3.4 函数的应用(一)
学习 目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
新知初探基础落实
1. 常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
2. 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1) 审题；(2) 建模；(3) 求模；(4) 还原．
典例精讲能力初成
探究1 二次函数模型
例1 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某校大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500.
(1) 设他每月获得的利润为w(单位：元)，写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式，并求利润w的最大值；
(2) 相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果他想要每月获得的利润不少于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1) 方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2) 注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
探究2 分段函数模型
例2 (课本P94例2)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(例2)
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
应用分段函数时注意：(1) 分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．(2) 分段函数的定义域为对应的每一段自变量取值范围的并集．(3) 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
变式 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(1)中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(2)中的抛物线表示的函数关系．
图(1) 图(2)
(变式)
(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2) 若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红杮的纯收益最大？
探究3 幂函数模型
例3 某公司研发A，B两种芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxα(x>0)(k与α都为常数)，其图象如图所示．
(例3)
(1) 试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万元)的函数关系式；
(2) 现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．(利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
随堂内化及时评价
1. 若一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是( )
A. y＝2t B. y＝120t
C. y＝2t(t≥0) D. y＝120t(t≥0)
2. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2、3月份利润的月增长率为x，则x满足的方程为( )
A. 10(1＋x)2＝42
B. 10＋10(1＋x)2＝42
C. 10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝42
D. 10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝42
3. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A. 15 B. 40
C. 25 D. 13
4. (课本P95练习2)某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示，某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
(第1题)
A. 310元 B. 300元
C. 390元 D. 280元
2. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A. 75，25 B. 75，16
C. 60，25 D. 60，16
3. 如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为( )
(第3题)
A B
C D
某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝
1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A. a＝45，b＝－30 B. a＝30，b＝－45
C. a＝－30，b＝45 D. a＝－45，b＝－30
二、 多项选择题
5. 甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是( )
(第5题)
A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲同学从家到公园的时间是30 min
C. 甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D. 当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
6. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A. 出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B. 出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
C. 出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
D. 某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
三、 填空题
7. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为 万元．
8. 如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经过点C，D，A绕正方形的边界运动，最后回到点B.用x表示点P运动的路程，y表示△APB的面积，则y关于x的函数解析式为 ．(当点P在AB上时，规定S△APB＝0)
(第8题)
四、 解答题
9. 为了推进校园篮球运动的发展，某地将于2月举行中小学生男子篮球赛．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 105 70
(1) 商店用4 200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个；
(2) 设商店所获利润为y(单位：元)，购进篮球的个数为x(单位：个)，请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3) 若要使商店的进货成本在4 300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1 400元，请你列举出商店所有进货方案，并求最大利润．
10. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起的部分的面积的最小值为( )
(第10题)
A. B.
C. D.
11. 运货卡车以x km/h的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升8元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时80元．
(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．3.4 函数的应用(一)
学习 目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
新知初探基础落实
1. 常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
2. 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1) 审题；(2) 建模；(3) 求模；(4) 还原．
典例精讲能力初成
探究1 二次函数模型
例1 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某校大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500.
(1) 设他每月获得的利润为w(单位：元)，写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式，并求利润w的最大值；
【解答】依题意可得，每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式为w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5 000＝－10(x－30)2＋4 000，所以当x＝30时，wmax＝4 000，故利润w与销售单价x的函数关系式为w＝－10x2＋600x－5 000，最大利润为4 000元．
(2) 相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果他想要每月获得的利润不少于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
【解答】由每月获得的利润不小于3 000元，得w＝－10x2＋600x－5 000≥3 000，即x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40，又这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)·(－10x＋500)＝－20x＋1 000.由20≤x≤25可得500≤－20x＋1 000≤600，所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是[500，600]元．
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1) 方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2) 注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
探究2 分段函数模型
例2 (课本P94例2)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(例2)
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
【解答】阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
【解答】根据题图，有s＝画出这个函数的图象如图所示．
(例2答)
应用分段函数时注意：(1) 分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．(2) 分段函数的定义域为对应的每一段自变量取值范围的并集．(3) 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
变式 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(1)中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(2)中的抛物线表示的函数关系．
图(1) 图(2)
(变式)
(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
【解答】由题图(1)可得，当0＜t≤200时，P＝t＋300＝300－t；当200＜t≤300时，P＝·(t－300)＋300＝2t－300.故市场售价与时间的函数关系式f(t)＝由题图(2)，设对应的二次函数解析式为g(t)＝a(t－150)2＋100，又该函数过点(250，150)，所以150＝a(250－150)2＋100，解得a＝，则g(t)＝(t－150)2＋100，0＜t≤300.
(2) 若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红杮的纯收益最大？
【解答】设上市时间为t时的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝当0＜t≤200时，h(t)＝－t2＋t＋＝－(t－50)2＋100，当t＝50时，h(t)取得最大值100；当200＜t≤300时，h(t)＝－t2＋t－＝－(t－350)2＋100，当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.综上，当t＝50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大．
探究3 幂函数模型
例3 某公司研发A，B两种芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxα(x>0)(k与α都为常数)，其图象如图所示．
(例3)
(1) 试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万元)的函数关系式；
【解答】由题意可知，生产A种芯片的毛收入y与投入资金x的函数关系式为y＝x(x>0).将点(1，1)，(4，2)的坐标代入函数y＝kxα(x>0)的解析式，得解得因此，生产B种芯片的毛收入y与投入资金x的函数关系式为y＝(x>0).
(2) 现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．(利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
【解答】由题意可得f(x)＝＋－2＝－＋＋8＝－(－2)2＋9.因为0随堂内化及时评价
1. 若一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是( D )
A. y＝2t B. y＝120t
C. y＝2t(t≥0) D. y＝120t(t≥0)
2. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2、3月份利润的月增长率为x，则x满足的方程为( D )
A. 10(1＋x)2＝42
B. 10＋10(1＋x)2＝42
C. 10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝42
D. 10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝42
【解析】若2、3月份利润的月增长率为x，则2月份获得利润为10(1＋x)万元，3月份获得利润为10(1＋x)2万元，依题意得10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝42.
3. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( C )
A. 15 B. 40
C. 25 D. 13
【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25.
4. (课本P95练习2)某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
【解答】设广告牌的长为x m，则宽为 m．设广告牌的面积为y m2，则y＝x·＝－x2＋·x.当x＝l时，y取最大值，此时宽为＝l m，所以当这个广告牌为边长为l m的正方形时，面积最大．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示，某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( B )
(第1题)
A. 310元 B. 300元
C. 390元 D. 280元
2. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( D )
A. 75，25 B. 75，16
C. 60，25 D. 60，16
3. 如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为( C )
(第3题)
A B
C D
【解析】设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为二次函数图象的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C.
某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝
1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( A )
A. a＝45，b＝－30 B. a＝30，b＝－45
C. a＝－30，b＝45 D. a＝－45，b＝－30
【解析】设生产x吨产品全部卖出，获得的利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1 000(x＞0).由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.所以解得
二、 多项选择题
5. 甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是( BD )
(第5题)
A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲同学从家到公园的时间是30 min
C. 甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D. 当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
6. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( CD )
A. 出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B. 出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
C. 出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
D. 某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
【解析】出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15(元)，B错误；出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，C正确；乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，D正确．
三、 填空题
7. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为__125__万元．
【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
8. 如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经过点C，D，A绕正方形的边界运动，最后回到点B.用x表示点P运动的路程，y表示△APB的面积，则y关于x的函数解析式为__y＝__．(当点P在AB上时，规定S△APB＝0)
(第8题)
【解析】当点P在边BC上时，y＝×4x＝2x(0≤x≤4)；当点P在边CD上时，y＝×4×4＝8(4y＝
四、 解答题
9. 为了推进校园篮球运动的发展，某地将于2月举行中小学生男子篮球赛．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 105 70
(1) 商店用4 200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个；
【解答】设购进篮球m个，排球n个，根据题意有解得故购进篮球40个，排球20个．
(2) 设商店所获利润为y(单位：元)，购进篮球的个数为x(单位：个)，请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
【解答】由购进篮球x个，则购进排球(60－x)个，根据题意得y＝(105－80)x＋(70－50)(60－x)＝5x＋1 200，所以y与x之间的函数关系式为y＝5x＋1 200.
(3) 若要使商店的进货成本在4 300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1 400元，请你列举出商店所有进货方案，并求最大利润．
【解答】设购进篮球x个，则购进排球(60－x)个，根据题意有解得40≤x≤.因为x取整数，所以x＝40，41，42，43，共有四种方案．
方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．因为在y＝5x＋1 200中，k＝5＞0，所以y随x的增大而增大，所以当x＝43时，可获得最大利润，最大利润为5×43＋1 200＝1 415元.
10. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起的部分的面积的最小值为( B )
(第10题)
A. B.
C. D.
【解析】如图，过点N作NR⊥AB于点R，则RN＝BC＝1，连接BB′，交MN于点Q，则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ＝B′Q，MB＝MB′，MQ⊥BB′.因为∠A＝∠MQB，∠ABQ＝∠ABB′，所以△MQB∽△B′AB，所以＝＝.设AB′＝x，则BB′＝，BQ＝，代入上式得BM＝B′M＝(1＋x2).因为∠MNR＋∠BMQ＝90°，∠ABB′＋∠BMQ＝90°，所以∠MNR＝∠ABB′.在Rt△MRN和Rt△B′AB中，因为所以Rt△MRN≌ Rt△B′AB，所以MR＝AB′＝x，故C′N＝CN＝BR＝MB－MR＝(1＋x2)－x＝(x－1)2，所以梯形MNC′B′的面积为S＝×1＝(x2－x＋1)＝＋，得当x＝时，梯形面积最小，其最小值为.
(第10题答)
11. 运货卡车以x km/h的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升8元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时80元．
(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；
【解答】卡车行驶时间为 h，则y＝×8×＋80×＝130，所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130，x∈[50，100].
(2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．
【解答】由(1)知，y＝130≥130×2＝，当且仅当＝，即x＝12∈[50，100]时等号成立，故当x＝12 km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．(共47张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
学习 目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
新知初探 基础落实
1. 常见的函数模型
2. 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1) 审题；(2) 建模；(3) 求模；(4) 还原．
典例精讲 能力初成
探究
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某校大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500.
(1) 设他每月获得的利润为w(单位：元)，写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式，并求利润w的最大值；
1
二次函数模型
1
【解答】依题意可得，每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式为w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5 000＝－10(x－30)2＋4 000，所以当x＝30时，wmax＝4 000，故利润w与销售单价x的函数关系式为w＝－10x2＋600x－5 000，最大利润为4 000元．
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某校大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500.
(2) 相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果他想要每月获得的利润不少于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
【解答】由每月获得的利润不小于3 000元，得w＝－10x2＋600x－5 000≥3 000，即x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40，又这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)·(－10x＋500)＝－20x＋1 000.由20≤x≤25可得500≤－20x＋1 000≤600，所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是[500，600]元．
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1) 方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2) 注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
探究
(课本P94例2)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
2
分段函数模型
2
【解答】阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
(课本P94例2)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
应用分段函数时注意：(1) 分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．(2) 分段函数的定义域为对应的每一段自变量取值范围的并集．(3) 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
变式
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(1)中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(2)中的抛物线表示的函数关系．
(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(1)中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图(2)中的抛物线表示的函数关系．
(2) 若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红杮的纯收益最大？
探究
某公司研发A，B两种芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxα(x>0)(k与α都为常数)，其图象如图所示．
\(1) 试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万元)的函数关系式；
3
幂函数模型
3
某公司研发A，B两种芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxα(x>0)(k与α都为常数)，其图象如图所示．
(2) 现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．(利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
随堂内化 及时评价
1. 若一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是 ( )
A. y＝2t B. y＝120t
C. y＝2t(t≥0) D. y＝120t(t≥0)
D
2. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2、3月份利润的月增长率为x，则x满足的方程为 ( )
A. 10(1＋x)2＝42 B. 10＋10(1＋x)2＝42
C. 10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝42 D. 10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝42
D
【解析】若2、3月份利润的月增长率为x，则2月份获得利润为10(1＋x)万元，3月份获得利润为10(1＋x)2万元，依题意得10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝42.
【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25.
C
4. (课本P95练习2)某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示，某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 ( )
A. 310元
B. 300元
C. 390元
D. 280元
B
D
3. 如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为 ( )
C
【答案】A
二、 多项选择题
5. 甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是 ( )
A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲同学从家到公园的时间是30 min
C. 甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
BD
6. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是
( )
A. 出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B. 出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
C. 出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
D. 某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
CD
【解析】出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15(元)，B错误；出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，C正确；乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，D正确．
三、 填空题
7. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为______万元．
【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
125
8. 如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经过点C，D，A绕正方形的边界运动，最后回到点B.用x表示点P运动的路程，y表示△APB的面积，则y关于x的函数解析式为________．(当点P在AB上时，规定S△APB＝0)
四、 解答题
9. 为了推进校园篮球运动的发展，某地将于2月举行中小学生男子篮球赛．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如表：
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 105 70
(1) 商店用4 200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个；
9. 为了推进校园篮球运动的发展，某地将于2月举行中小学生男子篮球赛．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如表：
【解答】由购进篮球x个，则购进排球(60－x)个，根据题意得y＝(105－80)x＋(70－50)(60－x)＝5x＋1 200，所以y与x之间的函数关系式为y＝5x＋1 200.
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 105 70
(2) 设商店所获利润为y(单位：元)，购进篮球的个数为x(单位：个)，请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
9. 为了推进校园篮球运动的发展，某地将于2月举行中小学生男子篮球赛．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如表：
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 105 70
(3) 若要使商店的进货成本在4 300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1 400元，请你列举出商店所有进货方案，并求最大利润．
方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．因为在y＝5x＋1 200中，k＝5＞0，所以y随x的增大而增大，所以当x＝43时，可获得最大利润，最大利润为5×43＋1 200＝1 415元.
10. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起的部分的面积的最小值为 ( )
【答案】B
(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．
