第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直
学习 目标 1. 能用向量语言表述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 2. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 3. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
2. 线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0．
3. 面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2.
4. 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
5. 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
6. 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( √ )
(2) 若直线的方向向量和平面的法向量平行，则该直线与平面平行．( × )
(3) 若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面一定平行．( × )
(4) 若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( √ )
典例精讲能力初成
探究1 利用空间向量证明线线平行
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，求证：PQ∥RS.
【解答】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，所以＝，则∥，即PQ∥RS.
(例1答)
证明两直线平行的方法
方法一(基向量法)：分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即存在λ，使得m＝λn.
方法二(坐标法)：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即存在λ，使得m1＝λm2，即x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.
探究2 利用空间向量证明线面平行
例2 (教材P30例3补充)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，试判断ME是否与平面NCF平行．
(例2)
【解答】 设AD＝a，DC＝b，DD1＝c，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，M，N，F，C(0，b，0)，所以＝，＝，则＝－，从而ME∥NF.因为ME∥NF，ME 平面NCF，NF 平面NCF，所以ME∥平面NCF.
(例2答)
向量法证明线面平行的思路
(1) 利用法向量．
(2) 根据线面平行的判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3) 根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
探究3 利用空间向量证明面面平行
例3 (教材P30例2补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G分别为AB，B1C，BC的中点．
(例3)
(1) 求证：平面A1BD∥平面B1CD1；
【解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，C1(0，2，2)，所以＝(2，0，2)，＝(2，2，0).设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即所以可取m＝(－1，1，1).同理平面B1CD1的一个法向量为n＝(－1，1，1)，因为m∥n，所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(例3答)
(2) 求证：平面MNG∥平面ACC1.
【解答】 因为M，N，G分别为AB，B1C，BC的中点，所以M(2，1，0)，G(1，2，0)，N(1，2，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(－1，1，1).又＝(－2，2，0)，＝(－2，2，2)，所以∥，∥.又MG∩MN＝M，MG，MN 平面MNG，AC∩AC1＝A，AC，AC1 平面ACC1，所以平面MNG∥平面ACC1.
证明面面平行问题的方法
(1) 利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2) 将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明．
探究4 利用空间向量证明线线垂直
例4 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(三垂线定理)
已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，AB⊥α，A为垂足，CD α，且CD⊥OA.
求证：CD⊥OB.
(例4)
【解答】 因为CD⊥OA，所以·＝0.因为AB⊥α，CD α，所以AB⊥CD，·＝0.又＋＝，所以·＝·(＋)＝·＋·＝0，故CD⊥OB.
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1) 坐标法：建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明两条直线的方向向量互相垂直．
(2) 基向量法：将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0，从而证明两条直线互相垂直．
探究5 利用空间向量证明线面垂直
例5 (教材P32例4补充)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2，求证：AB1⊥平面A1B1C1.
(例5)
【解答】 如图，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，－，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)，则＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).
(例5答)
方法一：由·＝0，得AB1⊥A1B1.由·＝0，得AB1⊥A1C1.又因为A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1 平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.
方法二：设m＝(x，y，z)是平面A1B1C1的法向量，则即令z＝1，得m＝.因为＝2m，即∥m，所以AB1⊥平面A1B1C1.
欲证线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量．
探究6 利用空间向量证明面面垂直
例6 (教材P32例5补充)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
(例6)
【解答】 设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E.
(例6答)
方法一：连接AC交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0，0，1)，＝，所以＝，所以OE∥AS.因为AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).易知＝(－1，1，0)，＝，从而由得令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).因为AS⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1).因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
欲证面面垂直，可以证明两个平面的法向量互相垂直，也可以证明线面垂直，进而得证面面垂直．
随堂内化及时评价
1. 已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2，则( D )
A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝
C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝
【解析】 由题意得＝＝，所以x＝6，y＝.
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( B )
(第2题)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
【解析】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1).又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，所以·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以⊥n.又因为MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
(第2题答)
3. (2025·无锡期末)已知直线l的一个方向向量是 a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，则l与α的位置关系是( D )
A. l⊥α B. l∥α
C. l α D. l∥α或l α
【解析】 因为直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，所以a·u＝－3×1＋2×2＋1×(－1)＝0，所以a⊥u，则l∥α或l α.
4. 已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则( B )
A. l∥α B. l⊥α
C. l α D. l与α相交，但不垂直
【解析】 因为直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，所以＝(－1，0，－2).因为平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，且n＝2，所以平面α的一个法向量与直线l的一个方向向量平行，则l⊥α.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4), 则( D )
A. l1∥l2
B. l1与l2相交
C. l1与l2重合
D. l1与l2平行或重合
【解析】 因为b＝－2a，所以l1与l2平行或重合．
2. 已知平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，μ，4)，若α∥β，则λ＋μ等于( C )
A. 2 B. 4
C. －2 D. －4
【解析】 因为平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，μ，4)，α∥β，所以＝＝，解得μ＝－4，λ＝2，所以λ＋μ＝－4＋2＝－2.
3. 若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为( B )
A. 10 B. －10
C. D. －
【解析】 因为α⊥β，所以a⊥b，所以(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即(－1)×x＋2×(－1)＋4×(－2)＝0，解得x＝－10.
4. 已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( C )
A. P1(1，－1，1) B. P2
C. P3 D. P4
【解析】 设平面α内任意一点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，因为平面α的一个法向量为n＝，所以(x－2)＋(y＋1)＋(z－2)＝0，整理得3x＋y＋2z－9＝0.因为3－1＋2－9＝－5≠0，3－3＋3－9＝－6≠0，3＋3＋3－9＝0，－3＋3－3－9＝－12≠0，所以对比选项可知只有P3在平面α内．
二、 多项选择题
5. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论正确的是( AC )
A. 若两条不同的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2
B. 若直线l的方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α
C. 若两个不重合的平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β
D. 若直线l的方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α
【解析】 对于A，因为b＝－a，所以l1∥l2，故A正确；对于B，因为a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，因为u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u＝－a，所以l⊥α，故D错误．
6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是( AC )
A. C1D∥平面EFG
B. ＝＋
C. ·＝0
D. A1C⊥平面EFG
(第6题)
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，F，G.设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，＝，＝，则有令x＝1，得n＝(1，2，－1).因为＝(－1，0，－1)，·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C1D 平面EFG，所以C1D∥平面EFG，故A正确；因为＝(1，1，－1)，与n不平行，A1C不与平面EFG垂直，故D错误；因为＝，＝，所以·＝×＋×0＋×＝0，故C正确；因为＝，＝＝(1，－1，0)，＝(0，0，－1)，＋＝(1，－1，－1)，所以≠＋，故B错误．
(第6题答)
三、 填空题
7. 已知直线l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝2．
【解析】 因为l1∥l2，所以v1∥v2，从而＝＝，因此，λ＝2.
8. 已知＝(2，n，－2)，平面α的法向量为n＝(1，－2，2m)，若AB⊥α，则m＋n＝－．
【解析】 因为AB⊥α，所以与n共线．又＝(2，n，－2)，n＝(1，－2，2m)，则m≠0，且＝＝，所以m＝－，n＝－4，故m＋n＝－.
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分点(靠近点D1)，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ＝．
(第9题)
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，则E(0，3，2)，A1(0，0，3)，B(3，0，0)，B1(3，0，3)，所以＝(0，3，－1)，＝(3，0，－3).设平面A1BE的法向量为m＝(x，y，z)，所以取x＝3，得m＝(3，1，3).设F(a，3，3)，a∈[0，3]，则＝(a－3，3，0).因为B1F∥平面A1BE，所以⊥m，即·m＝3(a－3)＋3＝0，解得a＝2，所以＝，即λ＝.
(第9题答)
四、 解答题
10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2，E为AB的中点．
(第10题)
(1) 求证：A1D⊥平面ABC1D1；
【解答】 方法一：因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，所以AB⊥平面ADD1A1，而A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又因为AA1＝AD＝2，所以侧面ADD1A1是正方形，因此AD1⊥A1D.又因为AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E，A1(2，0，2)，B(2，1，0)，D1(0，0，2)，所以＝(0，1，0)，＝(－2，－1，2)，＝，＝(－2，0，－2)，＝(－2，0，2).因为·＝0，·＝0，所以A1D⊥AB，A1D⊥AD1.又AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.
(第10题答)
(2) 求证：BD1∥平面A1DE.
【解答】 方法一：设A1D∩AD1＝O，连接OE，则OE∥BD1.因为OE 平面A1DE，BD1 平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.
方法二：设平面A1DE的法向量为m＝(x，y，z)，则有取x＝1，得m＝(1，－4，－1).因为·m＝－2×1＋(－1)×(－4)＋2×(－1)＝0，BD1 平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.
11. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∠BAD＝60°，DE＝DC＝2AF.
(第11题)
(1) 求证：AC⊥平面BDE；
【解答】 连接AC，BD交于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DE⊥AC.因为DE∩BD＝D，DE，BD 平面BDE，所以AC⊥平面BDE.
(2) 求证：AC∥平面BEF.
【解答】 取AB的中点M，连接DM，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以DM⊥DC.因为DE⊥平面ABCD，DM，DC 平面ABCD，所以DE⊥DM，DE⊥DC，所以DM，DC，DE两两垂直．如图，以D为坐标原点，DM，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE＝DC＝2AF＝2，则A(，－1，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(，－1，1)，所以＝(，－1，－1)，＝(0，2，－1)，＝(0，－2，2)，＝(－，3，0).设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝1，则m＝(，1，2).由于·m＝(－，3，0)·(，1，2)＝－3＋3＝0，所以⊥m.又因为AC 平面BEF，所以AC∥平面BEF.
(第11题答)
12. 如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA＝AC.
(第12题)
(1) 当E为PC的中点时，求证：PA∥平面BDE；
【解答】 连接 AC，设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接 OE.因为O和E分别为AC，PC的中点，所以OE∥PA.因为PA 平面BDE，且OE 平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2) 当AE⊥平面PBD时，求的值．
【解答】 如图，以O为坐标原点，OA，OB分别为x轴和y轴，过O且平行于AP的直线为z轴建立空间直角坐标系．设AB＝2，则A(，0，0)，C(－，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，0)，P(，0，2)，所以＝(－，－，－2)，＝(－，，－2).设＝λ，λ∈[0，1]，可得E(－2λ，0，2－2λ)，则＝(－2λ，0，2－2λ).由AE⊥平面PBD，可得解得λ＝，所以＝2.
(第12题答)第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直
学习 目标 1. 能用向量语言表述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 2. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 3. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2
．
线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α
．
面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β
.
4. 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2
．
5.线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
l⊥α ．
6. 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β
．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( )
(2) 若直线的方向向量和平面的法向量平行，则该直线与平面平行．( )
(3) 若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面一定平行．( )
(4) 若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( )
典例精讲能力初成
探究1 利用空间向量证明线线平行
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，求证：PQ∥RS.
证明两直线平行的方法
方法一(基向量法)：分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即存在λ，使得m＝λn.
方法二(坐标法)：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即存在λ，使得m1＝λm2，即x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.
探究2 利用空间向量证明线面平行
例2 (教材P30例3补充)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，试判断ME是否与平面NCF平行．
(例2)
向量法证明线面平行的思路
(1) 利用法向量．
(2) 根据线面平行的判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3) 根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
探究3 利用空间向量证明面面平行
例3 (教材P30例2补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G分别为AB，B1C，BC的中点．
(例3)
(1) 求证：平面A1BD∥平面B1CD1；
(2) 求证：平面MNG∥平面ACC1.
证明面面平行问题的方法
(1) 利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2) 将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明．
探究4 利用空间向量证明线线垂直
例4 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(三垂线定理)
已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，AB⊥α，A为垂足，CD α，且CD⊥OA.
求证：CD⊥OB.
(例4)
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1) 坐标法：建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明两条直线的方向向量互相垂直．
(2) 基向量法：将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0，从而证明两条直线互相垂直．
探究5 利用空间向量证明线面垂直
例5 (教材P32例4补充)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2，求证：AB1⊥平面A1B1C1.
(例5)
欲证线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量．
探究6 利用空间向量证明面面垂直
例6 (教材P32例5补充)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
(例6)
欲证面面垂直，可以证明两个平面的法向量互相垂直，也可以证明线面垂直，进而得证面面垂直．
随堂内化及时评价
1. 已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2，则( )
A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝
C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
(第2题)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
3. (2025·无锡期末)已知直线l的一个方向向量是 a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A. l⊥α B. l∥α
C. l α D. l∥α或l α
已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，
－4)，则( )
A. l∥α B. l⊥α
C. l α D. l与α相交，但不垂直
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4), 则( )
A. l1∥l2
B. l1与l2相交
C. l1与l2重合
D. l1与l2平行或重合
2. 已知平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，μ，4)，若α∥β，则λ＋μ等于( )
A. 2 B. 4
C. －2 D. －4
3. 若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为( )
A. 10 B. －10
C. D. －
4. 已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A. P1(1，－1，1) B. P2
C. P3 D. P4
二、 多项选择题
5. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论正确的是( )
A. 若两条不同的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2
B. 若直线l的方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α
C. 若两个不重合的平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β
D. 若直线l的方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α
6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是( )
A. C1D∥平面EFG
B. ＝＋
C. ·＝0
D. A1C⊥平面EFG
(第6题)
三、 填空题
7. 已知直线l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝ ．
已知＝(2，n，－2)，平面α的法向量为n＝(1，－2，2m)，若AB⊥α，则m＋n＝ ．
9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分点(靠近点D1)，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ＝ ．
(第9题)
四、 解答题
10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2，E为AB的中点．
(第10题)
(1) 求证：A1D⊥平面ABC1D1；
(2) 求证：BD1∥平面A1DE.
11. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∠BAD＝60°，DE＝DC＝2AF.
(第11题)
(1) 求证：AC⊥平面BDE；
(2) 求证：AC∥平面BEF.
12. 如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA＝AC.
(第12题)
(1) 当E为PC的中点时，求证：PA∥平面BDE；
(2) 当AE⊥平面PBD时，求的值．(共59张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直
学习 目标 1. 能用向量语言表述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
2. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
3. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 _________ ______________________．
2. 线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α _______ __________．
3. 面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β _________ ______________________.
u1∥u2
λ∈R，使得u1＝λu2
u⊥n
u·n＝0
n1∥n2
λ∈R，使得n1＝λn2
4. 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 _________ ____________．
5. 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α _______ ____________________．
6. 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β _________ ____________．
u1⊥u2
u1·u2＝0
u∥n
λ∈R，使得u＝λn
n1⊥n2
n1·n2＝0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两直线的方向向量垂直，则两直线垂直． ( )
(2) 若直线的方向向量和平面的法向量平行，则该直线与平面平行． ( )
(3) 若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面一定平行．
( )
(4) 若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°. ( )
√
×
×
√
典例精讲 能力初成
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，求证：PQ∥RS.
1
利用空间向量证明线线平行
【解答】
探究
1
证明两直线平行的方法
方法一(基向量法)：分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即存在λ，使得m＝λn.
方法二(坐标法)：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即存在λ，使得m1＝λm2，即x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.
2
利用空间向量证明线面平行
探究
2
因为ME∥NF，ME 平面NCF，NF 平面NCF，所以ME∥平面NCF.
【解答】
向量法证明线面平行的思路
(1) 利用法向量．
(2) 根据线面平行的判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3) 根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
(教材P30例2补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G分别为AB，B1C，BC的中点．
(1) 求证：平面A1BD∥平面B1CD1；
3
利用空间向量证明面面平行
【解答】
探究
3
同理平面B1CD1的一个法向量为n＝(－1，1，1)，因为m∥n，所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2) 求证：平面MNG∥平面ACC1.
【解答】
又MG∩MN＝M，MG，MN 平面MNG，AC∩AC1＝A，AC，AC1 平面ACC1，所以平面MNG∥平面ACC1.
证明面面平行问题的方法
(1) 利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2) 将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明．
证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(三垂线定理)
已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，AB⊥α，A为垂足，CD α，且CD⊥OA.
求证：CD⊥OB.
4
利用空间向量证明线线垂直
【解答】
探究
4
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1) 坐标法：建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明两条直线的方向向量互相垂直．
(2) 基向量法：将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0，从而证明两条直线互相垂直．
(教材P32例4补充)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2，求证：AB1⊥平面A1B1C1.
5
利用空间向量证明线面垂直
探究
5
【解答】
欲证线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量．
(教材P32例5补充)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
6
利用空间向量证明面面垂直
探究
6
【解答】
因为AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
欲证面面垂直，可以证明两个平面的法向量互相垂直，也可以证明线面垂直，进而得证面面垂直．
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2，则 ( )
D
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 不能确定
【解析】
又因为MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
【答案】B
【解析】
因为直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，所以a·u＝－3×1＋2×2＋1×(－1)＝0，所以a⊥u，则l∥α或l α.
3. (2025·无锡期末)已知直线l的一个方向向量是 a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，则l与α的位置关系是 ( )
A. l⊥α B. l∥α
C. l α D. l∥α或l α
D
【解析】
4. 已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则 ( )
A. l∥α B. l⊥α
C. l α D. l与α相交，但不垂直
B
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4), 则 ( )
A. l1∥l2 B. l1与l2相交
C. l1与l2重合 D. l1与l2平行或重合
D
【解析】
因为b＝－2a，所以l1与l2平行或重合．
2. 已知平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，μ，4)，若α∥β，则λ＋μ等于 ( )
A. 2 B. 4
C. －2 D. －4
C
【解析】
【解析】
因为α⊥β，所以a⊥b，所以(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即(－1)×x＋2×(－1)＋4×(－2)＝0，解得x＝－10.
B
【解析】
【答案】C
二、 多项选择题
5. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论正确的是 ( )
A. 若两条不同的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2
B. 若直线l的方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α
C. 若两个不重合的平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β
D. 若直线l的方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α
【解析】
对于A，因为b＝－a，所以l1∥l2，故A正确；
对于B，因为a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l α，故B错误；
对于C，因为u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，故C正确；
【答案】AC
【解析】
【答案】AC
三、 填空题
7. 已知直线l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，直线l2的方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝____．
【解析】
2
【解析】
【解析】
四、 解答题
10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2，E为AB的中点．
(1) 求证：A1D⊥平面ABC1D1；
【解答】
方法一：因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，所以AB⊥平面ADD1A1，而A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.
又因为AA1＝AD＝2，所以侧面ADD1A1是正方形，因此AD1⊥A1D.
又因为AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.
(2) 求证：BD1∥平面A1DE.
【解答】
方法一：设A1D∩AD1＝O，连接OE，则OE∥BD1.因为OE 平面A1DE，BD1 平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.
11. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∠BAD＝60°，DE＝DC＝2AF.
(1) 求证：AC⊥平面BDE；
【解答】
连接AC，BD交于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DE⊥AC.因为DE∩BD＝D，DE，BD 平面BDE，所以AC⊥平面BDE.
(2) 求证：AC∥平面BEF.
【解答】
取AB的中点M，连接DM，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以DM⊥DC.
又因为AC 平面BEF，所以AC∥平面BEF.
12. 如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA＝AC.
(1) 当E为PC的中点时，求证：PA∥平面BDE；
【解答】
连接 AC，设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接 OE.因为O和E分别为AC，PC的中点，所以OE∥PA.因为PA 平面BDE，且OE 平面BDE，所以PA∥平面BDE.
【解析】
