1.4 空间向量的应用
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习 目标 1. 能用向量语言描述空间中的点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2. 会根据条件求出直线的方向向量与平面的法向量．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点．
(1) 点P在直线l上的充要条件是存在实数t使＝ta，即＝t．
(2) 取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t使＝＋ta．
2. (1) 平面ABC的向量表示式：取定空间任意一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式．
(2) 平面的法向量：如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线的方向向量和平面的法向量都是唯一的．( × )
(2) 一个平面有多个法向量，这些法向量模不一定相等，但方向是相同的．( × )
(3) 直线的方向向量和平面的法向量不可能是零向量．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 空间中直线的向量表示
例1 (1) (多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( AB )
A. (2，2，6) B. (1，1，3)
C. (3，1，1) D. (－3，0，1)
(2) 若直线l的方向向量为a＝(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)，B(－1，－2，z)两点，则y＝－，z＝．
【解析】 因为直线l的方向向量为a＝(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)，B(－1，－2，z)两点，所以＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2，1，3)，则λ＝－，所以－2－y＝－，z－3＝－，解得y＝－，z＝.
(3) 已知直线l，m的方向向量分别是a＝(1，1，0)，b＝(－1，t，2)，若l⊥m，则实数t的值是1．
【解析】 因为直线l，m的方向向量分别是a＝(1，1，0)，b＝(－1，t，2)，l⊥m，所以a·b＝－1＋t＝0，解得t＝1.
直线的方向向量与直线上过任意两点的向量共线，利用向量共线定理可求参数值．
若两直线平行，则其方向向量平行；若两直线垂直，则其方向向量垂直．
探究2 空间中平面的向量表示
例2 (教材P28例1补充)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(例2)
(1) 求平面A1BC1的法向量；
【解答】 由题意，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，则＝(0，－2，2)，＝(－2，0，2).设平面A1BC1的法向量是n＝(x，y，z)，则n·＝2z－2y＝0，n·＝－2x＋2z＝0.取x＝2，得n＝(2，2，2)，所以平面A1BC1的一个法向量是(2，2，2)(答案不唯一).
(2) 求证：为平面ADE的一个法向量．
【解答】 由题意知D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，D1(0，0，2)，F(0，1，0)，所以＝(2，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)，从而·＝2－2＝0，·＝0，即D1F⊥DE，D1F⊥DA.又因为DE，DA 平面ADE，DE∩DA＝D，所以D1F⊥平面ADE，从而为平面ADE的一个法向量．
求平面α的法向量的方法：先建立空间直角坐标系，再找出平面内两个不共线的非零向量，设出平面的法向量，最后利用法向量与平面内向量分别垂直进行计算．
变式2 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与平面SAB的法向量．
(变式2)
【解答】 以A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则＝，＝.易知向量＝是平面SAB的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1，1)(答案不唯一).
(变式2答)
探究3 平面方程的表示
例3 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为n＝(A，B，C)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解答】 由题意可得＝(x－x0，y－y0，z－z0).因为n是平面α的法向量，所以n⊥，从而n·＝0，即(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)＝0，得到A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.所以x，y，z满足的关系式为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
求平面方程的步骤：
(1) 求出平面的一个法向量．
(2) 求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量．
(3) 利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解．
变式3 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解答】 由题得＝(x＋1，y－2，z＋2)，因为n是平面α的一个法向量，所以n⊥，从而n·＝0，即(－1，1，2)·(x＋1，y－2，z＋2)＝0，所以－(x＋1)＋(y－2)＋2(z＋2)＝0，整理可得x－y－2z－1＝0，即为所求．
随堂内化及时评价
1. 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，那么a＋b等于( D )
A. 0 B. 1
C. D. 3
【解析】 因为A(0，a，3)，B(－1，2，b)，所以＝(－1，2－a，b－3).又直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故存在λ，使＝λm，所以(－1，2－a，b－3)＝λ(2，－1，3)，可得λ＝－，a＝b＝，所以a＋b＝3.
2. 已知空间三点的坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，且点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( A )
A. 1 B. －2
C. 0 D. －1
【解析】 ＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3).由题意可设＝y＋z(y，z∈R)，则y－2z＝－3，－2y－4z＝x－3，y＋4z＝3，所以y＝－1，z＝1，x＝1.
3. 已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(－1，2，5)，平面α的一个法向量为n＝(1，1，1)，则下列各点中在平面α内的是( A )
A. (1，2，3) B. (0，3，6)
C. (1，1，1) D. (0，0，0)
【解析】 对于A，＝(2，0，－2)，则 n·＝1×2＋1×0＋1×(－2)＝0，此点在平面α内，故A正确；对于B，＝(1，1，1)，则 n·＝1×1＋1×1＋1×1＝3≠0，此点不在平面 α内，故B错误；对于C，＝(2，－1，－4)，则 n·＝1×2＋1×(－1)＋1×(－4)＝－3≠0，此点不在平面 α内，故C错误；对于D，＝(1，－2，－5)，则 n·＝1×1＋1×(－2)＋1×(－5)＝－6≠0，此点不在平面 α内，故D错误．
4. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则( ABC )
(第4题)
A. 直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B. 直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C. 平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
【解析】 由题知DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故A正确；BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故B正确；AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确；点C1的坐标为(1，1，1)，＝(1，1，1)，易知AC1与平面B1CD不垂直，故D错误．
5. 已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
【解答】 直线BC的一个方向向量为＝(－1－1，0－(－1)，0－(－2))＝(－2，1，2).
(2) 设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
【解答】 因为平面α经过A(1，2，3)，且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，则有＝(x－1，y－2，z－3).因为是平面α的一个法向量，所以⊥，从而·＝0，即(－2，1，2)·(x－1，y－2，z－3)＝0，所以－2(x－1)＋(y－2)＋2(z－3)＝0，整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( A )
A. (1，2，3) B. (1，3，2)
C. (2，1，3) D. (3，2，1)
【解析】 由题意可得，直线l的一个方向向量为＝(2，4，6)，又＝(1，2，3)，所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量.
2. 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( A )
A. 0 B. 1
C. D. 3
【解析】 因为A(0，y，3)，B(－1，2，z)，所以＝(－1，2－y，z－3).因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，所以∥m，故存在k，使得＝km(k∈R)，则有解得所以y－z＝0.
3. 在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(－2，1，1)，若向量n＝(1，λ，μ)是平面α的法向量，则λ－μ等于( A )
A. 3 B. －5
C. 5 D. －3
【解析】 由题得＝(－1，1，－2)，＝(－3，1，－1).因为向量n＝(1，λ，μ)是平面α的法向量，所以即解得所以λ－μ＝5－2＝3.
4. 若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为( A )
A. (－1，2，－1) B. (1，2，1)
C. (1，2，－1) D. (－1，2，1)
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝－1，得y＝2，z＝－1，所以平面ABC的一个法向量为(－1，2，－1).
二、 多项选择题
5. 若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( AB )
A. (2，2，6) B. (1，1，3)
C. (3，1，1) D. (－3，0，1)
【解析】 因为点M，N在直线l上，＝(1，1，3)，所以向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量．
6. 已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，那么下列说法正确的是( ABD )
A. 向量a＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量
B. 向量b＝(4，2，－6)是向量的一个方向向量
C. 向量d＝(2，1，－3)平行于平面ABC的法向量
D. 向量c＝(3，－4，1)垂直于平面ABC的法向量
【解析】 因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2).设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则n·＝(x，y，z)·(－2，－1，3)＝－2x－y＋3z＝0，n·＝(x，y，z)·(1，－3，2)＝x－3y＋2z＝0，解得x＝y＝z.令x＝y＝z＝1，得平面ABC的一个法向量为(1，1，1)，故A正确．逐一验证可知B，D也正确．
7. 已知直线l过点P(1，0，－1)，且与向量a＝(2，1，1)平行，平面α过直线l与点M(1，2，3)，那么平面α的法向量可能是( ABC )
A. (1，－4，2)
B.
C.
D. (0，－1，1)
【解析】 由题意可知平面α的法向量与向量a＝(2，1，1)和向量均垂直，且＝(0，2，4).对于A，(2，1，1)·(1，－4，2)＝0，(0，2，4)·(1，－4，2)＝0，满足垂直关系，故A符合题意；对于B，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·＝0，满足垂直关系，故B符合题意；对于C，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·＝0，满足垂直关系，故C符合题意；对于D，(2，1，1)·(0，－1，1)＝0，但(0，2，4)·(0，－1，1)≠0，故D不符合题意．
三、 填空题
8. 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则直线DD1的一个方向向量为 (0，0，1)(答案不唯一)，直线BC1的一个方向向量为 (0，1，1)(答案不唯一)．
【解析】 因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1).因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1).
(第8题)
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点．如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点B1的坐标是 (2，4，3)，平面D1EF的一个法向量是 (－6，3，2)(答案不唯一).
(第9题)
【解析】 由题知D1(0，0，3)，E(1，4，0)，F(0，2，0)，B1(2，4，3)，所以＝(1，4，－3)，＝(0，2，－3).设平面D1EF的法向量是n＝(x，y，z)，则取y＝3，得n＝(－6，3，2)，故平面D1EF的一个法向量是(－6，3，2).
四、 解答题
10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，已知AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2.
(第10题)
(1) 求平面B1CD1的一个法向量；
【解答】 由题图知B1(3，0，2)，C(3，4，0)，D1(0，4，2)，则＝(0，4，－2)，＝(－3，0，2).设平面B1CD1的法向量为a＝(x，y，z)，则a⊥，a⊥，从而所以解得y＝，x＝.不妨取z＝6，则y＝3，x＝4，所以a＝(4，3，6)是平面B1CD1的一个法向量(答案不唯一).
(2) 设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解答】 由题意可得＝(x－3，y，z－2)，因为a＝(4，3，6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a⊥，从而a·＝0，即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0，即4x＋3y＋6z＝24，所以x，y，z满足的关系式是4x＋3y＋6z＝24.
11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，AA1＝3，点E在侧棱BB1上，且BB1＝9BE.建立适当的空间直角坐标系，解答以下问题．
(第11题)
(1) 求直线AE的一个方向向量a；
【解答】 以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，3)，E，B1(1，0，0)，C1(0，2，0)，则＝，所以直线AE的一个方向向量为a＝(答案不唯一).
(2) 设D是B1C1的中点，求平面AED的一个法向量．
【解答】 由(1)知D，＝，＝.设平面AED的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝3，得n＝，所以平面AED的一个法向量是n＝(答案不唯一).
12. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则A1G的长为( C )
(第12题)
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以点C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(，1，0)，A1(，1，4)，E(0，2，2)，F.由题可设G(0，a，4)，则＝(－，1，2)，＝，＝(－，a－1，4).设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝，得m＝.由·m＝－3＋(a－1)＋＝0，得a＝，则＝，||＝＝.
(第12题答)
13. 在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z).若直线l经过点P0，且以u为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1) 求证：＝＝；
【解答】 由点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z)，得＝(x－x0，y－y0，z－z0).由向量u＝(a，b，c)为直线l的方向向量，得存在t，使得＝tu＝(ta，tb，tc)，于是又abc≠0，所以消去t得＝＝.
(2) 当a＝b＝2c＝1，4x0＝2y0＝z0＝4，且·u＝－1时，求点P的坐标．
【解答】 由(1)知而a＝b＝2c＝1，4x0＝2y0＝z0＝4，则P.又u＝，显然＝，由·u＝－1，得1＋t＋2＋t＋＝－1，解得t＝－，所以点P的坐标是.1.4 空间向量的应用
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习 目标 1. 能用向量语言描述空间中的点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2. 会根据条件求出直线的方向向量与平面的法向量．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点．
(1) 点P在直线l上的充要条件是 ．
(2) 取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是 ．
2. (1) 平面ABC的向量表示式：取定空间任意一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是 ，这就是空间平面ABC的向量表示式．
(2) 平面的法向量：如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则 叫做平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线的方向向量和平面的法向量都是唯一的．( )
(2) 一个平面有多个法向量，这些法向量模不一定相等，但方向是相同的．( )
(3) 直线的方向向量和平面的法向量不可能是零向量．( )
典例精讲能力初成
探究1 空间中直线的向量表示
例1 (1) (多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A. (2，2，6) B. (1，1，3)
C. (3，1，1) D. (－3，0，1)
(2) 若直线l的方向向量为a＝(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)，B(－1，－2，z)两点，则y＝ ，z＝ ．
(3) 已知直线l，m的方向向量分别是a＝(1，1，0)，b＝(－1，t，2)，若l⊥m，则实数t的值是 ．
直线的方向向量与直线上过任意两点的向量共线，利用向量共线定理可求参数值．
若两直线平行，则其方向向量平行；若两直线垂直，则其方向向量垂直．
探究2 空间中平面的向量表示
例2 (教材P28例1补充)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(例2)
(1) 求平面A1BC1的法向量；
(2) 求证：为平面ADE的一个法向量．
求平面α的法向量的方法：先建立空间直角坐标系，再找出平面内两个不共线的非零向量，设出平面的法向量，最后利用法向量与平面内向量分别垂直进行计算．
变式2 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与平面SAB的法向量．
(变式2)
探究3 平面方程的表示
例3 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为n＝(A，B，C)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
求平面方程的步骤：
(1) 求出平面的一个法向量．
(2) 求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量．
(3) 利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解．
变式3 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
随堂内化及时评价
1. 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，那么a＋b等于( )
A. 0 B. 1
C. D. 3
2. 已知空间三点的坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，且点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( )
A. 1 B. －2
C. 0 D. －1
3. 已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(－1，2，5)，平面α的一个法向量为n＝(1，1，1)，则下列各点中在平面α内的是( )
A. (1，2，3) B. (0，3，6)
C. (1，1，1) D. (0，0，0)
(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则( )
(第4题)
A. 直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B. 直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C. 平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
5. 已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. (1，2，3) B. (1，3，2)
C. (2，1，3) D. (3，2，1)
2. 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A. 0 B. 1
C. D. 3
3. 在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(－2，1，1)，若向量n＝(1，λ，μ)是平面α的法向量，则λ－μ等于( )
A. 3 B. －5
C. 5 D. －3
4. 若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为( )
A. (－1，2，－1) B. (1，2，1)
C. (1，2，－1) D. (－1，2，1)
二、 多项选择题
5. 若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A. (2，2，6) B. (1，1，3)
C. (3，1，1) D. (－3，0，1)
已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，那么下列说法正确的是( )
A. 向量a＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量
B. 向量b＝(4，2，－6)是向量的一个方向向量
C. 向量d＝(2，1，－3)平行于平面ABC的法向量
D. 向量c＝(3，－4，1)垂直于平面ABC的法向量
7. 已知直线l过点P(1，0，－1)，且与向量a＝(2，1，1)平行，平面α过直线l与点M(1，2，3)，那么平面α的法向量可能是( )
A. (1，－4，2)
B.
C.
D. (0，－1，1)
三、 填空题
8. 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 ．
(第8题)
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点．如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点B1的坐标是 ，平面D1EF的一个法向量是 .
(第9题)
四、 解答题
10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，已知AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2.
(第10题)
(1) 求平面B1CD1的一个法向量；
(2) 设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，AA1＝3，点E在侧棱BB1上，且BB1＝9BE.建立适当的空间直角坐标系，解答以下问题．
(第11题)
(1) 求直线AE的一个方向向量a；
(2) 设D是B1C1的中点，求平面AED的一个法向量．
12. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则A1G的长为( )
(第12题)
A. B.
C. D.
13. 在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z).若直线l经过点P0，且以u为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1) 求证：＝＝；
(2) 当a＝b＝2c＝1，4x0＝2y0＝z0＝4，且·u＝－1时，求点P的坐标．(共51张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习 目标 1. 能用向量语言描述空间中的点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．
2. 会根据条件求出直线的方向向量与平面的法向量．
新知初探 基础落实
(1) 点P在直线l上的充要条件是_______________________________．
(2) 取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是______________________ ___．
2. (1) 平面ABC的向量表示式：取定空间任意一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是_________________________________________，这就是空间平面ABC的向量表示式．
向量a
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线的方向向量和平面的法向量都是唯一的． ( )
(2) 一个平面有多个法向量，这些法向量模不一定相等，但方向是相同的．
( )
(3) 直线的方向向量和平面的法向量不可能是零向量． ( )
×
×
√
典例精讲 能力初成
(1) (多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
( )
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
1
空间中直线的向量表示
AB
探究
1
(2) 若直线l的方向向量为a＝(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)，B(－1，－2，z)两
点，则y＝_______，z＝_____．
【解析】
(3) 已知直线l，m的方向向量分别是a＝(1，1，0)，b＝(－1，t，2)，若l⊥m，则实数t的值是____．
【解析】
因为直线l，m的方向向量分别是a＝(1，1，0)，b＝(－1，t，2)，l⊥m，所以a·b＝－1＋t＝0，解得t＝1.
1
直线的方向向量与直线上过任意两点的向量共线，利用向量共线定理可求参数值．
若两直线平行，则其方向向量平行；若两直线垂直，则其方向向量垂直．
(教材P28例1补充)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(1) 求平面A1BC1的法向量；
2
空间中平面的向量表示
【解答】
探究
2
【解答】
求平面α的法向量的方法：先建立空间直角坐标系，再找出平面内两个不共线的非零向量，设出平面的法向量，最后利用法向量与平面内向量分别垂直进行计算．
变式2
【解答】
在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为n＝(A，B，C)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
3
平面方程的表示
【解答】
探究
3
求平面方程的步骤：
(1) 求出平面的一个法向量．
(2) 求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量．
(3) 利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解．
在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解答】
变式3
随堂内化 及时评价
【解析】
D
【解析】
2. 已知空间三点的坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，且点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为 ( )
A. 1 B. －2
C. 0 D. －1
A
【解析】
A
4. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则 ( )
A. 直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B. 直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C. 平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
【解析】
【答案】ABC
【解答】
5. 已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
【解答】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(1，2，3) B.(1，3，2)
C.(2，1，3) D.(3，2，1)
A
【解析】
【解析】
A
3. 在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(－2，1，1)，若向量n＝(1，λ，μ)是平面α的法向量，则λ－μ等于 ( )
A. 3 B. －5 C. 5 D. －3
A
【解析】
【解析】
A
二、 多项选择题
5. 若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是 ( )
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
AB
【解析】
【解析】
【答案】ABD
【解析】
对于A，(2，1，1)·(1，－4，2)＝0，(0，2，4)·(1，－4，2)＝0，满足垂直关系，故A符合题意；
对于D，(2，1，1)·(0，－1，1)＝0，但(0，2，4)·(0，－1，1)≠0，故D不符合题意．
【答案】ABC
三、 填空题
8. 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则直线DD1的一个方向向量为_________________________，直线BC1的一个方向向量为_________________________．
【解析】
(0，0，1)(答案不唯一)
(0，1，1)(答案不唯一)
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点．如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点B1的坐标是_____________，平面D1EF的一个法向量是___________________________.
【解析】
【答案】(2，4，3) (－6，3，2)(答案不唯一)
四、 解答题
10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝2.
(1) 求平面B1CD1的一个法向量；
【解答】
(2) 设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解答】
11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，AA1＝3，点E在侧棱BB1上，且BB1＝9BE.建立适当的空间直角坐标系，解答以下问题．
(1) 求直线AE的一个方向向量a；
【解答】
(2) 设D是B1C1的中点，求平面AED的一个法向量．
【解答】
12. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则A1G的长为 ( )
【解析】
【答案】C
13. 在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z).若直线l经过点P0，且以u为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
【解答】
【解答】
