1.2 空间向量基本定理
学习 目标 1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解． 2. 会选择适当的基底表示任意向量，能利用空间向量基本定理解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2. 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( × )
(2) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( √ )
(3) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一个基底．( √ )
(4) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量．( √ )
(5) 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 空间向量基本定理
例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是( A )
A. a＋b，b＋c，c＋a
B. a－b，b－c，c－a
C. a＋b，c，a＋b＋c
D. a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c
【解析】 对于A，令c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则λ，μ无解，故A正确；对于B，因为c－a＝－(a－b)－(b－c)，所以a－b，b－c，c－a不能构成空间的一个基底；对于C，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，c，a＋b＋c不能构成空间的一个基底；对于D，因为3a－b＋c＝2(a－b＋c)＋(a＋b－c)，所以a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c不能构成空间的一个基底．
(1) 判断三个向量能否构成基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法并结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断．
(2) 求一向量在不同基底下的表示式，一般用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数．
变式1 (1) 已知a，b，c是不共面的三个向量，下列向量能构成空间的一个基底的是( C )
A. 2a，a－b，a＋2b
B. 2b，b＋a，b＋2a
C. a，2b，b－c
D. c，a＋c，a－c
【解析】 对于A，因为a＋2b＝×(2a)＋(－2)×(a－b)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底；对于B，因为b＋2a＝×(2b)＋2×(b＋a)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底；对于C，假设a，2b，b－c共面，则必存在x，y，使得b－c＝xa＋2yb，因为a，b，c不共面，则显然不成立，则这三个向量不共面，能构成空间的一个基底；对于D，因为a＋c＝2c＋(a－c)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底．
(2) 若{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝8i＋3k，b＝－i＋5j－4k，则a·b＝－20．
【解析】 由{i，j，k}是一个单位正交基底，则i·j＝0，k·j＝0，k·i＝0，|i|＝|k|＝|j|＝1，所以a·b＝(8i＋3k)·(－i＋5j－4k)＝－8i2＋40i·j－32i·k－3i·k＋15k·j－12k2＝－8－12＝－20.
探究2 用空间基底表示向量
例2 (教材P12例1补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用＝a，＝b，＝c作为基底．
(例2)
(1) 求；
【解答】 ＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c.
(2) 若M，N分别为AD，CC1的中点，求.
【解答】 ＝＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.
(1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3) 下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间中所有向量．表示的结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
探究3 用基底法探求线线位置关系
例3 (教材P13例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.
(例3)
【解答】 设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则＝＋＝a－b，＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝·(a＋b＋c)＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0，所以MN⊥AC1.
探究4 应用空间向量基本定理求距离、夹角
例4 (教材P13例3补充)如图，已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题．
(例4)
(1) 求的模；
【解答】 因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，＝a，＝b，＝c，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＝c，从而＝＋＋＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，所以2＝(c－a－b)2＝(c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b)＝(1＋1＋1－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°)＝，即||＝.
(2) 求与的夹角．
【解答】 在正四面体ABCD中，＝(c－a－b)，||＝.同理＝(b＋c－a)，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝[(c－a)2－b2]＝(c2＋a2－2c·a－b2)＝(1＋1－2×1×1×cos 60°－1)＝0，故与的夹角为90°.
随堂内化及时评价
1. (多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( CD )
A. b＋c，b，b－c
B. a，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c
D. a－b，a＋b＋c，c
【解析】 对于A，因为b＝(b＋c)＋(b－c)，所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B，因为a＝(a＋b)＋(a－b)，所以a，a＋b，a－b三个向量共面；对于C，若存在实数x，y使得 c＝x(a＋b)＋y(a－b)，则 c＝(x＋y)a＋(x－y)b，从而a，b，c共面，与已知矛盾，因此a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D，若存在实数x，y使得 c＝x(a－b)＋y(a＋b＋c)，则 x无解，则a－b，a＋b＋c，c三个向量不共面．
2. 在空间四边形OABC中，若OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值为( D )
A. B.
C. － D. 0
【解析】 ·＝·(－)＝·－·＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉．因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，从而⊥，故cos 〈，〉＝0.
3. (2025·东营期末)如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，P为平面ABC外一点，且〈，〉＝〈，〉＝120°，||＝3，若＝＋，则||＝( B )
(第3题)
A. 2 B.
C. 6 D.
【解析】 因为＝＋，所以＝＋＝－－＋，则||2＝(－－＋)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝22＋32＋32＋0－2×2×3×－2×3×3×＝37，所以||＝.
4. (2025·苏州期末)如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，MN＝ON，AP＝AN，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝．
(第4题)
【解析】 由题知＝＝×(＋)＝＋，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋，故x＋y＋z＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A. a B. b
C. a＋2b D. a＋2c
【解析】 因为p＝a＋b，q＝a－b，所以p，q与a，b共面，故A，B错误；因为a＋2b＝(a＋b)－(a－b)＝p－q，所以a＋2b与p，q共面，故C错误；因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以不存在x，y使a＋2c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，所以a＋2c与p，q不共面，则a＋2c可以与p，q构成空间的一个基底，故D正确．
2. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝( C )
A. a＋b－c B. a－b＋c
C. －a－b＋c D. －a＋b－c
【解析】 如图，＝＋＝(＋)＋＝－－＋＝－a－b＋c.
(第2题答)
3. 已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于( B )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 因为m与n共线，所以存在z，使得xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)，所以解得所以x＋y＝0.
4. 在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M为线段EF上靠近F的三等分点，记＝a，＝b，＝c，则＝( C )
A. a＋b＋c B. a＋b＋c
C. a＋b＋c D. a＋b＋c
【解析】 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( AB )
A. 已知空间向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0
B. 若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
C. 若xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z全为零
D. 任意向量a，b，c满足(a·b)c＝a(b·c)
【解析】 A正确；因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，当a＝－b，c＝0时，若xa＋yb＋zc＝0，则x＝y，z可取任意实数，故C错误；若向量a，b，c满足(a·b)c＝a(b·c)，由于a·b是一个数值，b·c也是一个数值，则说明a和c共线或a·b＝b·c＝0，因此对任意三个向量此等式不一定成立，故D错误．
6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.设＝a，＝b，＝c，则下列结论中正确的是( ACD )
(第6题)
A. ＝a＋c－b
B. ||＝
C. ||＝
D. 异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【解析】 对于A，＝＋＝＋－＝a＋c－b，故A正确．对于B，因为a·b＝|a|·|b|·cos ∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝，所以||＝＝＝，故B错误．对于C，因为＝a＋b，所以||＝＝＝，故C正确．对于D，因为·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c＋c·b－b2＝1，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为，故D正确．
三、 填空题
7. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点．记＝a，＝b，＝c，则＝－a＋b－c．(结果用a，b，c表示)
【解析】 如图，＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－＋－＝－a＋b－c.
(第7题答)
8. 已知四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC的中点，则·＝．
【解析】 由四面体OABC的所有棱长都等于，知此四面体是正四面体，，，不共面，·＝·＝×cos 60°＝1.如图，因为E，F，G分别为OA，OC，BC的中点，则＝＋＋＝－＋＝－－，＝－，所以·＝(－＋＋)·＝(－·＋2＋·)＝2＝.
(第8题答)
9. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝2，＝，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝－．
【解析】 ＝－＝－＝(－)－(－)＝－＋＝－(＋)＋＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝，所以x＋y＋z＝－.
四、 解答题
10. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A1D上且CM＝2MA，A1N＝2ND.记向量＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量.
(第10题)
【解答】 由题知＝＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.
(第11题)
(1) 求AC1的长；
【解答】 因为＝＋＋＝＋＋，可得2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝6，所以||＝.
(2) 求证：A1C⊥平面BDD1B1.
【解答】 因为＝－＝＋－，＝－，＝，所以·＝(＋－)·(－)＝·＋2－·－2－·＋·＝1×1×cos 60°＋12－1×1×cos 60°－12－1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＝0，所以⊥，即A1C⊥BD.因为·＝(＋－)·＝·＋·－2＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－12＝0，所以⊥，即A1C⊥BB1.又BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BDD1B1，所以A1C⊥平面BDD1B1.
12. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AA1＝AB＝AD＝3，E为线段BD1上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c(用a，b，c表示)；若G为棱CC1上的一个动点，则·的最小值为．
(第12题)
【解析】 由题意得＝＋＝a＋＝a＋(＋－)＝a＋(b＋c－a)＝a＋b＋c.设＝λ，0≤λ≤1，则＝＋λ＝a－λc，＝＋＝(b＋c－a)＋a－λc＝a＋b＋c .由题意可知a·b＝a·c＝c·b＝3×3×＝，故·＝·(a－λc)＝a2－λa·c＋b·a－λb·c＋c·a－λc2＝3－λ×＋×－λ×＋×－λ×9＝9λ2－15λ＋9＝9＋，0≤λ≤1，当λ＝时，9＋取得最小值，故·的最小值为.
13. 如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
(第13题)
【解答】 如图，连接AG并延长交BC于点H，连接DM.由题意知＝＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，满足＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，因此＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt.由空间向量基本定理知，(1－λ－μ)m＝λn＝μt＝，故＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．
(第13题答)1.2 空间向量基本定理
学习 目标 1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解． 2. 会选择适当的基底表示任意向量，能利用空间向量基本定理解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2. 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得 . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )
(2) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )
(3) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一个基底．( )
(4) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量．( )
(5) 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )
典例精讲能力初成
探究1 空间向量基本定理
例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是( )
A. a＋b，b＋c，c＋a
B. a－b，b－c，c－a
C. a＋b，c，a＋b＋c
D. a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c
(1) 判断三个向量能否构成基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法并结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断．
(2) 求一向量在不同基底下的表示式，一般用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数．
变式1 (1) 已知a，b，c是不共面的三个向量，下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A. 2a，a－b，a＋2b
B. 2b，b＋a，b＋2a
C. a，2b，b－c
D. c，a＋c，a－c
(2) 若{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝8i＋3k，b＝－i＋5j－4k，则a·b＝ ．
探究2 用空间基底表示向量
例2 (教材P12例1补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用＝a，＝b，＝c作为基底．
(例2)
(1) 求；
(2) 若M，N分别为AD，CC1的中点，求.
(1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3) 下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间中所有向量．表示的结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
探究3 用基底法探求线线位置关系
例3 (教材P13例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.
(例3)
探究4 应用空间向量基本定理求距离、夹角
例4 (教材P13例3补充)如图，已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题．
(例4)
(1) 求的模；
(2) 求与的夹角．
随堂内化及时评价
1. (多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. b＋c，b，b－c
B. a，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c
D. a－b，a＋b＋c，c
2. 在空间四边形OABC中，若OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值为( )
A. B.
C. － D. 0
3. 如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，P为平面ABC外一点，且〈，〉＝〈，〉＝120°，||＝3，若＝＋，则||＝( )
(第3题)
A. 2 B.
C. 6 D.
4. (2025·苏州期末)如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，MN＝ON，AP＝AN，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ．
(第4题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A. a B. b
C. a＋2b D. a＋2c
2. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A. a＋b－c B. a－b＋c
C. －a－b＋c D. －a＋b－c
3. 已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
4. 在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M为线段EF上靠近F的三等分点，记＝a，＝b，＝c，则＝( )
A. a＋b＋c B. a＋b＋c
C. a＋b＋c D. a＋b＋c
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( )
A. 已知空间向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0
B. 若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
C. 若xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z全为零
D. 任意向量a，b，c满足(a·b)c＝a(b·c)
6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.设＝a，＝b，＝c，则下列结论中正确的是( )
(第6题)
A. ＝a＋c－b
B. ||＝
C. ||＝
D. 异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
三、 填空题
7. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点．记＝a，＝b，＝c，则＝ ．(结果用a，b，c表示)
8. 已知四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC的中点，则·＝ ．
9. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝2，＝，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ．
四、 解答题
10. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A1D上且CM＝2MA，A1N＝2ND.记向量＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量.
(第10题)
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.
(第11题)
(1) 求AC1的长；
(2) 求证：A1C⊥平面BDD1B1.
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AA1＝AB＝AD＝3，E为线段BD1上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b，＝c，则＝
(用a，b，c表示)；若G为棱CC1上的一个动点，则·的最小值为 ．
(第12题)
13. 如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
(第13题)(共47张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习 目标 1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解．
2. 会选择适当的基底表示任意向量，能利用空间向量基本定理解决一些简单的问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 如果三个向量a，b，c_________，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2. 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得________________. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
不共面
a＝xi＋yj＋zk
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示． ( )
(2) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．
( )
(3) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一个基底． ( )
(4) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量． ( )
(5) 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面． ( )
×
√
√
√
√
典例精讲 能力初成
若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是
( )
A. a＋b，b＋c，c＋a B. a－b，b－c，c－a
C. a＋b，c，a＋b＋c D. a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c
1
空间向量基本定理
【解析】
对于A，令c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则λ，μ无解，故A正确；
对于B，因为c－a＝－(a－b)－(b－c)，所以a－b，b－c，c－a不能构成空间的一个基底；
对于C，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，c，a＋b＋c不能构成空间的一个基底；
对于D，因为3a－b＋c＝2(a－b＋c)＋(a＋b－c)，所以a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c不能构成空间的一个基底．
A
探究
1
(1) 判断三个向量能否构成基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法并结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断．
(2) 求一向量在不同基底下的表示式，一般用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数．
(1) 已知a，b，c是不共面的三个向量，下列向量能构成空间的一个基底的是 ( )
A. 2a，a－b，a＋2b B. 2b，b＋a，b＋2a
C. a，2b，b－c D. c，a＋c，a－c
【解析】
C
变式1
对于D，因为a＋c＝2c＋(a－c)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底．
(2) 若{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝8i＋3k，b＝－i＋5j－4k，则a·b＝_______．
【解析】
由{i，j，k}是一个单位正交基底，则i·j＝0，k·j＝0，k·i＝0，|i|＝|k|＝|j|＝1，所以a·b＝(8i＋3k)·(－i＋5j－4k)＝－8i2＋40i·j－32i·k－3i·k＋15k·j－12k2＝－8－12＝－20.
－20
2
用空间基底表示向量
【解答】
探究
2
【解答】
(1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3) 下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间中所有向量．表示的结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
(教材P13例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.
3
用基底法探求线线位置关系
探究
3
【解答】
4
应用空间向量基本定理求距离、夹角
探究
4
【解答】
【解答】
随堂内化 及时评价
1. (多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ( )
A. b＋c，b，b－c
B. a，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c
D. a－b，a＋b＋c，c
【解析】
对于C，若存在实数x，y使得 c＝x(a＋b)＋y(a－b)，则 c＝(x＋y)a＋(x－y)b，从而a，b，c共面，与已知矛盾，因此a＋b，a－b，c三个向量不共面；
【答案】CD
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 ( )
A. a B. b C. a＋2b D. a＋2c
D
【解析】
因为p＝a＋b，q＝a－b，所以p，q与a，b共面，故A，B错误；
因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以不存在x，y使a＋2c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，所以a＋2c与p，q不共面，则a＋2c可以与p，q构成空间的一个基底，故D正确．
【解析】
【答案】C
3. 已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于 ( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
B
【解析】
【解析】
【答案】C
【解析】
对于C，当a＝－b，c＝0时，若xa＋yb＋zc＝0，则x＝y，z可取任意实数，故C错误；
若向量a，b，c满足(a·b)c＝a(b·c)，由于a·b是一个数值，b·c也是一个数值，则说明a和c共线或a·b＝b·c＝0，因此对任意三个向量此等式不一定成立，故D错误．
【答案】AB
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【解析】
【解析】
【解答】
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.
(1) 求AC1的长；
【解答】
(2) 求证：A1C⊥平面BDD1B1.
【解答】
【解析】
【解析】
