章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 函数的概念：设A，B是两个__非空__的数集，如果按某个确定的__对应关系f__，使得对于集合A中的__每一个__元素x，在集合B中都有__唯一__的元素y和它对应，那么称__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__定义域__，所有的输出值y组成的集合叫做函数的__值域__．函数的定义含有三个要素，即__定义域__、__值域__和__对应关系__．
2. 函数的单调性：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A：当x1
f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数．
3. 奇、偶函数的定义：对于函数f(x)定义域内的__任意__一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__
(或__f(－x)＋f(x)＝0_)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有_f(－x)＝f(x)__(或__f(－x)－f(x)＝0__)，则称f(x)为偶函数．
4. 幂函数的图象与性质：由幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x-1，y＝x3的图象，可归纳出幂函数y＝xα的性质如下：
(1) 幂函数在__(0，＋∞)__上都有定义；
(2) 幂函数的图象都过点__(1，1)__；
(3) 当α>0时，幂函数的图象都过点__(0，0)__与__(1，1)__，且在(0，＋∞)上单调
__递增__；
(4) 当α<0时，幂函数的图象都__不过__点(0，0)，在(0，＋∞)上单调__递减__．
考法聚焦素养养成
考法1 求函数的定义域
例1 (1) 求函数f(x)＝＋的定义域；
【解答】要使函数有意义，则解得x≥1且x≠2，所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}，用区间表示为[1，2)∪(2，＋∞).
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(2x－3)的定义域；
【解答】由题意知－1≤2x－3<1解得1≤x<2，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为[1，2).
(3) 已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(x)的定义域．
【解答】因为函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，所以1≤x≤4，则1≤2x－1≤7，故函数f(x)的定义域是[1，7].
【题组训练】
1. 求y＝＋的定义域．
【解答】由题意知解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2，4)∪(4，＋∞).
2. 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域．
【解答】令t＝x＋1，因为－13. 若函数f(x)的定义域为[0，4]，求函数g(x)＝的定义域．
【解答】由题意得解得14. 求函数y＝－＋的定义域．
【解答】要使函数有意义，需解得－≤x<2且x≠0，所以函数y＝－＋的定义域为－≤x<2且x≠0}.
考法2 二次函数的最值
视角1 轴定区间定
例2-1 当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
【解答】作出函数y＝x2－2x－3在x∈[－2，2]上的图象如图实线部分所示，当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.
(例2-1答)
视角2 轴动区间定
例2-2 已知函数f(x)＝－x2＋4mx－1，求f(x)在[－6，6]上的最大值与最小值．
【解答】f(x)＝－x2＋4mx－1＝－(x－2m)2＋4m2－1，x∈[－6，6]，图象的对称轴为直线x＝2m.当2m<－6，即m<－3时，函数f(x)在[－6，6]上单调递减，如图(1)，所以f(x)max＝f(－6)＝－24m－37，f(x)min＝f(6)＝24m－37.当－6≤2m<0，即－3≤m<0时，如图(2)，所以f(x)max＝f(2m)＝4m2－1，f(x)min＝f(6)＝24m－37.当0≤2m≤6，即0≤m≤3时，如图(3)，所以f(x)max＝f(2m)＝4m2－1，f(x)min＝f(－6)＝－24m－37.当2m>6，即m>3时，如图(4)，所以f(x)max＝f(6)＝24m－37，f(x)min＝f(－6)＝－24m－37.综上，f(x)max＝f(x)min＝
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
(例2-2答)
视角3 轴定区间动
例2-3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
【解答】二次函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，图象的对称轴为直线x＝1.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，则g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1－2＋2＝1；当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.综上所述，g(t)＝
考法3 函数的概念与性质
例3-1 (2025·龙岩期末)已知函数f(x)＝2x＋.
(1) 用定义法证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
【解答】 x1，x2∈[1，＋∞)，且x11，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2) 对任意的x∈[1，5]都有－t2＋2t＋6≤f(x)＋成立，求实数t的取值范围．
【解答】由f(x)＝2x＋在[1，＋∞)上单调递增，可得在[1，5]上，f(x)∈[3，10.2].依题意得－t2＋2t＋6≤，又f(x)＋≥2＝6，当且仅当f(x)＝，即f(x)＝3，即x＝1时取等号，所以－t2＋2t＋6≤6，即t2－2t≥0，解得t≥2或t≤0，即实数t的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞).
例3-2 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1) 求实数m和n的值；
【解答】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－＝，比较得n＝－n，所以n＝0.又f(2)＝，所以＝，解得m＝2，因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2) 求f(x)在[－2，－1]上的最值．
【解答】由(1)知f(x)＝＝＋，任取x1，x2∈[－2，－1]，且x11，x1x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)【题组训练】
1. 若f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围为( C )
A. (0，4] B. [1，2]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
【解析】要使f(x)在R上单调递增，故y＝ax＋在(－∞，2)上单调递增，y＝x＋＋2a在[2，＋∞)上单调递增，且2a＋≤2＋＋2a，所以 1≤a≤4.
2. 若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f＝( B )
A. 1 B. 3
C. D.
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，所以f＝f(1)＝3.
3. 已知定义在R上的函数f(x)，满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是( A )
A. [1，3] B. [－2，1]
C. [0，4] D. [－1，2]
【解析】因为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数，因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由|f(x－2)|≤1，得
－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1).因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
4. (2025·芜湖期末)已知函数f(x)＝＋a，如果存在区间[s，t]，使得函数f(x)在[s，t]上单调，且值域是[2s，2t]，则a的取值范围是____．
【解析】由函数f(x)＝＋a，显然该函数在[s，t]上单调递增，由函数f(x)在[s，t]上的值域为[2s，2t]，则等价于a＝2x－存在两个不相等且大于等于－1的实数根．令t＝≥0，则a＝2x－＝2t2－t－2＝2－，令f(t)＝22－，t≥0，则f(0)＝－2，f＝－，所以－要点梳理系统整合
函数的概念：设A，B是两个 的数集，如果按某个确定的 ，使得对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 的元素y和它对应，那么称
为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的 ，所有的输出值y组成的集合叫做函数的 ．函数的定义含有三个要素，即 、 和 ．
2. 函数的单调性：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A：当x13. 奇、偶函数的定义：对于函数f(x)定义域内的 一个x，都有 (或 )，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 (或 )，则称f(x)为偶函数．
4. 幂函数的图象与性质：由幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x-1，y＝x3的图象，可归纳出幂函数y＝xα的性质如下：
(1) 幂函数在 上都有定义；
(2) 幂函数的图象都过点 ；
(3) 当α>0时，幂函数的图象都过点 与 ，且在(0，＋∞)上单调 ；
(4) 当α<0时，幂函数的图象都 点(0，0)，在(0，＋∞)上单调 ．
考法聚焦素养养成
考法1 求函数的定义域
例1 (1) 求函数f(x)＝＋的定义域；
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(2x－3)的定义域；
(3) 已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(x)的定义域．
【题组训练】
1. 求y＝＋的定义域．
2. 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域．
3. 若函数f(x)的定义域为[0，4]，求函数g(x)＝的定义域．
4. 求函数y＝－＋的定义域．
考法2 二次函数的最值
视角1 轴定区间定
例2-1 当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
视角2 轴动区间定
例2-2 已知函数f(x)＝－x2＋4mx－1，求f(x)在[－6，6]上的最大值与最小值．
视角3 轴定区间动
例2-3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
考法3 函数的概念与性质
例3-1 (2025·龙岩期末)已知函数f(x)＝2x＋.
(1) 用定义法证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
(2) 对任意的x∈[1，5]都有－t2＋2t＋6≤f(x)＋成立，求实数t的取值范围．
例3-2 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1) 求实数m和n的值；
(2) 求f(x)在[－2，－1]上的最值．
【题组训练】
1. 若f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A. (0，4] B. [1，2]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
2. 若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f＝( )
A. 1 B. 3
C. D.
3. 已知定义在R上的函数f(x)，满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是( )
A. [1，3] B. [－2，1]
C. [0，4] D. [－1，2]
4. (2025·芜湖期末)已知函数f(x)＝＋a，如果存在区间[s，t]，使得函数f(x)在[s，t]上单调，且值域是[2s，2t]，则a的取值范围是 ．(共22张PPT)
第三章 函数的概念与性质
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
1. 函数的概念：设A，B是两个_______的数集，如果按某个确定的____________，使得对于集合A中的_________元素x，在集合B中都有_______的元素y和它对应，那么称__________为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的_________，所有的输出值y组成的集合叫做函数的_______．函数的定义含有三个要素，即_________、_______和___________．
2. 函数的单调性：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A：当x1非空
对应关系f
每一个
唯一
f：A→B
定义域
值域
定义域
值域
对应关系
f(x1) ＜f(x2)
f(x1)>f(x2)
3. 奇、偶函数的定义：对于函数f(x)定义域内的_____一个x，都有_______________ (或__________________)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有_______________(或__________________)，则称f(x)为偶函数．
(1) 幂函数在____________上都有定义；
(2) 幂函数的图象都过点_________；
(3) 当α>0时，幂函数的图象都过点_________与_________，且在(0，＋∞)上单调_______；
(4) 当α<0时，幂函数的图象都_______点(0，0)，在(0，＋∞)上单调_______．
任意
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＋f(x)＝0
f(－x)＝f(x)
f(－x)－f(x)＝0
(0，＋∞)
(1，1)
(0，0)
(1，1)
递增
不过
递减
考法聚焦 素养养成
1
求函数的定义域
考法
1
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(2x－3)的定义域；
【解答】由题意知－1≤2x－3<1解得1≤x<2，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为[1，2).
(3) 已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(x)的定义域．
【解答】因为函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，所以1≤x≤4，则1≤2x－1≤7，故函数f(x)的定义域是[1，7].
2. 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域．
【解答】令t＝x＋1，因为－1视角1 轴定区间定
当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
二次函数的最值
考法
2
【解答】作出函数y＝x2－2x－3在x∈[－2，2]上的图象如图实线部分所示，当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.
2－1
视角2 轴动区间定
已知函数f(x)＝－x2＋4mx－1，求f(x)在[－6，6]上的最大值与最小值．
【解答】f(x)＝－x2＋4mx－1＝－(x－2m)2＋4m2－1，x∈[－6，6]，图象的对称轴为直线x＝2m.当2m<－6，即m<－3时，函数f(x)在[－6，6]上单调递减，如图(1)，所以f(x)max＝f(－6)＝－24m－37，f(x)min＝f(6)＝24m－37.当－6≤2m<0，即－3≤
m<0时，
2－2
视角3 轴定区间动
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
2－3
(1) 用定义法证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
函数的概念与性质
考法
3
3－1
3－2
C
B
【解析】因为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数，因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由|f(x－2)|≤1，得－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1).因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
A
3. 已知定义在R上的函数f(x)，满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是 ( )
A. [1，3] B. [－2，1] C. [0，4] D. [－1，2]