第2课时 空间向量的数量积运算
学习 目标 1. 了解空间向量夹角的概念及表示，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律． 2. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 3. 能利用两个向量的数量积解决一些空间中的简单问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 空间两个向量的关系
(1) 若〈a，b〉＝0，则向量a，b方向相同；
(2) 若〈a，b〉＝π，则向量a，b方向相反；
(3) 若〈a，b〉＝，则向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
2. 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉.规定：零向量与任意向量的数量积都为0.
3. 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
图(1) 图(2) 图(3)
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2) 对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．( √ )
(3) 若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( × )
(4) 对任意空间向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a，b共线时等号成立．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 投影向量
例1 已知空间向量a，b满足|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为( D )
A. －b B. b
C. b D. －b
【解析】 因为|a|＝，|b|＝5，a与b夹角的余弦值为－，所以a在b上的投影向量为＝[]＝＝－b.
变式1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量 在向量 上的投影向量的模是．
(变式1)
【解析】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为45°，所以＝||cos 〈，〉＝1×cos 45°＝，故向量在向量上的投影向量的模是＝.
探究2 利用向量的数量积求角
例2 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( B )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，设＝c，＝a，＝b，棱长均为1，则a·b＝b·c＝a·c＝.因为＝a＋c，＝b－a＋c，所以·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2＝－1＋＋－＋1＝1，||＝＝＝＝，||＝＝＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
(例2答)
变式2 已知空间中四个不共面的点O，A，B，C，若||＝||，且cos 〈，〉＝cos 〈，〉，则异面直线OA与BC所成角的正弦值为( A )
A. 1 B.
C. D.
【解析】 因为cos 〈，〉＝cos 〈，〉，所以＝.又||＝||，所以·＝·，从而·＝·(－)＝0，所以⊥，于是sin 〈，〉＝sin ＝1.
探究3 利用向量的数量积求距离(长度)
例3 (教材P9练习第3题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求：
(例3)
(1) ·；
【解答】 ·＝||·||·cos 60°＝5×4×＝10.
(2) AB′的长；
【解答】 因为＝＋，所以2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝25＋2×10＋16＝61，所以||＝，即AB′的长为.
(3) AC′的长．
【解答】 因为＝＋＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝16＋9＋25＋2＝85，所以||＝，即AC′的长为.
本题先利用空间向量的线性运算表示出所求向量，再利用模的运算性质及数量积的定义求解．空间几何体中线段的长度也可以通过建立空间直角坐标系得到线段两端点的坐标，然后利用两点间距离公式求解(后面1.3节讲解).
变式3 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，AC1＝，∠A1AB＝∠A1AD＝，∠BAD＝，则AD＝( B )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 2－2
【解析】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋，则2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.设AD＝x，由AB＝1，AA1＝3，AC1＝，∠A1AB＝∠A1AD＝，∠BAD＝，可得21＝1＋x2＋9＋2||||cos ∠BAD＋2||||cos ∠A1AD＋2||||cos ∠A1AB，即21＝1＋x2＋9＋2×1×x×cos ＋2x×3×cos ＋2×3×1×cos ，得x2＋2x－8＝0，解得x＝2(负值舍去)，故AD＝2.
(变式3答)
随堂内化及时评价
1. (多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，下列结论正确的是( BC )
A. ·＝a2
B. ·＝－a2
C. ·＝a2
D. ·＝a2
【解析】 ·＝·＝||||·cos 〈，〉＝a2，A错误；·＝·(＋＋)＝·＋·＋·＝－a2，B正确；·＝·＝·(＋)＝·＋2＝a2，C正确；·＝·＝||||·cos 〈，〉＝－a2，D错误．
2. 已知|a|＝4，e为空间单位向量，〈a，e〉＝120°，则a在e上的投影向量的模为2．
【解析】 a在e上的投影向量的模为||a|cos 〈a，e〉e|＝|4cos 120°|＝2.
(第3题)
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与夹角的大小为．
【解析】 不妨设正方体的棱长为1，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋·＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1.因为||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝.又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝，即与夹角的大小为.
4. 在四面体ABCD中，AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，M，N分别为AB，CD的中点，则MN的长度为．
【解析】 如图，＝＋＝－＋(＋)＝(－＋＋).因为AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，所以2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2－2||||cos 60°－2||||·cos 60°＋2||||cos 60°)＝＝，可得||＝＝，即MN的长度为.
(第4题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则在上的投影向量为( B )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，在四棱锥P-ABCD中，因为BA⊥AD，PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，所以PD⊥AD.因为过向量的始点B作直线AD的垂线，垂足为A，过向量的终点P作直线AD的垂线，垂足为D，所以在上的投影向量为.因为底面ABCD是矩形，所以＝，故B正确．
(第1题答)
2. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为( D )
A. 60° B. 150°
C. 90° D. 120°
3. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( C )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝·(＋)＋(＋)2＝(||2＋||2)＝1.
4. 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( B )
A. 10 B.
C. D.
【解析】 如图，由题知2＝16，2＝9，2＝25，·＝4×3×cos 90°＝0，·＝4×5×cos 60°＝10，·＝3×5×cos 60°＝.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×0＋2×10＋2×＝85，所以||＝，即AC′的长为.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式正确的有( AD )
A. a2＝|a|2
B. ＝
C. (a·b)2＝a2·b2
D. (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
【解析】 对于A，a2＝a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，故A正确；对于B，因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C，(a·b)2＝(|a||b|cos 〈a，b〉)2＝|a|2|b|2·cos 2〈a，b〉，故C错误；对于D，(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝a2－2a·b＋b2，故D正确．
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是( AB )
A. (＋＋)2＝32
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是60°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|
【解析】 由向量的加法运算得＋＋＝，因为A1C2＝3A1B，所以2＝32，故A正确；因为－＝，AB1⊥A1C，所以·＝0，故B正确；因为△ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，所以异面直线AD1与A1B的夹角为60°，从而向量与向量的夹角是120°，故C不正确；因为AB⊥AA1，所以·＝0，从而|··|＝0，故D不正确．
7. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1交于点O，则( AC )
A. ·＝1 B. ·＝
C. ·＝ D. ·＝1
【解析】 方法一：·＝·(＋)＝2＝1，故A正确；·＝·(＋＋)＝2＝1，故B错误；·＝·＝，故C正确；·＝·(＋)＝－2＝－1，故D错误．
方法二：·＝·＝||·||·cos 〈，〉＝1××＝1，故A正确；由正方体的性质可知，AC1＝，·＝||||cos 〈，〉＝||||·＝||2＝1，故B错误；·＝·＝，故C正确；·＝·＝1××＝－1，故D错误．
三、 填空题
8. 如图，在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，AP＝2，AB＝AC＝1，M为PC的中点，则·＝．
(第8题)
【解析】 由题意得＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以·＝·＝·＋·＋·＝||2＝.
9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与的夹角的大小为60°，·＝1.
(第9题)
【解析】 由题图可得·＝(＋)·＝2＝1.因为A1P＝B1C＝，所以××cos 〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.
四、 解答题
10. 如图，已知正四面体OABC的棱长为1.
(第10题)
(1) 求·；
【解答】 在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.·＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2) 求(＋)·(＋).
【解答】 (＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.
11. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
(第11题)
(1) 确定在平面ABC上的投影向量，并求·；
【解答】 因为PA⊥平面ABC，所以在平面ABC上的投影向量为.又PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，则PA⊥AB，所以·＝0.因为CB⊥AB，所以·＝0，从而·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋a2＋0＝a2.
(2) 确定在上的投影向量．
【解答】 由(1)知·＝a2，||＝a，所以在上的投影向量为||·cos 〈，〉·＝||··＝·＝·＝.
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2，且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则点B，D间的距离为或．
(第12题)
【解析】 由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成的角为60°，于是·＝0，·＝0，且〈，〉＝60°或120°，则||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2cos 〈，〉＝13或5，解得||＝或，即B，D间的距离为或.
13. 如图，在四面体OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
(第13题)
【解答】 连接OM，ON.设＝a，＝b，＝c.因为P，M分别为OA，BC的中点，所以＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c].同理，＝－＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c]，所以·＝[(b－a)＋c]·＝－(|b－a|2－|c|2).因为AB＝OC，所以|b－a|＝|c|，从而·＝0，所以⊥，即PM⊥QN.第2课时 空间向量的数量积运算
学习 目标 1. 了解空间向量夹角的概念及表示，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律． 2. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 3. 能利用两个向量的数量积解决一些空间中的简单问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 空间两个向量的关系
(1) 若〈a，b〉＝0，则向量a，b方向 ；
(2) 若〈a，b〉＝π，则向量a，b方向 ；
(3) 若〈a，b〉＝，则向量a，b ，记作 ．
2. 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即 .规定：零向量与任意向量的数量积都为0.
3. 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝ ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量 称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
图(1) 图(2) 图(3)
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2) 对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．( )
(3) 若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( )
(4) 对任意空间向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a，b共线时等号成立．( )
典例精讲能力初成
探究1 投影向量
例1 已知空间向量a，b满足|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为( )
A. －b B. b
C. b D. －b
变式1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量 在向量 上的投影向量的模是 ．
(变式1)
探究2 利用向量的数量积求角
例2 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
变式2 已知空间中四个不共面的点O，A，B，C，若||＝||，且cos 〈，〉＝cos 〈，〉，则异面直线OA与BC所成角的正弦值为( )
A. 1 B.
C. D.
探究3 利用向量的数量积求距离(长度)
例3 (教材P9练习第3题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求：
(例3)
(1) ·；
(2) AB′的长；
(3) AC′的长．
本题先利用空间向量的线性运算表示出所求向量，再利用模的运算性质及数量积的定义求解．空间几何体中线段的长度也可以通过建立空间直角坐标系得到线段两端点的坐标，然后利用两点间距离公式求解(后面1.3节讲解).
变式3 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，AC1＝，∠A1AB＝∠A1AD＝，∠BAD＝，则AD＝( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 2－2
随堂内化及时评价
1. (多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，下列结论正确的是( )
A. ·＝a2
B. ·＝－a2
C. ·＝a2
D. ·＝a2
2. 已知|a|＝4，e为空间单位向量，〈a，e〉＝120°，则a在e上的投影向量的模为 ．
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与夹角的大小为 ．
(第3题)
4. 在四面体ABCD中，AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，M，N分别为AB，CD的中点，则MN的长度为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
2. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为( )
A. 60° B. 150°
C. 90° D. 120°
3. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
4. 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A. 10 B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式正确的有( )
A. a2＝|a|2
B. ＝
C. (a·b)2＝a2·b2
D. (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A. (＋＋)2＝32
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是60°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|
7. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1交于点O，则( )
A. ·＝1 B. ·＝
C. ·＝ D. ·＝1
三、 填空题
8. 如图，在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，AP＝2，AB＝AC＝1，M为PC的中点，则·＝ ．
(第8题)
9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与的夹角的大小为 ，·＝ .
(第9题)
四、 解答题
10. 如图，已知正四面体OABC的棱长为1.
(第10题)
(1) 求·；
(2) 求(＋)·(＋).
11. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
(第11题)
(1) 确定在平面ABC上的投影向量，并求·；
(2) 确定在上的投影向量．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2，且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则点B，D间的距离为 ．
(第12题)
13. 如图，在四面体OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
(第13题)(共43张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
第2课时 空间向量的数量积运算
学习 目标 1. 了解空间向量夹角的概念及表示，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律．
2. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
3. 能利用两个向量的数量积解决一些空间中的简单问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 空间两个向量的关系
(1) 若〈a，b〉＝0，则向量a，b方向_______；
(2) 若〈a，b〉＝π，则向量a，b方向_______；
2. 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即______________________.规定：零向量与任意向量的数量积都为0.
相同
相反
互相垂直
a⊥b
a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两向量所成的角就是两条直线所成的角． ( )
(2) 对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． ( )
(3) 若a·b<0，则〈a，b〉是钝角． ( )
(4) 对任意空间向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a，b共线时等号成立．
( )
×
√
×
√
典例精讲 能力初成
1
投影向量
【解析】
探究
1
D
【解析】
变式1
2
利用向量的数量积求角
探究
2
【答案】B
【解析】
【解析】
变式2
A
(教材P9练习第3题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求：
3
利用向量的数量积求距离(长度)
【解答】
探究
3
(2) AB′的长；
【解答】
(3) AC′的长．
【解答】
本题先利用空间向量的线性运算表示出所求向量，再利用模的运算性质及数量积的定义求解．空间几何体中线段的长度也可以通过建立空间直角坐标系得到线段两端点的坐标，然后利用两点间距离公式求解(后面1.3节讲解).
变式3
【答案】B
【解析】
随堂内化 及时评价
【解析】
BC
【解析】
a在e上的投影向量的模为||a|cos 〈a，e〉e|＝|4cos 120°|＝2.
2. 已知|a|＝4，e为空间单位向量，〈a，e〉＝120°，则a在e上的投影向量的模为____．
2
【解析】
4. 在四面体ABCD中，AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC＝∠CAD＝
∠BAD＝60°，M，N分别为AB，CD的中点，则MN的长度为_____．
【解析】
配套新练案
【解析】
如图，在四棱锥P-ABCD中，因为BA⊥AD，PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，所以PD⊥AD.
【答案】B
D
【解析】
C
【解析】
【答案】B
二、 多项选择题
5. 设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式正确的有 ( )
AD
【解析】
对于A，a2＝a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，故A正确；
对于C，(a·b)2＝(|a||b|cos 〈a，b〉)2＝|a|2|b|2·cos 2〈a，b〉，故C错误；
对于D，(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝a2－2a·b＋b2，故D正确．
【解析】
【答案】AB
【解析】
【答案】AC
【解析】
【解析】
60°
1
四、 解答题
10. 如图，已知正四面体OABC的棱长为1.
【解答】
【解答】
11. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
【解答】
【解答】
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2，且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则点B，D间的距离为_________．
【解析】
13. 如图，在四面体OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
【解析】
