1.3 空间向量及其运算的坐标表示
学习 目标 1. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标． 2. 掌握空间向量运算的坐标表示，能利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．
2. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb λ∈R
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝
夹角公式 cos 〈a，b〉＝ ＝
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( × )
(2) 空间直角坐标系中，在坐标平面Oxz内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式. ( × )
(3) 关于坐标平面Oyz对称的点，其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．( × )
(4) 若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z).( √ )
典例精讲能力初成
探究1 求空间点、向量的坐标
例1 (1) 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中(O为坐标原点)，的坐标是(－2，－1，－4)，的坐标是(－4，2，－4)．
(例1(1))
【解答】 由题图，设＝4i，＝2j，＝4k，则＝－＝－(＋)＝－＝－－－＝－2i－j－4k，故的坐标为(－2，－1，－4).＝－＝－(＋)＝－＋－＝－4i＋2j－4k，故的坐标为(－4，2，－4).
(2) (教材P18例1补充)如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
(例1(2))
【解答】 因为PA＝AB＝1，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以，，是两两垂直的单位向量，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋＋)＝＋，所以向量的坐标为.
(例1(2)答)
变式1 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(变式1)
(1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
【解答】 点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k.所以点D′的坐标是(0，0，2).同理，点C的坐标是(0，4，0).点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A′的坐标是(3，0，2).点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2).
(2) 写出向量，，，的坐标．
【解答】 ＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)；＝－＝0i＋0j－2k＝(0，0，－2)；＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)；＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2).
探究2 空间向量运算的坐标表示
视角1 空间向量线性运算的坐标表示
例2-1 (1) 在空间直角坐标系中，＝(1，2，3)，＝(4，5，6)，则向量＝( B )
A. (－3，－3，－3) B. (3，3，3)
C. (5，7，9) D. (4，10，18)
【解析】 因为＝(1，2，3)，＝(4，5，6)，所以向量＝－＝(3，3，3).
(2) 已知＝(2，－1，3)，＝(－1，4，－2)，＝(5，－6，λ)，若A，B，C，D四点共面，则实数λ＝8．
【解析】 因为A，B，C，D四点共面，所以存在实数m，n，使得＝m＋n＝(2m－n，－m＋4n，3m－2n)，所以解得
视角2 空间向量数量积的坐标表示
例2-2 (1) 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为( B )
A. (4，6，－5) B. 5
C. 7 D. 36
【解析】 因为a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，所以b＋c＝(2，2，5)，a·(b＋c)＝2×2＋3×2－1×5＝5.
(2) 已知a＝(2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则向量b在向量a上的投影向量是( C )
A. (3，2，－5) B. (3，2，－5)
C. (2，0，1) D. (2，0，1)
【解析】 因为a＝(2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则＝＝，所以向量b在向量a上的投影向量是×＝×a＝a＝(2，0，1).
(1) 在空间向量运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2) 进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
探究3 坐标运算的应用
视角1 空间向量的平行与垂直
例3-1 (教材P20例2补充)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝.
(1) 若|c|＝3，c∥，求c；
【解答】 因为＝(－2，－1，2)且c∥，所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，故c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).
(2) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
【解答】 因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－.
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1) 向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2) 对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
视角2 空间两点间的距离与两个向量的夹角
例3-2 (教材P21例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1.
(例3-2)
(1) 求AM的长；
【解答】 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.于是AM＝＝.
(例3-2答)
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值．
【解答】 由已知得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，所以＝－(1，1，0)＝，＝－(0，0，0)＝，||＝，||＝.所以·＝0×0＋＋1×1＝.所以cos 〈，〉 ＝＝＝，所以BE1与DF1所成角的余弦值是.
空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离用公式表示为AB＝||＝.
随堂内化及时评价
1. 已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(x，2，－6)，若a∥b，则实数x的值为( C )
A. 2 B. 4
C. －4 D. －2
【解析】 因为向量a＝(2，－1，3)，b＝(x，2，－6)，且a∥b，所以＝＝，解得x＝－4.
2. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( B )
(第2题)
A. 2 B.
C. 2 D. 1
【解析】 由题知A1(2，0，2)，C(0，2，0)，则A1C的中点E(1，1，1).又A(2，0，0)，B(2，2，0)，所以AB的中点F(2，1，0)，EF＝＝.
3. 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( A )
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
【解析】 因为b－c＝(－2，3，1)，a⊥(b－c)，所以a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
4. 已知A，B，C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若⊥，则λ等于( D )
A. 28 B. －28
C. 14 D. －14
【解析】 由题意得＝(－2，－6，－2)，＝(－1，6，λ－3)，因为⊥，所以·＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.
5. (多选)已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，2，3)，则下列结论正确的是( AD )
A. c＝(3，2，5)与 a，b共面
B. |a＋b|＝26
C. a在 b上的投影向量为
D. a与 b夹角的余弦值为
【解析】 假设c＝(3，2，5)与a，b共面，则存在λ，u，使得c＝λa＋μb，则有解得故A正确；a＋b＝(3，1，4)，所以|a＋b|＝＝，故B错误；a在b上的投影向量为＝×(1，2，3)＝，故C错误；cos 〈a，b〉＝＝＝，故D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知a＝(1，－2，－1)，b＝(3，m，－1)，若a⊥b，则m等于( B )
A. 1 B. 2
C. D. 3
【解析】 因为a⊥b，所以a·b＝0，即1×3＋(－2)×m＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝2.
2. 若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n等于( A )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 ＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6).由题意得∥，所以＝＝，解得m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
3. 在空间直角坐标系Oxyz中，若P(2，0，－4)，Q(－1，2，1)，M是OP的中点，则QM等于( C )
A. B.
C. D.
【解析】 因为P(2，0，－4)，Q(－1，2，1)，M是OP的中点，所以M(1，0，－2)，则QM＝＝.
4. 若向量a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)，则向量a与b的夹角为( D )
A. 0 B.
C. D. π
【解析】 设a与b的夹角为θ，则0≤θ≤π，所以cos θ＝
＝
＝＝－1，所以θ＝π.
二、 多项选择题
5. 在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(1，0，2)，C(2，－1，5)，D(1，－2，4)，则下列结论正确的是( AD )
A. ＝(0，－1，2)
B. A，B，C三点共线
C. AD⊥BC
D. 在上的投影向量为
【解析】 对于A，由题意得＝(0，－1，2)，故A正确；对于B，＝(1，－2，5)，因为不存在实数λ，使得＝λ，所以A，B，C三点不共线，故B错误；对于C，＝(0，－3，4)，＝(1，－1，3)，由·＝0×1＋(－3)×(－1)＋4×3＝15≠0，知AD与BC不垂直，故C错误；对于D，因为＝(0，－2，2)，＝(1，－2，5)，所以在上的投影向量为＝，故D正确．
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，那么下列等式正确的是( BCD )
A. (a·b)·c＝b·c
B. (a＋b)·c＝a·(b＋c)
C. (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D. |a＋b＋c|＝|a－b－c|
【解析】 对于A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，A不正确；对于B，左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝－4＋10－6＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，B正确；对于C，a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，C正确；对于D，由C可得左边＝，因为a－b－c＝(－1，－3，7)，所以|a－b－c|＝，从而左边＝右边，D正确．
三、 填空题
7. 若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且(c－a)·2b＝－2，则x＝2．
【解析】 c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2，得2(1－x)＝－2，解得x＝2.
8. 点P(－3，2，－1)关于平面xOz对称的点是 (－3，－2，－1)，关于z轴对称的点是 (3，－2，－1)，关于点M(1，2，1)对称的点是 (5，2，3)．
【解析】 点P(－3，2，－1)关于平面xOz对称的点是(－3，－2，－1)，关于z轴对称的点是(3，－2，－1).设点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)对称的点为(x，y，z)，则解得故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)对称的点为(5，2，3).
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝，EF＝.
(第9题)
【解析】 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则E，F，所以＝，＝，＝.因为cos 〈，〉＝＝＝，所以cos ∠EAF＝，EF＝||＝＝.
(第9题答)
四、 解答题
10. 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1) 若a∥b，求λ与m的值；
【解答】 由a∥b，得存在实数k，使得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以解得所以实数λ＝，m＝3.
(2) 若|a|＝，c＝(2，－2λ，－λ)，且a与c垂直，求a.
【解答】 因为|a|＝，且a⊥c，所以化简得解得λ＝－1.因此，a＝(0，1，－2).
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，平行六面体的高为2，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1的中点，设△AB1D1的重心为点G，建立适当的空间直角坐标系并写出下列点的坐标．
(第11题)
(1) A1，B1，A，D1；
【解答】 以O为坐标原点，OC1，OD所在直线分别为y，z轴，过点O作B1C1的平行线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示．设点A1(x1，y1，z1)，由于点A1在Oxy平面上，则z1＝0，由图可知它到y轴投影对应数值－2，则y1＝－2，到x轴投影对应数值为2，则x1＝2，即A1(2，－2，0).设点B1(x2，y2，z2)，由于点B1在Oxy平面上，则z2＝0，由图可知它到y轴投影对应数值2，则y2＝2，到x轴投影对应数值2，则x2＝2，即B1(2，2，0).设点A(x3，y3，z3)，易知点A在Oxz平面上，则y3＝0，由图可知它到x轴投影对应数值2，则x3＝2，到z轴投影对应数值2，则z3＝2，即A(2，0，2).由点D1在y轴上，可知D1(0，－2，0).
(第11题答)
(2) G；
【解答】 因为G是△AB1D1的重心，由三角形重心公式，可得G，所以G.
(3) B.
【解答】 设B(x4，y4，z4)，易得D(0，0，2)，则＝(x4－2，y4－2，z4)，＝(0，2，2).又因为 ＝，即所以点B的坐标为(2，4，2).
12. (2024·上海卷)已知空间直角坐标系Oxyz中的点集Ω，对任意P1，P2，P3∈Ω，均存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0.已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的一个充分条件是( C )
A. (0，0，0)∈Ω
B. (－1，0，0)∈Ω
C. (0，1，0)∈Ω
D. (0，0，－1)∈Ω
【解析】 由题意知，，共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底．对于A，由空间直角坐标系易知(0，0，0)，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当(0，0，0)，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；对于B，由空间直角坐标系易知(－1，0，0)，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当(－1，0，0)，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；对于C，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由(1，0，0)，(0，1，0)∈Ω能推出(0，0，1) Ω，故C正确；对于D，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，0，－1)三个向量共面，则当(0，0，－1)，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．
13. 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为．
(第13题)
【解析】 依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，1，0)，B′(0，0，2)，C′(2，0，2)，所以＝(2，－1，2)，＝(0，0，2).设＝λ，λ∈[0，1]，则E(2λ，1－λ，2λ).设F(0，0，z)，0≤z≤2，则＝(－2λ，λ－1，z－2λ).若线段EF的长最小，则必满足EF⊥BB′，由·＝0，可得z＝2λ，即此时＝(－2λ，λ－1，0)，因此，||＝＝＝≥，当且仅当λ＝时等号成立，所以线段EF长的最小值为.
(第13题答)1.3 空间向量及其运算的坐标表示
学习 目标 1. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标． 2. 掌握空间向量运算的坐标表示，能利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝ ，则 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．
2. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb λ∈R
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 (a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝
夹角公式 cos 〈a，b〉＝ ＝
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( )
(2) 空间直角坐标系中，在坐标平面Oxz内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式. ( )
(3) 关于坐标平面Oyz对称的点，其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．( )
(4) 若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z).( )
典例精讲能力初成
探究1 求空间点、向量的坐标
例1 (1) 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中(O为坐标原点)，的坐标是 ，的坐标是 ．
(例1(1))
(2) (教材P18例1补充)如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
(例1(2))
变式1 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(变式1)
(1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
(2) 写出向量，，，的坐标．
探究2 空间向量运算的坐标表示
视角1 空间向量线性运算的坐标表示
例2-1 (1) 在空间直角坐标系中，＝(1，2，3)，＝(4，5，6)，则向量＝( )
A. (－3，－3，－3) B. (3，3，3)
C. (5，7，9) D. (4，10，18)
(2) 已知＝(2，－1，3)，＝(－1，4，－2)，＝(5，－6，λ)，若A，B，C，D四点共面，则实数λ＝ ．
视角2 空间向量数量积的坐标表示
例2-2 (1) 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为( )
A. (4，6，－5) B. 5
C. 7 D. 36
(2) 已知a＝(2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. (3，2，－5) B. (3，2，－5)
C. (2，0，1) D. (2，0，1)
(1) 在空间向量运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2) 进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
探究3 坐标运算的应用
视角1 空间向量的平行与垂直
例3-1 (教材P20例2补充)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝.
(1) 若|c|＝3，c∥，求c；
(2) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1) 向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2) 对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
视角2 空间两点间的距离与两个向量的夹角
例3-2 (教材P21例3)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1.
(例3-2)
(1) 求AM的长；
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值．
空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离用公式表示为AB＝||＝.
随堂内化及时评价
1. 已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(x，2，－6)，若a∥b，则实数x的值为( )
A. 2 B. 4
C. －4 D. －2
2. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
(第2题)
A. 2 B.
C. 2 D. 1
3. 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
4. 已知A，B，C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若⊥，则λ等于( )
A. 28 B. －28
C. 14 D. －14
5. (多选)已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，2，3)，则下列结论正确的是( )
A. c＝(3，2，5)与 a，b共面
B. |a＋b|＝26
C. a在 b上的投影向量为
D. a与 b夹角的余弦值为
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知a＝(1，－2，－1)，b＝(3，m，－1)，若a⊥b，则m等于( )
A. 1 B. 2
C. D. 3
2. 若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n等于( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 在空间直角坐标系Oxyz中，若P(2，0，－4)，Q(－1，2，1)，M是OP的中点，则QM等于( )
A. B.
C. D.
4. 若向量a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)，则向量a与b的夹角为( )
A. 0 B.
C. D. π
二、 多项选择题
5. 在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(1，0，2)，C(2，－1，5)，D(1，－2，4)，则下列结论正确的是( )
A. ＝(0，－1，2)
B. A，B，C三点共线
C. AD⊥BC
D. 在上的投影向量为
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，那么下列等式正确的是( )
A. (a·b)·c＝b·c
B. (a＋b)·c＝a·(b＋c)
C. (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D. |a＋b＋c|＝|a－b－c|
三、 填空题
7. 若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且(c－a)·2b＝－2，则x＝2．
8. 点P(－3，2，－1)关于平面xOz对称的点是 ，关于z轴对称的点是 ，关于点M(1，2，1)对称的点是 ．
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝ ，EF＝ .
(第9题)
四、 解答题
10. 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1) 若a∥b，求λ与m的值；
(2) 若|a|＝，c＝(2，－2λ，－λ)，且a与c垂直，求a.
11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，平行六面体的高为2，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1的中点，设△AB1D1的重心为点G，建立适当的空间直角坐标系并写出下列点的坐标．
(第11题)
(1) A1，B1，A，D1；
(2) G；
(3) B.
12. (2024·上海卷)已知空间直角坐标系Oxyz中的点集Ω，对任意P1，P2，P3∈Ω，均存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0.已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的一个充分条件是( )
A. (0，0，0)∈Ω
B. (－1，0，0)∈Ω
C. (0，1，0)∈Ω
D. (0，0，－1)∈Ω
13. 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为 ．
(第13题答)(共54张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
学习 目标 1. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标．
2. 掌握空间向量运算的坐标表示，能利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的问题．
新知初探 基础落实
xi＋yj＋zk
(x，y，z)
2. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1＝λb1
a2＝λb2
a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式． ( )
(2) 空间直角坐标系中，在坐标平面Oxz内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式.
( )
(3) 关于坐标平面Oyz对称的点，其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．
( )
×
×
×
√
典例精讲 能力初成
1
求空间点、向量的坐标
探究
1
【解答】
【答案】(－2，－1，－4) (－4，2，－4)
【解答】
(1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
【解答】
变式1
【解答】
空间向量运算的坐标表示
【解析】
B
探究
2
2－1
【解析】
8
视角2 空间向量数量积的坐标表示
(1) 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为
( )
A.(4，6，－5) B. 5 C. 7 D. 36
【解析】
因为a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，所以b＋c＝(2，2，5)，a·(b＋c)＝2×2＋3×2－1×5＝5.
B
2－2
(2) 已知a＝(2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则向量b在向量a上的投影向量是 ( )
【解析】
C
(1) 在空间向量运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2) 进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
坐标运算的应用
【解答】
探究
3
3－1
(2) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
【解答】
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1) 向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
【解答】
3－2
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值．
【解答】
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(x，2，－6)，若a∥b，则实数x的值为 ( )
A. 2 B. 4
C. －4 D. －2
C
【解析】
2. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为 ( )
B
【解析】
因为b－c＝(－2，3，1)，a⊥(b－c)，所以a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
3. 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为 ( )
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
A
【解析】
D
5. (多选)已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，2，3)，则下列结论正确的是 ( )
A. c＝(3，2，5)与 a，b共面
B. |a＋b|＝26
【解析】
【答案】AD
配套新练案
【解析】
因为a⊥b，所以a·b＝0，即1×3＋(－2)×m＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝2.
B
2. 若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n等于 ( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
A
【解析】
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
【答案】AD
6. 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，那么下列等式正确的是 ( )
A.(a·b)·c＝b·c
B.(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C.(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D. |a＋b＋c|＝|a－b－c|
【解析】
对于A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，A不正确；
对于B，左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝－4＋10－6＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，B正确；
对于C，a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，C正确；
【答案】BCD
三、 填空题
7. 若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且(c－a)·2b＝－2，则x＝____．
2
【解析】
c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2，得2(1－x)＝－2，解得x＝2.
8. 点P(－3，2，－1)关于平面xOz对称的点是___________________，关于z轴对称的点是_________________，关于点M(1，2，1)对称的点是_____________．
【解析】
(－3，－2，－1)
(3，－2，－1)
(5，2，3)
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝_____，EF＝_____.
【解析】
四、 解答题
10. 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1) 若a∥b，求λ与m的值；
【解答】
【解答】
(1) A1，B1，A，D1；
【解答】
以O为坐标原点，OC1，OD所在直线分别为y，z轴，过点O作B1C1的平行线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示．设点A1(x1，y1，z1)，由于点A1在Oxy平面上，则z1＝0，由图可知它到y轴投影对应数值－2，则y1＝－2，到x轴投影对应数值为2，则x1＝2，即A1(2，－2，0).
设点B1(x2，y2，z2)，由于点B1在Oxy平面上，则z2＝0，由图可知它到y轴投影对应数值2，则y2＝2，到x轴投影对应数值2，则x2＝2，即B1(2，2，0).
(2) G；
【解答】
(3) B.
【解答】
【解析】
对于B，由空间直角坐标系易知(－1，0，0)，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当(－1，0，0)，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
对于C，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由(1，0，0)，(0，1，0)∈Ω能推出(0，0，1) Ω，故C正确；
对于D，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，0，－1)三个向量共面，则当(0，0，－1)，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．
【答案】C
13. 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为_____．
【解析】
