第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习 目标 1. 了解空间向量的概念，掌握线性运算及其运算律． 2. 理解空间共线向量的概念及两个空间向量共线、共面的充要条件．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
2. 共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
3. 共线向量定理推论
(1) 如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，若在l上取＝a，则①可以化作：＝＋t.
(2) 对于空间中任意一点O，P，A，B三点共线的充要条件是存在有序实数对(λ，μ)，使得＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 零向量没有方向. ( × )
(2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量. ( × )
(3) 空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向. ( × )
(4) 若a＝－b，则|a|＝|b|. ( √ )
(5) 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同. ( × )
典例精讲能力初成
探究1 空间向量的有关概念
例1 已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是( C )
A. 与a共面的单位向量有无数个
B. 与a垂直的单位向量有无数个
C. 与a平行的单位向量只有一个
D. 与a同向的单位向量只有一个
【解析】 与a共面的单位向量，其方向可任意，有无数个，故A正确；与a垂直的单位向量，方向有无数个，故B正确；与a平行的单位向量，方向有两个，不唯一，故C错误；与a同向的单位向量，方向唯一，只有一个，故D正确．
变式1 (多选)下列命题正确的有( CD )
A. 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
D. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
【解析】 对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，故A错误．对于B，根据向量相等的定义，两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不一定相同，故B错误．对于C，根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的方向相同，模也相等，则＝，故C正确．对于D，由向量相等关系可知m＝n＝p，故D正确．
探究2 空间向量的线性运算
例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(例2)
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
【解答】 (1) ＋＝.
(2) 因为M是BB1的中点，所以＝.又因为＝，所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如图所示．
(例2答)
空间向量线性运算的基本方法与平面向量线性运算类似，主要利用“三角形法则”进行转化表示．
探究3 空间向量的共线问题
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
(例3)
【解答】 因为＝＋＝－＋＝－＋(＋＋)＝－＋－，＝＋＋＝－－＋，所以＝，又，有公共点E，从而E，F，B三点共线．
变式3 设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为．
【解答】 因为＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，所以＝＋＝5e1＋2e2.又因为A，C，D三点共线，所以∥，所以5k－2＝0，解得k＝.
判断非零向量a，b共线的方法有两种：
(1) 定义法：证明a，b所在直线平行或重合．
(2) 利用“a＝λb(b≠0) a∥b”判断：a，b是空间中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得a∥b，即a与b共线．
探究4 空间向量的共面问题
例4 (教材P5例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k.求证：E，F，G，H四点共面．
(例4)
【解答】 因为＝＝＝＝k，所以＝k，＝k，＝k，＝k.因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋.因此＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝－＋－＝＋.由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
证明空间四点P，M，A，B共面的方法：
(1) ＝x＋y；
(2) 对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3) 对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4) ∥(或∥或∥).
变式4 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，当＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1时，点P是否与点A，B，C共面？请证明你的结论．
【解答】 点P与点A，B，C共面．证明如下：因为x＋y＋z＝1，所以＝x＋y＋z＝x＋y＋(1－x－y)＝＋x(－)＋y(－)＝＋x＋y，则－＝x＋y，即＝x＋y.因为A，B，C三点不共线，所以，不共线，可知，，共面．因为三个向量有公共点C，故点P与点A，B，C共面．
随堂内化及时评价
1. 下列命题为真命题的是( A )
A. 空间向量与的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
【解析】 对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确．对于B，将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误．对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误．对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与不相等，但它们的模相等，所以D错误．
2. 如图，已知三棱锥O-ABC中，M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，则＝( D )
(第2题)
A. (b＋c－a)
B. (a＋b＋c)
C. (a－b＋c)
D. (a＋b－c)
【解析】 ＝＋＝－＋＋＝(a＋b－c).
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
(第3题)
(1) 的相等向量是，，；
(2) 的相反向量是，，，；
(3) 的共线向量(平行向量)是，，，，，，；
(4) 向量，，不共面(填“共面”或“不共面”).
【解析】 因为＝，向量，，有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，所以向量，，不共面．
4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( A )
(第4题)
A. －a＋b－c
B. a－b＋c
C. －a＋b＋c
D. a＋b－c
【解析】 由题图得＝＋＝＋－＝－a＋b－c.
5. 已知A，B，C三点不共线，那么对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( B )
A. ＝＋＋
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＝2－－
【解析】 设＝x＋y＋z，则点M与点A，B，C共面 x＋y＋z＝1，经检验只有B正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( A )
A. 共面向量
B. 共线向量
C. 不共面向量
D. 既不共线也不共面的向量
【解析】 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋等于( B )
(第2题)
A. B.
C. D.
【解析】 因为＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.
3. 已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
【解析】 因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线．
4. 如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE＝AB，F是棱CD的中点，则＝( D )
(第4题)
A. －－＋
B. ＋－
C. －－
D. －＋＋
【解析】 由题意得＝＋＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋.
二、 多项选择题
5. 下列说法中正确的是( AD )
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B. 若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C. 在空间中，任意两个单位向量都相等
D. 零向量与任意向量平行
【解析】 对于A，因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，故A正确；对于B，若非零向量和是共线向量，则AB和CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故C错误；对于D，零向量与任意向量平行，故D正确．
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的是( AB )
A. (－)－
B. (＋)－
C. (－)－
D. (－)＋
【解析】 如图，(－)－＝－＝；(＋)－＝－＝；(－)－＝－≠；(－)＋＝(－)＋＝＋≠.
(第6题答)
7. 下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( AC )
A. ＝3－－
B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0
D. ＋＋＋＝0
【解析】 A中，3－1－1＝1，四点共面；C中，＝－－，所以点M，A，B，C共面．
三、 填空题
8. 设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝－3．
【解析】 因为＝－2a－b，＝a－2b，所以＝＋＝－＝(－2a－b)－(a－2b)＝－3a＋b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即9a＋mb＝λ(－3a＋b)，所以解得m＝λ＝－3.
9. 已知A，B，C，D四点满足任三点不共线，但四点共面，O是平面ABCD外任意一点，且＝－＋x，那么x＝．
【解析】 由＝－＝－＋x，得＝＋＋x，由A，B，C，D四点共面得x＝.
四、 解答题
10. 如图，在四面体PABC中，M，N分别为PA，PB的中点，试问：，，是否共面？
(第10题)
【解答】 因为＝＋＝－，且M，N分别为PA，PB的中点，所以＝－＝－＝(－)＝＝－，因此，，，共面．
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(第11题)
(1) 化简：－－；
【解答】 原式＝－(＋)＝－＝.
(2) 设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
【解答】 因为＝－＝(＋)－＝－－，所以x＝，y＝－，z＝－.
12. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，M是BB1的中点，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是( A )
A. B. 4
C. 2 D. 2
【解析】 如图，设B1C1，C1D1的中点分别为E，F，则EM∥BC1∥AD1，EF∥B1D1，从而平面MEF∥平面AB1D1.因为＝λ＋μ，所以点P在侧面BCC1B1内，又平面MEF∩侧面BCC1B1＝EM，所以点P的轨迹为线段EM.因为AB＝AD＝2，AA1＝4，所以EM＝AD1＝.
(第12题答)
13. (教材P5例1改编)如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，且k≠0，m≠0.求证：
(第13题)
(1) ∥；
【解答】 因为＝＋m＝－＋m(－)＝k(－)＋km(－)＝k＋km＝k(＋m)＝k，所以∥.
(2) ＝k.
【解答】 ＝＋＝k＋k＝k(＋)＝k.第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习 目标 1. 了解空间向量的概念，掌握线性运算及其运算律． 2. 理解空间共线向量的概念及两个空间向量共线、共面的充要条件．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行
相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
2. 共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 ．
3. 共线向量定理推论
(1) 如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，若在l上取＝a，则①可以化作：＝＋t.
(2) 对于空间中任意一点O，P，A，B三点共线的充要条件是 ，其中 ．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 零向量没有方向. ( )
(2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量. ( )
(3) 空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向. ( )
(4) 若a＝－b，则|a|＝|b|. ( )
(5) 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同. ( )
典例精讲能力初成
探究1 空间向量的有关概念
例1 已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是( )
A. 与a共面的单位向量有无数个
B. 与a垂直的单位向量有无数个
C. 与a平行的单位向量只有一个
D. 与a同向的单位向量只有一个
变式1 (多选)下列命题正确的有( )
A. 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
D. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
探究2 空间向量的线性运算
例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(例2)
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
空间向量线性运算的基本方法与平面向量线性运算类似，主要利用“三角形法则”进行转化表示．
探究3 空间向量的共线问题
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
(例3)
变式3 设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为 ．
判断非零向量a，b共线的方法有两种：
(1) 定义法：证明a，b所在直线平行或重合．
(2) 利用“a＝λb(b≠0) a∥b”判断：a，b是空间中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得a∥b，即a与b共线．
探究4 空间向量的共面问题
例4 (教材P5例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k.求证：E，F，G，H四点共面．
(例4)
证明空间四点P，M，A，B共面的方法：
(1) ＝x＋y；
(2) 对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3) 对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4) ∥(或∥或∥).
变式4 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，当＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1时，点P是否与点A，B，C共面？请证明你的结论．
随堂内化及时评价
1. 下列命题为真命题的是( )
A. 空间向量与的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
2. 如图，已知三棱锥O-ABC中，M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，则＝( )
(第2题)
A. (b＋c－a)
B. (a＋b＋c)
C. (a－b＋c)
D. (a＋b－c)
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
(第3题)
(1) 的相等向量是 ；
(2) 的相反向量是 ；
(3) 的共线向量(平行向量)是 ；
(4) 向量，， (填“共面”或“不共面”).
4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
(第4题)
A. －a＋b－c
B. a－b＋c
C. －a＋b＋c
D. a＋b－c
5. 已知A，B，C三点不共线，那么对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A. ＝＋＋
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＝2－－
配套新练案
一、 单项选择题
1. 对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A. 共面向量
B. 共线向量
C. 不共面向量
D. 既不共线也不共面的向量
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋等于( )
(第2题)
A. B.
C. D.
3. 已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
4. 如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE＝AB，F是棱CD的中点，则＝( )
(第4题)
A. －－＋
B. ＋－
C. －－
D. －＋＋
二、 多项选择题
5. 下列说法中正确的是( )
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B. 若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C. 在空间中，任意两个单位向量都相等
D. 零向量与任意向量平行
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的是( )
A. (－)－
B. (＋)－
C. (－)－
D. (－)＋
7. 下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A. ＝3－－
B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0
D. ＋＋＋＝0
三、 填空题
8. 设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝ ．
9. 已知A，B，C，D四点满足任三点不共线，但四点共面，O是平面ABCD外任意一点，且＝－＋x，那么x＝ ．
四、 解答题
10. 如图，在四面体PABC中，M，N分别为PA，PB的中点，试问：，，是否共面？
(第10题)
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(第11题)
(1) 化简：－－；
(2) 设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
12. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，M是BB1的中点，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是( )
A. B. 4 C. 2 D. 2
13. (教材P5例1改编)如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，且k≠0，m≠0.求证：
(第13题)
(1) ∥；
(2) ＝k.(共47张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习 目标 1. 了解空间向量的概念，掌握线性运算及其运算律．
2. 理解空间共线向量的概念及两个空间向量共线、共面的充要条件．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定__________的向量叫做零向量，记为0
单位向量 ________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度_______而方向_______的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量_______
相等向量 方向_______且模_______的向量称为相等向量．在空间，_______且_______的有向线段表示同一向量或相等向量
长度为0
模为1
相等
相反
互相平行或重合
平行
相同
相等
同向
等长
2. 共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________．
3. 共线向量定理推论
(2) 对于空间中任意一点O，P，A，B三点共线的充要条件是_________________________________________，其中__________．
a＝λb
λ＋μ＝1
×
×
×
√
×
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 零向量没有方向. ( )
(2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量. ( )
(3) 空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向. ( )
(4) 若a＝－b，则|a|＝|b|. ( )
(5) 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同. ( )
典例精讲 能力初成
已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是 ( )
A. 与a共面的单位向量有无数个
B. 与a垂直的单位向量有无数个
C. 与a平行的单位向量只有一个
D. 与a同向的单位向量只有一个
空间向量的有关概念
1
C
【解析】
与a共面的单位向量，其方向可任意，有无数个，故A正确；
与a垂直的单位向量，方向有无数个，故B正确；
与a平行的单位向量，方向有两个，不唯一，故C错误；
与a同向的单位向量，方向唯一，只有一个，故D正确．
探究
1
CD
【解析】
对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，故A错误．
对于B，根据向量相等的定义，两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不一定相同，故B错误．
(多选)下列命题正确的有 ( )
A. 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
B. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
变式1
对于D，由向量相等关系可知m＝n＝p，故D正确．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
空间向量的线性运算
2
【解答】
探究
2
【解答】
【解答】
空间向量线性运算的基本方法与平面向量线性运算类似，主要利用“三角形法则”进行转化表示．
空间向量的共线问题
3
探究
3
【解答】
【解答】
变式3
判断非零向量a，b共线的方法有两种：
(1) 定义法：证明a，b所在直线平行或重合．
(2) 利用“a＝λb(b≠0) a∥b”判断：a，b是空间中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得a∥b，即a与b共线．
空间向量的共面问题
4
探究
4
【解答】
证明空间四点P，M，A，B共面的方法：
【解答】
因为三个向量有公共点C，故点P与点A，B，C共面．
变式4
随堂内化 及时评价
1. 下列命题为真命题的是 ( )
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
对于B，将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误．
【解析】
【答案】A
【解析】
D
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
【解析】
不共面
【解析】
A
5. 已知A，B，C三点不共线，那么对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是 ( )
B
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是 ( )
A. 共面向量 B. 共线向量
C. 不共面向量 D. 既不共线也不共面的向量
A
【解析】
由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．
【解析】
B
【解析】
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
A
【解析】
D
对于A，因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，故A正确；
【解析】
对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故C错误；
对于D，零向量与任意向量平行，故D正确．
【答案】AD
【答案】AB
【解析】
【解析】
A中，3－1－1＝1，四点共面；
AC
【解析】
－3
【解析】
【解答】
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
【解答】
【解答】
【解析】
如图，设B1C1，C1D1的中点分别为E，F，则EM∥BC1∥AD1，EF∥B1D1，从而平面MEF∥平面AB1D1.
【答案】A
【解答】
【解答】
