3.3 幂函数
学习 目标 1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2. 结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P89—P90，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是 ，α是 ．
幂函数的特征：①y＝xα中xα前的系数为“1”；②y＝xα中xα的底数是单个的自变量“x”；③y＝xα中α是常数．
2. 五个常见幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
值域 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
奇偶性 _ __ _ _ _ _ _ _ _ _
单调性 _ _ _ _ _ __ _ _ _ __
公共点 _ _
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) y＝与y＝都是幂函数．( )
(2) 当α>0时，f(x)＝xα在第一象限内的图象都是从左向右逐渐上升．( )
(3) 当α<0时，f(x)＝xα在R上是减函数．( )
(4) 当α＝0时，f(x)＝xα的图象是一条直线．( )
典例精讲能力初成
探究1 幂函数的概念
例1 在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝2，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的为( )
A. ①②④⑤ B. ③④⑥
C. ①②⑥ D. ①②④⑤⑥
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，且需满足：(1) 指数为常数；(2) 底数为自变量；(3) 系数为1.
变式 (1) 下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
(2) 若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A. 1 B. －3
C. －1 D. 3
探究2 幂函数的图象及应用
例2 函数y1＝x5，y2＝，y3＝x4，y4＝x-2，y5＝x的图象分别是下列图象①②③④⑤中之一，则函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是 ．
(例2)
(1) 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1，1).
(2) 当α>0时，幂函数的图象通过原点，且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3) 当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
变式 如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
(变式)
A. －2，－，，2
B. 2，，－，－2
C. －，－2，2，
D. 2，，－2，－
探究3 幂函数的性质的应用
视角1 幂函数奇偶性的应用
例3-1 有下列四个幂函数：①f(x)＝x-2；②f(x)＝x-1; ③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数；(2) 值域是{y|y∈R且y≠0}；(3) 在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( )
A. ④ B. ③
C. ② D. ①
y＝x，y＝x3，y＝是奇函数，y＝x2，y＝是偶函数，y＝是非奇非偶函数；y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝在(0，＋∞)上是递增的，y＝，y＝在(0，＋∞)上是递减的．幂函数图象不过第四象限．
变式 设a∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为( )
A. 1，3 B. －1，1
C. －1，3 D. －1，1，3
视角2 幂函数单调性的应用
例3-2 比较下列各组数值的大小：
(1) 与；
(2) 3－与3.3－；
(3) 与；
(4) 0.20.6与0.30.4.
(1) 若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；
(2) 若指数不同，可采用中间介值法或估值法，如先与0(或1)比较大小，若中间介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，再比较出各数的大小．
例3-3 (课本P90例)证明：幂函数f(x)＝是增函数．
变式1 若(3－2m)>(m＋1)，求实数m的取值范围．
变式2 (课本P91练习2)利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1) (－1.5)3，(－1.4)3；
(2) ，.
随堂内化及时评价
1. 已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，那么m的值为( )
A. －3 B. 2
C. －3或2 D. 3
2. 函数y＝x-2在区间上的最大值是( )
A. B. 4
C. －1 D. －4
3. 下列比较大小中正确的是( )
A. ＜
B. ＜
C. (－2.1)＜(－2.2)－
D. ＜
4. 在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
A B
C D
5. (课本P91习题1)画出函数y＝的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列结论正确的是( )
A. y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)
B. y＝f(x)在其定义域上为减函数
C. y＝f(x)是偶函数
D. y＝f(x)是奇函数
2. 若函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝( )
A. B.
C. 2 D. 4
3. 若幂函数y＝x-1的图象及直线y＝x，y＝1，x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ(如图所示)，则函数y＝x的图象在第一象限中经过的“卦限”是( )
(第3题)
A. Ⅳ，Ⅶ B. Ⅳ，Ⅷ
C. Ⅲ，Ⅷ D. Ⅲ，Ⅶ
4. 若幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋的图象关于y轴对称，f(x)解析式的幂的指数为整数，f(x)在(－∞，0)上单调递减，则实数m＝( )
A. B. 或
C. － D. －或
二、 多项选择题
5. 若幂函数f(x)的图象经过点，则下列命题正确的有( )
A. 函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数
D. 函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数
6. 函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为( )
A B
C D
三、 填空题
7. 已知函数h(x)＝(3m－2)xm+1是幂函数，则h(x)是 函数(填“奇”或“偶”)．
8. 已知a＝1.2，b＝0.9，c＝1.1，则a，b，c的大小关系是 ．
四、 解答题
9. 已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－210. 已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
11. 已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－a， x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A.
B. (－∞，1]∪[7，＋∞)
C. (－∞，1)∪(7，＋∞)
D. [1，7]
12. 已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
(第12题)
A. p，q均为奇数，且>0
B. q为偶数，p为奇数，且<0
C. q为奇数，p为偶数，且>0
D. q为奇数，p为偶数，且<0
13. 讨论函数y＝(k2＋k)xk2－2k－1在x>0时，随着x的增大其函数值的变化情况．3.3 幂函数
学习 目标 1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2. 结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
新知初探基础落实
数学史简介
1. 公元263年，刘徽为《九章算术》做注时，这个字第一次出现在数学文献中．
2. 公元1607年，徐光启翻译《几何原本》时，第一次给这个字下了定义：“自乘之数曰幂”．
3. 1935年《数学名词》中“幂”和“乘方”这两个术语才确定下来：幂 nm.
实例观察，引入新课
(1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数，也可以表示为S；
(5) 如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
一、 生成概念
问题：观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，，－1时的图象与性质．
请同学阅读课本P89—P90，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 幂函数的概念
一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是__自变量__，α是__常数__．
幂函数的特征：①y＝xα中xα前的系数为“1”；②y＝xα中xα的底数是单个的自变量“x”；③y＝xα中α是常数．
2. 五个常见幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域 __R__ __R__ __R__ __[0，＋∞)__ __(－∞，0)∪(0， ＋∞)__
值域 __R__ __[0，＋∞)__ __R__ __[0，＋∞)__ __{y|y∈R且y≠0}__
奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__ __非奇非偶__ __奇__
单调性 __增__ __x∈(0，＋∞)时增；x∈(－∞，0)时减__ __增__ __增__ __x∈(0，＋∞)时减；x∈(－∞，0)时减__
公共点 __(1，1)__
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) y＝与y＝都是幂函数．( √ )
(2) 当α>0时，f(x)＝xα在第一象限内的图象都是
从左向右逐渐上升．( √ )
(3) 当α<0时，f(x)＝xα在R上是减函数．( × )
(4) 当α＝0时，f(x)＝xα的图象是一条直线．( × )
典例精讲能力初成
探究1 幂函数的概念
例1 在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝2，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的为( C )
A. ①②④⑤ B. ③④⑥
C. ①②⑥ D. ①②④⑤⑥
【解析】幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，且需满足：(1) 指数为常数；(2) 底数为自变量；(3) 系数为1.
变式 (1) 下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为( B )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，只有①⑥是幂函数．
(2) 若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( A )
A. 1 B. －3
C. －1 D. 3
【解析】由题知解得m＝1.
探究2 幂函数的图象及应用
例2 函数y1＝x5，y2＝，y3＝x4，y4＝x-2，y5＝x的图象分别是下列图象①②③④⑤中之一，则函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是__⑤①②④③__．
(例2)
【解析】从函数的奇偶性分析，函数y1，y2是奇函数，可能对应图象①，⑤；y3，y4是偶函数，可能对应图象②，④；y5不具有奇偶性，只能对应图象③.从函数的单调性分析，函数y1在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象⑤，函数y2在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象①，函数y3在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象②，函数y4在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象④，所以函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是⑤①②④③.
(1) 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1，1).
(2) 当α>0时，幂函数的图象通过原点，且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3) 当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
变式 如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( B )
(变式)
A. －2，－，，2
B. 2，，－，－2
C. －，－2，2，
D. 2，，－2，－
探究3 幂函数的性质的应用
视角1 幂函数奇偶性的应用
例3-1 有下列四个幂函数：①f(x)＝x-2；②f(x)＝x-1; ③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数；(2) 值域是{y|y∈R且y≠0}；(3) 在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( D )
A. ④ B. ③
C. ② D. ①
【解析】对于①，f(x)＝x-2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(－∞，0)上是增函数，满足条件．对于②，f(x)＝x-1，是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在(－∞，0)上是减函数，不满足条件．对于③，f(x)＝x3，是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上是增函数，不满足条件．对于④，f(x)＝x，是定义域R上的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上是增函数，不满足条件．
y＝x，y＝x3，y＝是奇函数，y＝x2，y＝是偶函数，y＝是非奇非偶函数；y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝在(0，＋∞)上是递增的，y＝，y＝在(0，＋∞)上是递减的．幂函数图象不过第四象限．
变式 设a∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为( A )
A. 1，3 B. －1，1
C. －1，3 D. －1，1，3
【解析】当a＝－1时，y＝x-1＝，为奇函数，但值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足条件．当a＝1时，y＝x，为奇函数，值域为R，满足条件．当a＝2时，y＝x2为偶函数，值域为[0，＋∞)，不满足条件．当a＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．
视角2 幂函数单调性的应用
例3-2 比较下列各组数值的大小：
(1) 与；
【解答】因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，又>，所以>.
(2) 3－与3.3－；
【解答】因为y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，所以3－>3.3－.
(3) 与；
【解答】因为＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，>，所以<，所以<.
(4) 0.20.6与0.30.4.
【解答】由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，所以0.20.6<0.30.4.
(1) 若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；
(2) 若指数不同，可采用中间介值法或估值法，如先与0(或1)比较大小，若中间介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，再比较出各数的大小．
例3-3 (课本P90例)证明：幂函数f(x)＝是增函数．
【解答】函数的定义域是[0，＋∞). x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，所以f(x1)变式1 若(3－2m)>(m＋1)，求实数m的取值范围．
【解答】因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤
m<.故实数m的取值范围为.
变式2 (课本P91练习2)利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1) (－1.5)3，(－1.4)3；
【解答】设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．因为－1.5<－1.4，所以(－1.5)3<(－1.4)3.
(2) ，.
【解答】设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上为减函数，因为－1.5<－1.4<0，所以>.
随堂内化及时评价
1. 已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，那么m的值为( A )
A. －3 B. 2
C. －3或2 D. 3
【解析】由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.因为该函数在第一象限内是单调递减的，所以m<0，故m＝－3.
2. 函数y＝x-2在区间上的最大值是( B )
A. B. 4
C. －1 D. －4
【解析】y＝x-2＝，当x>0时，y＝是减函数，所以当x＝时，函数在区间上取得最大值，且最大值为4.
3. 下列比较大小中正确的是( C )
A. ＜
B. ＜
C. (－2.1)＜(－2.2)－
D. ＜
【解析】因为y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，所以＜，故A错误；因为y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，所以＞，故B错误；因为y＝x在(－∞，0)上单调递增，(－2.1)＝，(－2.2)－＝，所以(－2.1)＜(－2.2)－，故C正确；因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增，＝，所以＞，即＞，故D错误．
4. 在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( C )
A B
C D
【解析】对于A，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，故A错误；对于B，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，故B错误；对于D，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，故D错误．
5. (课本P91习题1)画出函数y＝的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
【解答】因为y＝＝所以y＝的图象如图所示．设f(x)＝y＝，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以y＝f(x)＝为偶函数．当x∈[0，
＋∞)时，y＝为增函数，证明如下：设任意的x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，＋>0，x1－x2<0，所以y1－y2<0，即y1(－∞，0]时，y＝为减函数，证明如下：设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x10，x2－x1>0，所以y1－y2>0，即y1>y2.所以y＝在(－∞，0]上是减函数．
(第5题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列结论正确的是( B )
A. y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)
B. y＝f(x)在其定义域上为减函数
C. y＝f(x)是偶函数
D. y＝f(x)是奇函数
2. 若函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝( D )
A. B.
C. 2 D. 4
3. 若幂函数y＝x-1的图象及直线y＝x，y＝1，x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ(如图所示)，则函数y＝x的图象在第一象限中经过的“卦限”是( B )
(第3题)
A. Ⅳ，Ⅶ B. Ⅳ，Ⅷ
C. Ⅲ，Ⅷ D. Ⅲ，Ⅶ
4. 若幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋的图象关于y轴对称，f(x)解析式的幂的指数为整数，f(x)在(－∞，0)上单调递减，则实数m＝( D )
A. B. 或
C. － D. －或
【解析】由题意知f(x)是偶函数，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以－m2＋2m＋为正偶数，又－m2＋2m＋＝－(m－1)2＋≤，所以－(m－1)2＋＝2，解得m＝或
－.
二、 多项选择题
5. 若幂函数f(x)的图象经过点，则下列命题正确的有( AC )
A. 函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数
D. 函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数
6. 函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为( BD )
A B
C D
【解析】因为f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝xa，对于A，当a＝－1时，f(x)＝－x2－2x＋1，其图象开口向下，对称轴为x＝－1，g(x)＝x-1＝，其图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，故A满足要求；对于B，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故B不满足要求；对于C，当a＝时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象开口向上，对称轴为x＝2，g(x)＝x，其图象在[0，＋∞)上单调递增，且越来越缓，故C满足要求；对于D，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a>0，此时其对称轴为x＝－＝>0，故D不满足要求．
三、 填空题
7. 已知函数h(x)＝(3m－2)xm+1是幂函数，则h(x)是__偶__函数(填“奇”或“偶”)．
【解析】由h(x)是幂函数，知3m－2＝1，所以m＝1，所以h(x)＝x2，定义域为R，关于原点对称，且h(－x)＝(－x)2＝h(x)，所以h(x)是偶函数．
8. 已知a＝1.2，b＝0.9，c＝1.1，则a，b，c的大小关系是__a＞b＞c__．
【解析】b＝＝，利用y＝x在(0，＋∞)上单调递增知，a＞b＞c.
四、 解答题
9. 已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2【解答】因为m∈{x|－2f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②.当m＝1时，f(x)＝x0，条件①，②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①，②都满足，且在区间[0，3]上是增函数，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
10. 已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1) 求f(x)的解析式；
【解答】由于幂函数f(x)＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－1(2) 讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
【解答】F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)＝a·x-4＋(a－2)x.当a＝0时，F(x)＝－2x，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，所以F(x)＝－2x是奇函数．当a＝2时，F(x)＝，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，所以F(x)＝是偶函数．当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，所以F(x)＝＋(a－2)x是非奇非偶函数．
11. 已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－a， x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( D )
A.
B. (－∞，1]∪[7，＋∞)
C. (－∞，1)∪(7，＋∞)
D. [1，7]
【解析】由已知得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝0时，f(x)＝x2；当m＝2时，f(x)＝x-2.又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x2，所以f(x)在[1，5)上的值域为[1，25)，g(x)在[1，5)上的值域为[2－a，32－a)，所以解得即1≤a≤7.
12. 已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( D )
(第12题)
A. p，q均为奇数，且>0
B. q为偶数，p为奇数，且<0
C. q为奇数，p为偶数，且>0
D. q为奇数，p为偶数，且<0
【解析】因为函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，所以<0，因为函数y＝x的图象关于y轴对称，所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数，又p，q互质，所以q为奇数，所以D正确．
13. 讨论函数y＝(k2＋k)xk2－2k－1在x>0时，随着x的增大其函数值的变化情况．
【解答】依题意，x∈(0，＋∞)，(1) 当k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1时，y＝0为常数函数；(2) 当k2－2k－1＝0，即k＝1－或 k＝1＋时，函数为常数函数；(3) 当即01＋或k<－1时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；(5) 当即1－第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
新知初探 基础落实
数学史简介
1. 公元263年，刘徽为《九章算术》做注时，这个字第一次出现在数学文献中．
2. 公元1607年，徐光启翻译《几何原本》时，第一次给这个字下了定义：“自乘之数曰幂”．
3. 1935年《数学名词》中“幂”和“乘方”这两个术语才确定下来：幂 nm.
实例观察，引入新课
(1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
一、 生成概念
问题：观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
请同学阅读课本P89—P90，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是_________，α是_______．
幂函数的特征：①y＝xα中xα前的系数为“1”；②y＝xα中xα的底数是单个的自变量“x”；③y＝xα中α是常数．
y＝xα
自变量
常数
2. 五个常见幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3
定义域 ____ ____ ____
值域 ____ _____________ ____
奇偶性 _____ _____ _____
单调性 _____ _____________________________________ _____
公共点 _________ R
R
R
R
[0，＋∞)
R
奇
偶
奇
增
x∈(0，＋∞)时增；x∈(－∞，0)时减
增
(1，1)
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
非奇非偶
奇
增
x∈(0，＋∞)时减；x∈(－∞，0)时减
(1，1)
√
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
1
幂函数的概念
1
C
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，且需满足：(1) 指数为常数；(2) 底数为自变量；(3) 系数为1.
【解析】②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，
⑤中底数不是自变量本身，只有①⑥是幂函数．
变式
B
A
(2) 若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A. 1 B. －3
C. －1 D. 3
探究
2
幂函数的图象及应用
2
【解析】从函数的奇偶性分析，函数y1，y2是奇函数，可能对应图象①，⑤；y3，y4是偶函数，可能对应图象②，④；y5不具有奇偶性，只能对应图象③.从函数的单调性分析，函数y1在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象⑤，函数y2在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象①，函数y3在区间[0，＋∞)上是增函数，对应图象②，函数y4在区间(0，＋∞)上是减函数，对应图象④，所以函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是⑤①②④③.
⑤①②④③
(1) 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1，1).
(2) 当α>0时，幂函数的图象通过原点，且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3) 当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
变式
B
探究
3
幂函数的性质的应用
3－1
A
【答案】D
变式
设a∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为 ( )
A. 1，3 B. －1，1
C. －1，3 D. －1，1，3
A
视角2 幂函数单调性的应用
比较下列各组数值的大小：
3－2
比较下列各组数值的大小：
(4) 0.20.6与0.30.4.
【解答】由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，所以0.20.6<0.30.4.
(1) 若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；
(2) 若指数不同，可采用中间介值法或估值法，如先与0(或1)比较大小，若中间介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，再比较出各数的大小．
3－3
变式1
【解答】设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．因为－1.5<－1.4，所以(－1.5)3<
(－1.4)3.
(课本P91练习2)利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1) (－1.5)3，(－1.4)3；
变式2
随堂内化 及时评价
1. 已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，那么m的值为
( )
A. －3 B. 2
C. －3或2 D. 3
A
【解析】由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.因为该函数在第一象限内是单调递减的，所以m<0，故m＝－3.
B
C
C
配套新练案
A. y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)
B. y＝f(x)在其定义域上为减函数
C. y＝f(x)是偶函数
D. y＝f(x)是奇函数
B
D
B
D
A. 函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数
D. 函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数
AC
6. 函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为( )
【答案】BD
三、 填空题
7. 已知函数h(x)＝(3m－2)xm+1是幂函数，则h(x)是_____函数(填“奇”或“偶”)．
【解析】由h(x)是幂函数，知3m－2＝1，所以m＝1，所以h(x)＝x2，定义域为R，关于原点对称，且h(－x)＝(－x)2＝h(x)，所以h(x)是偶函数．
偶
a＞b＞c
四、 解答题
9. 已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2【解答】因为m∈{x|－210. 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1) 求f(x)的解析式；
【解答】由于幂函数f(x)＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－110. 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(2) 讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
11. 已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－a， x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. B. (－∞，1]∪[7，＋∞)
C. (－∞，1)∪(7，＋∞) D. [1，7]
D
D
13. 讨论函数y＝(k2＋k)xk2－2k－1在x>0时，随着x的增大其函数值的变化情况．
