微专题2 抽象函数的性质的综合应用
典例剖析素养初现
拓展1 抽象函数的定义域
例1 已知函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(2x－1)的定义域为( )
A. [－3，5] B. [－1，1]
C. [0，4] D. [0，2]
抽象函数的定义域的求法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
变式 已知函数y＝f(3x＋2)的定义域为，则函数y＝的定义域为( )
A. (1，5] B. [1，5]
C. D. (2，5]
拓展2 抽象函数的单调性
例2 (1) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；当x>0时，f(x)<0.求证：f(x)在R上是减函数．
(2) 设f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x，y有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数．
证明单调性，实质就是构造定义法，当x1拓展3 抽象函数的奇偶性
例3 已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1) 求证：f(0)＝1；
(2) 求证：f(x)是偶函数．
判断奇偶性，实质就是赋值：
(1) 首先，可赋值得到一些特殊点的函数值，如f(0)，f(1)等．
(2) 其次，尝试适当的换元字母，构造出x和－x，如遇到f(x＋y)，可令y＝－x；遇到f(xy)，可令y＝－1等．
(3) 最终可以通过各类抽象函数结构，来积累一定的赋值技巧．
拓展4 奇偶性、单调性、对称性综合
例4 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则下列选项中正确的有( )
A. f(2)＝0
B. f(x＋2)＝f(x)
C. f(x)的图象关于直线x＝1对称
D. f(x－2)是奇函数
1. 函数周期性常用结论：对f(x)定义域内任一自变量x，若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).
注：周期问题，在三角函数5.4第2课时有更详细的涉及.
2. 函数图象的对称性
(1) 函数图象自身的轴对称
①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；②若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2) 函数图象自身的中心对称
①函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)；②函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x).
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x－3)的定义域是[－2，4]，则函数f(2x－1)的定义域是( )
A. B. [－5，7]
C. [－9，1] D. [－2，1]
2. 设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈[1，3]时，f(x)＝kx＋m，若f(0)－f(3)＝－2，则f(4)＝( )
A. －2 B. 0
C. 2 D. 4
3. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x1>0，x2>0，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).当x>1时，f(x)<0，若f(2m－1)>f(2－m2)，则m的取值范围是 ．
4. 已知函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 若f(1)＝－2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；
(3) 求关于x的不等式f(－2x2)－f(x)>f(4x)－f(－2)的解集．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x－1)的定义域为(－∞，3]，则函数f的定义域为( )
A. [1，2]
B. [1，2)
C. (－∞，1]∪[2，＋∞)
D．(－∞ ，1]∪(2，＋∞)
2. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y＋1)－f(x＋y＋1)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝( )
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
3. 若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f(－3)＝1，则f(x)<1的解集为( )
A. (－3，0)∪(3，＋∞)
B. (0，3)∪(－3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
D. (－3，0)∪(0，3)
4. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f(x)＋2 025是奇函数
D. f(x)＋2 025是偶函数
二、 多项选择题
5. 下列关于函数性质说法正确的有( )
A. 若定义在R上的函数f(x)满足 f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的增函数
B. 若定义在R上的函数f(x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)
C. 若函数f(x)的定义域为[a，b]，aD. |a＋b|＝|a|＋|b|的充要条件是ab≥0
6. 已知函数y＝f(x)，x∈R，对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则( )
A. f(x)的图象经过坐标原点
B. f(3x)＝3f(x)
C. f(x)单调递增
D. f(－x)＋f(x)＝0
7. 已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若对 x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x)f(y)＝16xy，则( )
A. f＝0
B. f＝2
C. 函数f为奇函数
D. 函数f为增函数
8. (2025·广东大湾区期末)已知函数f(x)的定义域为R，在[1，＋∞)上单调递减，f(2)＝－2，且f(x＋1)是奇函数，则下列结论正确的是( )
A. f(0)＝0
B. f(1)＝0
C. 不等式f(x)≥2的解集是(－∞，0]
D. 不等式xf(x)<0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)
三、 填空题
9. 已知 a，b∈R，均有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝4，则f(0)＋f(4)＝ ．
10. 设f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，都有<0恒成立．请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝ ．
四、 解答题
11. 已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断f(x)的奇偶性并证明．
12. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)<0，且f(2)＝－2，解不等式f(x－2)＋f(x＋4)＋8>0.
13. 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝.
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
(2) 利用函数的单调性定义证明：f(x)在R上单调递减；
(3) 若不等式f(mx2＋x)－f(x2－x＋1)>－1对于任意的x∈恒成立，求实数m的取值范围．微专题2 抽象函数的性质的综合应用
典例剖析素养初现
拓展1 抽象函数的定义域
例1 已知函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(2x－1)的定义域为( D )
A. [－3，5] B. [－1，1]
C. [0，4] D. [0，2]
【解析】函数f(x)的定义域为[－1，3]，所以－1≤2x－1≤3，解不等式得0≤x≤2，即函数f(2x－1)的定义域为[0，2].
抽象函数的定义域的求法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
变式 已知函数y＝f(3x＋2)的定义域为，则函数y＝的定义域为( A )
A. (1，5] B. [1，5]
C. D. (2，5]
【解析】由函数y＝f(3x＋2)的定义域为，得－≤x≤1，则－3≤3x＋2≤5，即y＝f(x)的定义域为[－3，5].在函数y＝中，由解得1拓展2 抽象函数的单调性
例2 (1) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；当x>0时，f(x)<0.求证：f(x)在R上是减函数．
【解答】任取x1＜x2，则x2＝(x2－x1)＋x1，由题得f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1).因为x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．
(2) 设f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x，y有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数．
【解答】令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(1)f(0)，得f(0)＝1.又f(0)＝f(x－x)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·
f(－x)＝1，对任意x<0，则－x>0，所以f(－x)>1，所以f(x)＝＞0，所以 x∈R，f(x)>0.又f(x)＝f[(x－y)＋y]＝f(x－y)f(y)，所以f(x－y)＝.令x2＞x1，则x2－x1＞0，所以＝f(x2－x1)＞1，所以f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在R上为增函数．
证明单调性，实质就是构造定义法，当x1拓展3 抽象函数的奇偶性
例3 已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1) 求证：f(0)＝1；
【解答】在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中，令x＝y＝0，得2f(0)＝2[f(0)]2，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2) 求证：f(x)是偶函数．
【解答】在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中，令x＝0，y＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，又f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的偶函数．
判断奇偶性，实质就是赋值：
(1) 首先，可赋值得到一些特殊点的函数值，如f(0)，f(1)等．
(2) 其次，尝试适当的换元字母，构造出x和－x，如遇到f(x＋y)，可令y＝－x；遇到f(xy)，可令y＝－1等．
(3) 最终可以通过各类抽象函数结构，来积累一定的赋值技巧．
拓展4 奇偶性、单调性、对称性综合
例4 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则下列选项中正确的有( ACD )
A. f(2)＝0
B. f(x＋2)＝f(x)
C. f(x)的图象关于直线x＝1对称
D. f(x－2)是奇函数
【解析】由f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，可得f(x)关于点(0，0)和直线x＝1对称，从而f(x)的周期T＝4，故B错误，C正确；对于A，由对称性及奇函数的性质可知f(2)＝f(0)＝0，故A正确；对于D，由f(x)关于点(0，0)和直线x＝1对称，从而f(x)关于点(2，0)对称，又因为f(x)的周期T＝4，可得f(x)关于点(－2，0)对称，所以f(x－2)是奇函数，故D正确．
1. 函数周期性常用结论：对f(x)定义域内任一自变量x，若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).
注：周期问题，在三角函数5.4第2课时有更详细的涉及.
2. 函数图象的对称性
(1) 函数图象自身的轴对称
①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；②若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2) 函数图象自身的中心对称
①函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝
－f(2a＋x)；②函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x).
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x－3)的定义域是[－2，4]，则函数f(2x－1)的定义域是( D )
A. B. [－5，7]
C. [－9，1] D. [－2，1]
2. 设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈[1，3]时，f(x)＝kx＋m，若f(0)－f(3)＝－2，则f(4)＝( C )
A. －2 B. 0
C. 2 D. 4
【解析】因为f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)①.又f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)②.令x＝1，由②得f(0)＝f(2)＝2k＋m，又f(3)＝3k＋m，所以f(0)－f(3)＝2k＋m－(3k＋m)＝－k＝－2，得k＝2.令x＝0，由①得f(－1)＝－f(－1) f(－1)＝0.令x＝2，由②得f(－1)＝f(3)＝0，所以f(3)＝3k＋m＝0 m＝－6，故x∈[1，3]时，f(x)＝2x－6.结合①②得，f(x＋2)＝－f(x－2) f(x＋4)＝－f(x) f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝8，所以f(4)＝f(－4)＝－f(2)＝－(2×2－6)＝2.
3. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x1>0，x2>0，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).当x>1时，f(x)<0，若f(2m－1)>f(2－m2)，则m的取值范围是____．
【解析】令0＜x1＜x2，则＞1，而当x＞1时，f(x)＜0，所以f＜0，因此f(x2)＝f＝f(x1)＋f＜f(x1)，从而得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2m－1)＞f(2－m2)得0＜2m－1＜2－m2，解得＜m＜1，所以m的取值范围是.
4. 已知函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
【解答】f(x)的定义域是R，关于原点对称，令x＝y＝0得f(0)＝0，再令y＝－x，得
f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2) 若f(1)＝－2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；
【解答】设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2－x1＞0，由已知得f(x2－x1)＜0①.又f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)②，由①②知f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是R上的减函数．当x∈[－2，2]时，f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝－f(1＋1)＝－2f(1)＝4，所以f(x)在[－2，2]上的最大值为4.
(3) 求关于x的不等式f(－2x2)－f(x)>f(4x)－f(－2)的解集．
【解答】由已知得f(－2x2)－f(4x)＞2[f(x)－f(－2)]，由(1)知f(x)是奇函数，又f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立，上式可化为f(－2x2－4x)＞2f(x＋2)＝f(x＋2)＋f(x＋2)＝f(2x＋4)，由(2)知f(x)是R上的减函数，所以－2x2－4x＜2x＋4，化简得(x＋2)(x＋1)＞0，解得x＜－2或x＞－1，所以原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞－1}．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x－1)的定义域为(－∞，3]，则函数f的定义域为( D )
A. [1，2]
B. [1，2)
C. (－∞，1]∪[2，＋∞)
D．(－∞ ，1]∪(2，＋∞)
2. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y＋1)－f(x＋y＋1)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝( C )
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
【解析】令x＝y＝1可得f(1)－f(3)＝f(1)·f(1)，即2－f(3)＝22，解得f(3)＝－2.令x＝1，y＝0可得f(1)·f(0)＝f(2)－f(2)＝0，则f(0)＝0.令x＝0，y＝1可得f(0)－f(2)＝f(0)·f(1)＝0，则f(2)＝f(0)＝0.令x＝2，y＝1可得f(2)－f(4)＝f(2)f(1)＝0，可得f(4)＝f(2)＝0.因此，f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2.
3. 若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f(－3)＝1，则f(x)<1的解集为( C )
A. (－3，0)∪(3，＋∞)
B. (0，3)∪(－3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
D. (－3，0)∪(0，3)
【解析】由题知f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(3)＝1，所以不等式f(x)＜1，即为|x|＞3，解得x＜－3或x＞3.
4. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025，则下列说法正确的是( C )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f(x)＋2 025是奇函数
D. f(x)＋2 025是偶函数
【解析】因为f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025，所以令x＝y＝0，可得f(0)＝－2 025，令y＝－x，则f(0)－f(x)－f(－x)＝2 025，所以f(－x)＝－f(x)－4 050，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，且f(－x)＋2 025＝－[f(x)＋2 025]，所以f(x)＋2 025是奇函数．
二、 多项选择题
5. 下列关于函数性质说法正确的有( BCD )
A. 若定义在R上的函数f(x)满足 f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的增函数
B. 若定义在R上的函数f(x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)
C. 若函数f(x)的定义域为[a，b]，aD. |a＋b|＝|a|＋|b|的充要条件是ab≥0
6. 已知函数y＝f(x)，x∈R，对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则( ABD )
A. f(x)的图象经过坐标原点
B. f(3x)＝3f(x)
C. f(x)单调递增
D. f(－x)＋f(x)＝0
【解析】对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)的图象经过坐标原点，所以A正确；对于B，令y＝x，则f(2x)＝2f(x)，再令y＝2x，则f(3x)＝f(x)＋f(2x)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)，所以B正确；对于D，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以D正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，由D选项可知f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)，而f(x1－x2)的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误．
7. 已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若对 x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x)f(y)＝16xy，则( AC )
A. f＝0
B. f＝2
C. 函数f为奇函数
D. 函数f为增函数
【解析】对于A，令x＝，y＝0，则f＋f·f(0)＝0，结合f≠0，可得1＋f(0)＝0，所以f(0)＝－1.令x＝，y＝－，则f(0)＋ff＝－1，即ff＝0，而f≠0，故f＝0，A正确；对于C，令x∈R，y＝－，则f＋f(x)·f＝－4x，即f＝－4x，该函数为奇函数，C正确；对于B，结合C的分析，令x＝，则f＝－4×＝
－2，B错误；对于D，由于f＝－4x，用x＋代换x，可得f＝－4＝－4x－2，该函数为减函数，D错误．
8. (2025·广东大湾区期末)已知函数f(x)的定义域为R，在[1，＋∞)上单调递减，f(2)＝－2，且f(x＋1)是奇函数，则下列结论正确的是( BCD )
A. f(0)＝0
B. f(1)＝0
C. 不等式f(x)≥2的解集是(－∞，0]
D. 不等式xf(x)<0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】因为函数y＝f(x＋1)是由函数y＝f(x)向左平移1个单位长度得到的，而f(x＋1)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，且f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(1)＝0，故B正确；所以f(0)＝－f(2)＝2，故A错误；又因为函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在R上是减函数，则不等式f(x)≥2，即为f(x)≥f(0)，所以x≤0，所以不等式f(x)≥2的解集是(－∞，0]，故C正确；又f(1)＝0，则当x>1时，f(x)<0，当x<1时，f(x)>0，因为xf(x)<0，所以或解得x>1或x<0，所以不等式xf(x)<0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故D正确．
三、 填空题
9. 已知 a，b∈R，均有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝4，则f(0)＋f(4)＝__8__．
【解析】令a＝b＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，则f(0)＝0.令a＝b＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝8，故f(0)＋f(4)＝8.
10. 设f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，都有<0恒成立．请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝__(答案不唯一)__．
【解析】由题意可得，函数f(x)需满足在第二象限内有图象且在(0，＋∞)上单调递减即可，故满足上述条件的函数可以为f(x)＝.
四、 解答题
11. 已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断f(x)的奇偶性并证明．
【解答】f(x)为偶函数．证明如下：令x2＝1，有f(x1)＝f(x1)＋f(1)，所以f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
12. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)<0，且f(2)＝－2，解不等式f(x－2)＋f(x＋4)＋8>0.
【解答】由f(xy)＝f(x)＋f(y)可得，f(x－2)＋f(x＋4)＝f[(x＋4)(x－2)].又f(2)＝－2，则f(16)＝f(4)＋f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)＝－8.设任意x1，x2＞0，且x1＜x2，则＞1，又当x＞1时，f(x)＜0，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝－f(x1)＝f＜0，即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．原不等式f(x－2)＋f(x＋4)＋8＞0等价于解得2＜x＜4，即不等式的解集为(2，4).
13. 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝.
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
【解答】令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是R上的奇函数．
(2) 利用函数的单调性定义证明：f(x)在R上单调递减；
【解答】任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2).因为当x＞0时，f(x)＜0，而x1＞x2，即x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上单调递减．
(3) 若不等式f(mx2＋x)－f(x2－x＋1)>－1对于任意的x∈恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】由(1)知f(x)是R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝，所以f(1)＝－，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－－＝－1，所以不等式f(mx2＋x)－f(x2－x＋1)＞－1可化为f(mx2＋x)－f(x2－x＋1)＞f(2)，即f(mx2＋x)＞f(2)＋f(x2－x＋1)，所以f(mx2＋x)＞f(x2－x＋3).由(2)知，f(x)在R上单调递减，所以mx2＋x＜x2－x＋3，故问题转化为mx2＜x2－2x＋3对于任意的x∈恒成立，即m＜1－＋对于任意的x∈恒成立．令t＝，t∈，故问题可转化为m＜1－2t＋3t2对任意的t∈恒成立．令g(t)＝3t2－2t＋1＝3＋，所以g(t)min＝g＝，所以m＜，即实数m的取值范围为.(共37张PPT)
第三章 函数的概念与性质
微专题2 抽象函数的性质的综合应用
典例剖析 素养初现
已知函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(2x－1)的定义域为 ( )
A. [－3，5] B. [－1，1]
C. [0，4] D. [0，2]
1
抽象函数的定义域
D
拓展
1
【解析】函数f(x)的定义域为[－1，3]，所以－1≤2x－1≤3，解不等式得0≤x≤2，即函数f(2x－1)的定义域为[0，2].
抽象函数的定义域的求法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
变式
A
(1) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；当x>0时，f(x)<0.求证：f(x)在R上是减函数．
2
抽象函数的单调性
拓展
2
【解答】任取x1＜x2，则x2＝(x2－x1)＋x1，由题得f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1).因为x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．
(2) 设f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x，y有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数．
已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1) 求证：f(0)＝1；
3
抽象函数的奇偶性
拓展
3
【解答】在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中，令x＝y＝0，得2f(0)＝2[f(0)]2，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2) 求证：f(x)是偶函数．
【解答】在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中，令x＝0，y＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，又f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的偶函数．
判断奇偶性，实质就是赋值：
(1) 首先，可赋值得到一些特殊点的函数值，如f(0)，f(1)等．
(2) 其次，尝试适当的换元字母，构造出x和－x，如遇到f(x＋y)，可令y＝－x；遇到f(xy)，可令y＝－1等．
(3) 最终可以通过各类抽象函数结构，来积累一定的赋值技巧．
(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则下列选项中正确的有 ( )
A. f(2)＝0 B. f(x＋2)＝f(x)
C. f(x)的图象关于直线x＝1对称 D. f(x－2)是奇函数
4
奇偶性、单调性、对称性综合
ACD
拓展
4
【解析】由f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，可得f(x)关于点(0，0)和直线x＝1对称，从而f(x)的周期T＝4，故B错误，C正确；对于A，由对称性及奇函数的性质可知f(2)＝f(0)＝0，故A正确；对于D，由f(x)关于点(0，0)和直线x＝1对称，从而f(x)关于点(2，0)对称，又因为f(x)的周期T＝4，可得f(x)关于点(－2，0)对称，所以f(x－2)是奇函数，故D正确．
2. 函数图象的对称性
(1) 函数图象自身的轴对称
(2) 函数图象自身的中心对称
①函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)；②函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x).
随堂内化 及时评价
D
2. 设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈[1，3]时，f(x)＝kx＋m，若f(0)－f(3)＝－2，则f(4)＝ ( )
A. －2 B. 0 C. 2 D. 4
C
【解析】因为f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)①.又f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)②.令x＝1，由②得f(0)＝f(2)＝2k＋m，又f(3)＝3k＋m，所以f(0)－f(3)＝2k＋m－(3k＋m)＝－k＝－2，得k＝2.令x＝0，由①得f(－1)＝－f(－1)
f(－1)＝0.令x＝2，由②得f(－1)＝f(3)＝0，所以f(3)＝3k＋m＝0 m＝－6，故x∈[1，3]时，f(x)＝2x－6.结合①②得，f(x＋2)＝－f(x－2) f(x＋4)＝－f(x) f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝8，所以f(4)＝f(－4)＝－f(2)＝－(2×2－6)＝2.
3. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x1>0，x2>0，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋
f(x2).当x>1时，f(x)<0，若f(2m－1)>f(2－m2)，则m的取值范围是________．
4. 已知函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
【解答】f(x)的定义域是R，关于原点对称，令x＝y＝0得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2) 若f(1)＝－2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；
【解答】设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2－x1＞0，由已知得f(x2－x1)＜0①.又f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)②，由①②知f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是R上的减函数．当x∈[－2，2]时，f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝－f(1＋1)＝－2f(1)＝4，所以f(x)在[－2，2]上的最大值为4.
【解答】由已知得f(－2x2)－f(4x)＞2[f(x)－f(－2)]，由(1)知f(x)是奇函数，又f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立，上式可化为f(－2x2－4x)＞2f(x＋2)＝f(x＋2)＋f(x＋2)＝f(2x＋4)，由(2)知f(x)是R上的减函数，所以－2x2－4x＜2x＋4，化简得(x＋2)(x＋1)＞0，解得x＜－2或x＞－1，所以原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞－1}．
配套新练案
D
2. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y＋1)－f(x＋y＋1)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝ ( )
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
C
【解析】令x＝y＝1可得f(1)－f(3)＝f(1)·f(1)，即2－f(3)＝22，解得f(3)＝－2.令x＝1，y＝0可得f(1)·f(0)＝f(2)－f(2)＝0，则f(0)＝0.令x＝0，y＝1可得f(0)－f(2)＝f(0)·f(1)＝0，则f(2)＝f(0)＝0.令x＝2，y＝1可得f(2)－f(4)＝f(2)f(1)＝0，可得f(4)＝f(2)＝0.因此，f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2.
3. 若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f(－3)＝1，则f(x)<1的解集为
( )
A. (－3，0)∪(3，＋∞) B. (0，3)∪(－3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(3，＋∞) D. (－3，0)∪(0，3)
C
【解析】由题知f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(3)＝1，所以不等式f(x)＜1，即为|x|＞3，解得x＜－3或x＞3.
4. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025，则下列说法正确的是 ( )
A. f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数
C. f(x)＋2 025是奇函数 D. f(x)＋2 025是偶函数
C
【解析】因为f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 025，所以令x＝y＝0，可得f(0)＝－2 025，令y＝－x，则f(0)－f(x)－f(－x)＝2 025，所以f(－x)＝－f(x)－4 050，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，且f(－x)＋2 025＝－[f(x)＋2 025]，所以f(x)＋2 025是奇函数．
二、 多项选择题
5. 下列关于函数性质说法正确的有 ( )
A. 若定义在R上的函数f(x)满足 f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的增函数
B. 若定义在R上的函数f(x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)
C. 若函数f(x)的定义域为[a，b]，aD. |a＋b|＝|a|＋|b|的充要条件是ab≥0
BCD
6. 已知函数y＝f(x)，x∈R，对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 ( )
A. f(x)的图象经过坐标原点 B. f(3x)＝3f(x)
C. f(x)单调递增 D. f(－x)＋f(x)＝0
ABD
【解析】对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)的图象经过坐标原点，所以A正确；对于B，令y＝x，则f(2x)＝2f(x)，再令y＝2x，则f(3x)＝f(x)＋f(2x)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)，所以B正确；对于D，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以D正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，由D选项可知f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)，而f(x1－x2)的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误．
【答案】AC
8. (2025·广东大湾区期末)已知函数f(x)的定义域为R，在[1，＋∞)上单调递减，f(2)＝－2，且f(x＋1)是奇函数，则下列结论正确的是 ( )
A. f(0)＝0
B. f(1)＝0
C. 不等式f(x)≥2的解集是(－∞，0]
D. 不等式xf(x)<0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】BCD
三、 填空题
9. 已知 a，b∈R，均有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝4，则f(0)＋f(4)＝____．
【解析】令a＝b＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，则f(0)＝0.令a＝b＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝8，故f(0)＋f(4)＝8.
8
四、 解答题
11. 已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断f(x)的奇偶性并证明．
12. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)<0，且f(2)＝－2，解不等式f(x－2)＋f(x＋4)＋8>0.
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
【解答】令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋
f(－x)，即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是R上的奇函数．
(2) 利用函数的单调性定义证明：f(x)在R上单调递减；
【解答】任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2).因为
当x＞0时，f(x)＜0，而x1＞x2，即x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在R上单调递减．
