微专题3 函数y＝ax＋(ab≠0)的性质
典例剖析素养初现
拓展1 “对勾”函数的性质
1. 对勾函数
解析式 y＝ax＋ (a>0，b>0) y＝ax＋ (a<0，b<0)
图象
定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞)
渐近线 y＝ax，x＝0
值域 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
奇偶性 奇函数
单调性 ↑：，； ↓：， ↑：，； ↓：，
注意：基本不等式ax＋≥2＝2(ax>0，bx>0)，当且仅当ax＝时取到最小值，即x＝时，y＝2.
例1-1 已知x>0，求函数y＝x＋的最小值．
【解答】设y＝f(x)，0
0，此时f(x)单调递减；对于任意的x1，x2，只有当x1，x2∈(1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)<0，此时f(x)单调递增．所以当x＝1时f(x)取到最小值，且ymin＝f(1)＝2.
例1-2 若函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( B )
A. B.
C. D.
【解析】令f(x)＝t，则y＝t＋，t∈.当t∈时，y＝t＋单调递减；当t∈[1，3]时，y＝t＋单调递增．又当t＝时，y＝；当t＝1时，y＝2；当t＝3时，y＝，所以函数F(x)的值域为.
变式 (多选)已知函数f(x)＝x＋，下列结论正确的有( ABD )
A. 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B. 值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
C. 在(－2，0)∪(0，2)上单调递减
D. 图象关于原点对称
【解析】对于A，函数f(x)＝x＋有意义，则满足x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以A正确．对于B，当x>0时，可得x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以f(x)≥4；当x<0时，可得x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以f(x)≤－4，所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，所以B正确．对于C，函数f(x)＝x＋在(－2，0)，(0，2)上单调递减，所以C不正确．对于D，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且满足f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以D正确．
拓展2 “飘带”函数的性质
1. 飘带函数
解析式 y＝ax－(a>0，b>0) y＝ax－(a<0，b<0)
图象
定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞)
渐近线 y＝ax，x＝0
值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 ↑：(－∞，0)，(0，＋∞) ↓：(－∞，0)，(0，＋∞)
例2 研究f(x)＝x－的图象与性质．
【解答】定义域为{x|x≠0}，值域为R. x1，x2∈(－∞，0)且x10，x1－x2<0，x1x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)＋∞)，且x10，x1x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(例2答)
变式 函数f(x)＝－2x在区间(－2，－1]上的最小值为( A )
A. 1 B.
C. － D. －1
【解析】因为y＝，y＝－2x在区间(－2，－1]上都是减函数，所以f(x)＝－2x在区间(－2，－1]上也是减函数，因此f(x)min＝f(－1)＝－1＋2＝1.
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝(0≤x≤3)的值域为____．
【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2，2≤t≤5，y＝＝＝t＋－6，2≤t≤5.因为y＝t＋－6在[2，]上单调递减，在[，5]上单调递增，所以当t＝时，ymin＝2－6.且当t＝2时，y＝2＋－6＝－；当t＝5时，y＝5＋－6＝，所以ymax＝.综上，f(x)的值域为
2. 函数y＝x＋在区间[1，2]上的最小值为__2__．
【解析】因为y＝x＋在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以当x＝时函数有最小值2.
3. 已知函数f(x)＝ax＋，其中a，b为常数，且f(1)＝5，f(2)＝4.
(1) 求a，b的值；
【解答】因为f(x)＝ax＋，所以解得a＝1，b＝4.
(2) 利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，2)上是减函数；
【解答】由(1)知f(x)＝x＋，任取x1，x2∈(0，2)且x10，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，2)上是减函数．
(3) 求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值．
【解答】设2配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝x＋(x≥2)的最小值为( C )
A. 2 B. 2
C. 3 D.
2. 已知函数f(x)＝x2＋－1，则f(x)的最小值是( A )
A. － B. －1
C. 0 D. 1
【解析】f(x)＝x2＋2＋－3，令t＝x2＋2，t≥2，则h(t)＝t＋－3在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时有最小值为2＋－3＝－，所以f(x)的最小值为－.
3. 函数f(x)＝|x|－(x≠0)的图象不可能是( C )
A B
C D
【解析】当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，A有可能；当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，D有可能；当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B有可能，所以C不可能．
二、 多项选择题
4. 已知y＝x＋，下列关于y的最小值的描述正确的是( BD )
A. x≥2时，y的最小值是2
B. x>0时，y的最小值是2
C. x＝时，y取得最小值
D. x<0时，y没有最小值
5. 下列不等式正确的有( CD )
A. 若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
B. 函数y＝x＋(0C. 当x>－1时，x＋≥1
D. 函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为1＋2
【解析】对于A，令t＝，则t≥2，y＝t＋，t≥2，根据对勾函数的单调性知y＝t＋在(1，＋∞)上单调递增，所以ymin＝2＋＝，故A错误；对于B，当x∈(0，1)时，根据对勾函数的单调性知y＝x＋为减函数，所以y>1＋4＝5，故B错误；对于C，因为x>－1，则x＋1>0，所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，故C正确；对于D，y＝1－2x－≥2＋1＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时等号成立，故D正确．
三、 填空题
6. 设x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是__(－∞，－2]__．
【解析】设函数f(x)＝x＋，则当x∈[－2，－1]时，f(x)＝x＋单调递增，此时f(x)∈；当x∈(－1，0)时，f(x)＝x＋单调递减，此时f(x)∈(－∞，－2)，所以当x∈[－2，0)时，x＋的取值范围是(－∞，－2].
7. 已知对勾函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－a)和(a，＋∞)内均为增函数，在(－a，0)和(0，a)内均为减函数．若对勾函数f(x)＝x＋(t>0)在整数集合Z内为增函数，则实数t的取值范围为__(0，2)__.
【解析】根据题意知f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)内为增函数．要使f(x)在整数集合Z内为增函数，则即解得08. “对勾函数”f(x)＝x＋(a>0)具有如下性质：该函数在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．已知函数f(x)＝x＋(0【解析】易知f(x)为奇函数，且f(x)在[－2，－1]上的最大值比最小值大，所以f(x)在[1，2]上的最大值比最小值大.由对勾函数的性质可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．当≤1，即09. 设函数f(x)＝x＋，x∈，若 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[2，＋∞)__．
【解析】因为函数f(x)＝x＋，x∈，而函数f(x)在上为减函数，在[1，3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝1＋1＝2，即函数f(x)的最小值为2.又 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则a2－a≥f(x)min，即a2－a≥2，解得a≥2或a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1) 利用函数的单调性证明：f(x)在(0，)，(，＋∞)上的单调性；
【解答】设00，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)为减函数；当a，则x1x2－a>0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2) 证明f(x)的奇偶性；
【解答】因为f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(3) 画出g(x)＝x＋(x∈R，x≠0)的简图，并直接写出它的单调区间．
(第10题)
【解答】结合(1)(2)中函数f(x)的奇偶性和单调性作出函数的图象如图所示，由图象和性质知g(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)，(0，2).
(第10题答)
11. 函数f(x)＝在区间上( A )
A. 有最大值为，最小值为0
B. 有最大值为，最小值为0
C. 有最大值为，无最小值
D. 有最大值为，无最小值
【解析】当x≠0时，f(x)＝＝＝，设x－＝t，易知t＝x－在[1，3]上单调递增，故t∈.g(t)＝，g(0)＝0，当t>0时，g(t)＝＝，又对勾函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在上单调递增，且y>0，故g(t)max＝g()＝，g(t)>0.综上所述，g(t)max＝，g(t)min＝0，即f(x)max＝，f(x)min＝0.
12. 已知函数f(x)＝(x∈[0，＋∞))，其中a>0，b∈R，求f(x)的单调递增区间．
【解答】f(x)＝＝(x＋a)＋－3a，显然f(x)＝(x＋a)＋－3a与g(x)＝(x＋a)＋有相同的单调区间，而g(x)＝(x＋a)＋是由函数h(x)＝x＋向左平移a个单位长度得到．
(1) 当2a2－b2＝0时，显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)；(2) 当2a2－b2<0时，由图(1)易知此时f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)；
图① 图②
(第12题(1)答)
(3) 当2a2－b2>0时，
①若≥a时，由图(2)得f(x)的单调递增区间为[－a，＋∞)；
图③ 图④
(第12题(2)答)
②若图⑤ 图⑥
(第12题(3)答)微专题3 函数y＝ax＋(ab≠0)的性质
典例剖析素养初现
拓展1 “对勾”函数的性质
1. 对勾函数
解析式 y＝ax＋ (a>0，b>0) y＝ax＋ (a<0，b<0)
图象
定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞)
渐近线 y＝ax，x＝0
值域 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
奇偶性 奇函数
单调性 ↑：，； ↓：， ↑：，； ↓：，
注意：基本不等式ax＋≥2＝2(ax>0，bx>0)，当且仅当ax＝时取到最小值，即x＝时，y＝2.
例1-1 已知x>0，求函数y＝x＋的最小值．
例1-2 若函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )
A. B.
C. D.
变式 (多选)已知函数f(x)＝x＋，下列结论正确的有( )
A. 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B. 值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
C. 在(－2，0)∪(0，2)上单调递减
D. 图象关于原点对称
拓展2 “飘带”函数的性质
1. 飘带函数
解析式 y＝ax－ (a>0，b>0) y＝ax－ (a<0，b<0)
图象
定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞)
渐近线 y＝ax，x＝0
值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 ↑：(－∞，0)，(0，＋∞) ↓：(－∞，0)，(0，＋∞)
例2 研究f(x)＝x－的图象与性质．
变式 函数f(x)＝－2x在区间(－2，－1]上的最小值为( )
A. 1 B.
C. － D. －1
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝(0≤x≤3)的值域为 ．
2. 函数y＝x＋在区间[1，2]上的最小值为 ．
3. 已知函数f(x)＝ax＋，其中a，b为常数，且f(1)＝5，f(2)＝4.
(1) 求a，b的值；
(2) 利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，2)上是减函数；
(3) 求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝x＋(x≥2)的最小值为( )
A. 2 B. 2
C. 3 D.
2. 已知函数f(x)＝x2＋－1，则f(x)的最小值是( )
A. － B. －1
C. 0 D. 1
3. 函数f(x)＝|x|－(x≠0)的图象不可能是( )
A B
C D
二、 多项选择题
4. 已知y＝x＋，下列关于y的最小值的描述正确的是( )
A. x≥2时，y的最小值是2
B. x>0时，y的最小值是2
C. x＝时，y取得最小值
D. x<0时，y没有最小值
5. 下列不等式正确的有( )
A. 若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
B. 函数y＝x＋(0C. 当x>－1时，x＋≥1
D. 函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为1＋2
三、 填空题
6. 设x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是 ．
7. 已知对勾函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－a)和(a，＋∞)内均为增函数，在(－a，0)和(0，a)内均为减函数．若对勾函数f(x)＝x＋(t>0)在整数集合Z内为增函数，则实数t的取值范围为 .
8. “对勾函数”f(x)＝x＋(a>0)具有如下性质：该函数在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．已知函数f(x)＝x＋(09. 设函数f(x)＝x＋，x∈，若 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1) 利用函数的单调性证明：f(x)在(0，)，(，＋∞)上的单调性；
(2) 证明f(x)的奇偶性；
(3) 画出g(x)＝x＋(x∈R，x≠0)的简图，并直接写出它的单调区间．
(第10题)
11. 函数f(x)＝在区间上( )
A. 有最大值为，最小值为0
B. 有最大值为，最小值为0
C. 有最大值为，无最小值
D. 有最大值为，无最小值
12. 已知函数f(x)＝(x∈[0，＋∞))，其中a>0，b∈R，求f(x)的单调递增区间．(共41张PPT)
第三章 函数的概念与性质
微专题3 函数y＝ax＋ (ab≠0)的性质
典例剖析 素养初现
1. 对勾函数
“对勾”函数的性质
拓展
1
1－1
1－2
B
变式
【答案】ABD
1. 飘带函数
“飘带”函数的性质
拓展
2
2
变式
A
随堂内化 及时评价
配套新练案
C
A
【答案】C
BD
【答案】CD
(－∞，－2]
(0，2)
【答案】1
(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解答】结合(1)(2)中函数f(x)的奇偶性和单调性作出函数的
图象如图所示，由图象和性质知g(x)的单调递增区间为(2，
＋∞)，(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)，(0，2).
【答案】A
(1) 当2a2－b2＝0时，显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)；(2) 当2a2－b2<0时，由图(1)易知此时f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)；