第三章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 设函数f(x)＝则f(f(4))等于( )
A. B. 3
C. D. 6
2. 已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A. 1 B. 2
C. －1 D. －2
3. 已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa+1为偶函数，则实数a的值为( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 1或2
4. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f(1)的x的取值范围是( )
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (－1，1)
5. 若函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )
A. (－∞，0)∪
B. (－∞，2]
C. ∪[2，＋∞)
D. (0，＋∞)
6. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，则f(－9)等于( )
A. －1 B. －5
C. 1 D. 5
7. 已知函数y＝f(x)在R上单调递减，令g(x)＝f(x)－x，若g(t)＜g(4－t)，则实数t的取值范围为( )
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. (2，＋∞) D. (－∞，2)
8. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在(0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D. [0，1]
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A. f(x)＝1－3x B. f(x)＝－＋2
C. f(x)＝－x2＋1 D. f(x)＝2
10. 已知函数f(x)＝则( )
A. f(x)的最小值为－1
B. f(x)在(－2，0)上单调递减
C. f(x)≤0的解集为[－2，2]
D. 存在实数x满足f(x＋2)＋f(－x)＝0
11. 已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)＝f(1－x)－1，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)是奇函数，则( )
A. y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称
B. f(x)＝f(x＋4)
C. F(x)是奇函数
D. F(x)与g(x)关于原点对称
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知f(x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是 ．
13. 写出一个同时具有下列性质的函数f(x)＝ ．
①f(x)是奇函数；②f(x)在(0，＋∞)上为减函数；③f(x1x2)＝f(x1)f(x2).
14. 设函数f(x)＝x＋，x∈，则函数的最小值为 ；若 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R).
(1) 判断f(x)的奇偶性；
(2) 若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
16. (15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 求关于m的不等式f(2m－8)＋f(5－m)＞0的解集．
17. (15分)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示(注：利润y与投资x的单位均为万元)．
图(1) 图(2)
(第17题)
(1) 分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式．
(2) 已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？
18. (17分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1) 若函数f(x)的值域是(－∞，0]，求实数m的值；
(2) 若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3) 是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19. (17分)对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．
(1) 求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”；
(2) 已知函数h(x)＝(a≠0)有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求n－m的最大值.第三章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 设函数f(x)＝则f(f(4))等于( D )
A. B. 3
C. D. 6
2. 已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( D )
A. 1 B. 2
C. －1 D. －2
3. 已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa+1为偶函数，则实数a的值为( C )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 1或2
4. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f(1)的x的取值范围是( B )
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (－1，1)
5. 若函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( A )
A. (－∞，0)∪
B. (－∞，2]
C. ∪[2，＋∞)
D. (0，＋∞)
【解析】由函数的解析式可知，函数在(－∞，1)和[2，5)上单调递减．当x∈(－∞，1)时，y∈(－∞，0)；当x∈[2，5)时，y∈.
6. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，则f(－9)等于( C )
A. －1 B. －5
C. 1 D. 5
【解析】因为f(x)＝f(x＋4)，所以f(－9)＝f(－5)＝f(－1).因为f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1，故选C.
7. 已知函数y＝f(x)在R上单调递减，令g(x)＝f(x)－x，若g(t)＜g(4－t)，则实数t的取值范围为( C )
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. (2，＋∞) D. (－∞，2)
【解析】由于函数y＝f(x)在R上单调递减，所以函数g(x)＝f(x)－x在R上单调递减．由g(t)
4－t，解得t>2.因此，实数t的取值范围是(2，＋∞).
8. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在(0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是( A )
A. B.
C. D. [0，1]
【解析】因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．因为f(ax＋2)≤f(－1)，所以|ax＋2|≤1，即－1≤ax＋2≤1.因为－1≤ax＋2≤1对于x∈[1，2]恒成立，所以－≤a≤－在[1，2]上恒成立，所以－≤a≤－1，即a的取值范围为.
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( BD )
A. f(x)＝1－3x B. f(x)＝－＋2
C. f(x)＝－x2＋1 D. f(x)＝2
10. 已知函数f(x)＝则( ACD )
A. f(x)的最小值为－1
B. f(x)在(－2，0)上单调递减
C. f(x)≤0的解集为[－2，2]
D. 存在实数x满足f(x＋2)＋f(－x)＝0
【解析】作出f(x)＝的图象如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1，故A正确；f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，故B错误；由图可得f(x)≤0时，x∈[－2，2]，故C正确；由f(0)＝0，f(－2)＝f(2)＝0，即存在实数x满足f(x＋2)＋f(－x)＝0，故D正确．
(第10题答)
11. 已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)＝f(1－x)－1，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)是奇函数，则( ABC )
A. y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称
B. f(x)＝f(x＋4)
C. F(x)是奇函数
D. F(x)与g(x)关于原点对称
【解析】对于A，因为g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称，故A正确；对于B，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正确；对于C，F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1＝0，故C正确；对于D，因为F(－x)＝g(x)，所以F(x)与g(x)关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误．
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知f(x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是__(0，2]__．
【解析】由题知解得013. 写出一个同时具有下列性质的函数f(x)＝__x-1(答案不唯一)__．
①f(x)是奇函数；②f(x)在(0，＋∞)上为减函数；③f(x1x2)＝f(x1)f(x2).
14. 设函数f(x)＝x＋，x∈，则函数的最小值为__2__；若 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[2，＋∞)__．
【解析】因为函数f(x)＝x＋，x∈，易得函数在上为减函数，在[1，3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝1＋1＝2，即函数的最小值为2.又 x∈，使得a2－a≥f(x)成立，则a2－a≥f(x)min，即a2－a≥2，解得a≥2或a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R).
(1) 判断f(x)的奇偶性；
【解答】当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2) 若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
【解答】设2≤x14，即a4，所以x1x2(x1＋x2)>16，所以a≤16，故a的取值范围是(－∞，16].
16. (15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2＝－x2，所以f(x)＝
(2) 求关于m的不等式f(2m－8)＋f(5－m)＞0的解集．
【解答】因为函数f(x)为奇函数，所以f(2m－8)＋f(5－m)>0 f(2m－8)>－f(5－m)＝f(m－5).因为f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)为奇函数，所以f(x)在R上单调递增，所以2m－8>m－5，解得m>3，故不等式的解集是{m|m>3}.
17. (15分)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示(注：利润y与投资x的单位均为万元)．
图(1) 图(2)
(第17题)
(1) 分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式．
【解答】因为A产品的利润y与投资x成正比，所以设y＝kx(k≠0)，由函数图象可知，当x＝1时，y＝0.25，所以有0.25＝k，所以y＝0.25x(x≥0).因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，所以设y＝m(m≠0)，由函数图象可知当x＝4时，y＝4，所以m＝4，解得m＝2，所以y＝2.
(2) 已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？
【解答】①将200万元资金平均投入两种产品的生产，则A产品的利润为0.25×100＝25万元，B产品的利润为y＝2＝20万元，所以获得总利润为25＋20＝45万元．
②设投入B产品的资金为x(0≤x≤200)万元，则投入A产品的资金为(200－x)万元，设企业获得的总利润为w万元，所以w＝0.25(200－x)＋2＝－x＋2＋50.令＝t(0≤t≤10)，则w＝f(t)＝－t2＋2t＋50＝－(t－4)2＋54.当t＝4，即x＝16时，w有最大值，且最大值为54，所以当投入B产品的资金为16万元，投入A产品的资金为184万元时，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元．
18. (17分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1) 若函数f(x)的值域是(－∞，0]，求实数m的值；
【解答】因为函数f(x)＝－x2＋mx－m，值域是(－∞，0]，且二次函数f(x)图象是抛物线，开口向下，所以Δ＝m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4，经检验均符合题意．
(2) 若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
【解答】函数f(x)＝－x2＋mx－m图象是抛物线，开口向下，对称轴是x＝.若f(x)在
[－1，0]上单调递减，则≤－1，所以m≤－2，即m的取值范围是(－∞，－2].
(3) 是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】当≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上是减函数，若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则有即无解；当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上是增函数，则有即解得m＝6；当2<<3，即419. (17分)对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．
(1) 求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”；
【解答】因为f(x)＝x2在区间[0，2]上单调递增，又f(0)＝0，f(2)＝2，所以f(x)＝x2的值域为[0，2]，所以区间[0，2]是f(x)＝x2的一个“优美区间”．
(2) 已知函数h(x)＝(a≠0)有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求n－m的最大值.
【解答】设[m，n]是函数h(x)的定义域的子集，又h(x)的定义域为{x|x≠0}，则[m，n]
(－∞，0)或[m，n] (0，＋∞).而函数h(x)＝＝－在[m，n]上单调递增，若[m，n]是该函数的“优美区间”，则所以m，n是方程－＝x，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的两个同号且不等的实数根．因为mn＝>0，所以m，n同号，只需Δ＝(a2＋a)2－4a2＝a2(a＋3)(a－1)>0，解得a>1或a<－3.因为n－m＝＝＝，所以当a＝3时，n－m取得最大值.