，0)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
B
【解析】因为奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，f(－1)＝－f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0等价于不等式x[f(x)＋f(x)]<0，即2xf(x)<0.所以当x<0时，f(x)>0＝f(－1)，由函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，得－10时，f(x)<0＝f(1)，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，得0BD
【答案】ACD
三、 填空题
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝______．
8. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上为减函数，则当x＝____时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)【解析】由f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，知f(x)在
(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)1
(0，2)
【解答】因为f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[－2，－1]上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝－2＋1＝－1.
11. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)，则 ( )
A. f(0)＝0 B. f(1)＝1
C. f(x)是奇函数 D. f(x)在R上单调递增
AC
【解析】由f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)知，当x＝y＝0时，f(0)＝3f(0)，即f(0)＝0，故A正确；取f(x)＝－x，则f(x)满足条件f(x＋2y)＝f(x)＋2f(y)，但f(1)＝－1，且f(x)在R上单调递减，故B，D错误；当x＝－t，y＝t时，f(t)＝f(－t)＋2f(t)，即f(－t)＝－f(t)，故C正确．
2 026
13. (课本P87习题13改)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 若f(x)＝x3－3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f(－2 021)＋f(－2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)的值.
13. (课本P87习题13改)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
【解答】推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
