第3课时 用空间向量研究距离问题
学习 目标 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 2. 能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ＝＝．
2. 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离．( × )
(2) 直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．( √ )
(3) 两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．( √ )
(4) 任意一条直线与任意一个平面都有距离．( × )
典例精讲能力初成
探究1 求空间中点到直线的距离
例1 (教材P34例6(1)补充)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
(例1)
【解答】 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以＝(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，则点B到直线A1C1的距离为d＝＝＝.
(例1答)
求直线外一点P到直线l的距离d的方法：
方法一：结合点线距的向量公式；
方法二：先确定直线l上一点B和直线l的方向向量n，再利用d＝||进行计算．
变式1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( B )
A． B.
C. D.
【解析】 如图，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，则＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以sin 〈，〉＝，于是点A到直线BE的距离为d＝||sin 〈，〉＝.
(变式1答)
探究2 求点到平面的距离或直线到平面的距离
视角1 点面距
例2-1 (教材P34例6(2)补充)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( B )
A. B.
C. D.
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，O，C1(0，1，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
(例2-1答)
求平面外一点到平面的距离的方法
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2) 在三棱锥中用等体积法求解．
(3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段).
视角2 线面距
例2-2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(例2-2)
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
【解答】 如图，连接AB1交A1B于点E，连接DE，则有DE∥B1C.又因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.
(例2-2答)
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
【解答】 因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．因为AB＝BC，D是AC中点，所以DB⊥AC.过D作DD1∥AA1，交A1C1于点D1，则DD1，DC，DB两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取z＝1，可得n＝(3，0，1).点B1到平面A1BD距离为d＝＝.即直线B1C到平面A1BD的距离是.
视角3 面面距
例2-3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
(例2-3)
【解答】 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1).所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.易证平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
(例2-3答)
求两个平行平面的距离时，要先在其中一个平面上找到一点，然后转化为求该点到另一个平面的距离．提醒：这个点要选取适当，以方便求解为原则．
随堂内化及时评价
1. 在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为( C )
A. 2 B. 1
C. 5 D. 3
2. 若点A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( A )
A. B. 1
C. D. 2
【解析】 因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，所以点A到直线BC的距离为d＝||＝1×＝.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，PD＝，E是PA的中点，＝2，则点C到平面DEF的距离为( B )
(第3题)
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，4，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P.因为E是PA的中点，＝2，所以E，F，所以＝，＝，＝(0，4，0).设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝，得n＝(－2，－1，).故点C到平面DEF的距离为＝.
(第3题答)
4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则点D到平面PEF的距离为，直线AC到平面PEF的距离为．
(第4题)
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，所以＝，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1).设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为＝＝.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又EF 平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为＝＝.
(第4题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知△ABC的顶点为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( C )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】 因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则对应的单位向量为u＝，所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝＝＝5.
2. 已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z等于( C )
A. －16 B. －4或16
C. 4或－16 D. 16
【解析】 因为n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且点P到α的距离d＝＝＝＝，所以z＝4或－16.
3. 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，若AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( B )
(第3题)
A. B.
C. D. 1
【解析】 由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，则＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，对应的单位向量为μ＝，所以点B到直线A1C的距离为＝＝.
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线D1P∥平面EFG，则线段BP长度的最小值为( C )
A. B. 1
C. D.
(第4题)
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，E，F，G，B(1，，0).设P(m，n，0)，平面EFG的法向量为a＝(x，y，z)，则
(第4题答)
令y＝1，得x＝，z＝，故a＝(，1，).因为D1P∥平面EFG，所以·a＝(m，n，－1)·(，1，)＝m＋n－＝0，则n＝－m.由两点间距离公式得BP＝＝＝，当m＝时，BP取得最小值.
二、 多项选择题
5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，若E为AB的中点，则以下说法正确的是( BC )
(第5题)
A. 线段ED1的长度为3
B. m＝(2，2，4)是平面D1EC的一个法向量
C. 点B到平面D1EC的距离为
D. 三棱锥B-D1EC的体积为
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1)，所以||＝，故A错误；设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝2，得n＝(2，2，4)，此时m＝n，故B正确；点B到平面D1EC的距离为d＝＝＝，故C正确；VB-D1EC＝VD1-BEC＝××1×1×1＝，故D错误．
(第5题答)
6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，若E为PD的中点，且PA＝AB＝1，PC＝，则下列说法正确的是( AD )
(第6题)
A. PB∥平面AEC
B. VE-PAC＝VD-PAC＝VP-ACD
C. 点D到平面PAC的距离为
D. 点E到平面PAC的距离为
【解析】 方法一：如图(1)，连接BD，交AC于点O，连接EO.因为O，E分别为BD，PD的中点，所以OE∥PB.又OE 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC，故A正确．因为AC＝＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，即菱形ABCD为正方形．又点E到平面PAC的距离等于点D到平面PAC距离的，设点E到平面PAC的距离为h，则VE-PAC＝VD-PAC＝VP-ACD，即××h＝×××1，解得h＝，故B，C错误，D正确．
图(1)
(第6题答)
方法二：如图(2)，连接BD，交AC于点O，连接EO.由方法一知菱形ABCD为正方形，所以AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E，所以＝，＝(1，1，0).设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则z＝－1，x＝－1，所以n＝(－1，1，－1).因为＝(1，0，－1)，所以·n＝0，所以⊥n，又PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC，故A正确．由题图易知VE-PAC＝VD-PAC＝VP-ACD，故B错误．因为O，所以＝.由题易知为平面PAC的一个法向量，所以点D到平面PAC的距离为||＝＝，故C错误．因为＝是平面PAC的一个法向量，＝，所以点E到平面PAC的距离为d＝＝，故D正确．
图(2)
三、 填空题
7. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，则点O到直线A1E的距离为．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，E，O.因为＝，u＝＝，＝，所以·u＝－.所以点O到直线A1E的距离为＝＝.
(第7题答)
8. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝(－6，2，－8)，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，则该三棱柱的高为2．
【解析】 由题意知＝＝(－4，1，0)，该三棱柱的高即为点A1到平面ABC的距离d.设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则令x＝1，得y＝4，z＝，所以n＝.因为＝(－6，2，－8)，所以d＝＝＝2.
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，那么直线D1C1与平面A1B1N的距离是9．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设CD＝a，则D1(0，0，9)，A1(6，0，9)，B1(6，a，9)，N(3，a，0)，从而＝(6，0，0)，＝(0，a，0)，＝(－3，0，－9).设平面A1B1N的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝3，则y＝0，z＝－，所以平面A1B1N的一个法向量为n＝(3，0，－)，从而点D1到平面A1B1N的距离为d＝＝＝9.又因为D1C1∥平面A1B1N，所以直线D1C1与平面A1B1N的距离是9.
(第9题答)
四、 解答题
10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1与BC1交于点E.
(第10题)
(1) 求证：CB1⊥C1D；
【解答】 因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以A1C1，B1C1，CC1两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，4)，C1(0，0，0)，B1(0，4，0)，A1(4，0，0)，A(4，0，4)，B(0，4，4)，D(2，2，2)，＝(0，4，－4)，＝(2，2，2)，所以·＝0＋8－8＝0，即⊥，故CB1⊥C1D.
(第10题答)
(2) 求点E到平面B1C1D的距离．
【解答】 由题意可知E是CB1，BC1的中点，则E(0，2，2)，所以＝(0，4，0)，＝(2，2，2)，＝(0，2，2).设平面B1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则有取x＝1，得m＝(1，0，－1)，所以点E到平面B1C1D的距离为d＝＝＝.
11. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，F，G分别是AB，CC1的中点．
(第11题)
(1) 求点D1到直线GF的距离；
【解答】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，F(2，1，0)，G(0，2，1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝所以点D1到直线GF的距离为＝.
(第11题答)
(2) 求平面A1BD与平面B1CD1之间的距离．
【解答】 由(1)知＝(0，2，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(－2，0，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离为d＝＝＝.由题意得A1B∥D1C，A1B 平面B1CD1，D1C 平面B1CD1，所以A1B∥平面B1CD1，同理A1D∥平面B1CD1.因为A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D 平面A1BD，所以平面A1BD∥平面B1CD1，从而平面A1BD与平面B1CD1之间的距离即为点D1到平面A1BD的距离，故平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为.
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若直线AC上的点P到直线BC1的距离最短，则点P的坐标为( C )
A. B.
C. D. (0，1，0)
【解析】 如图，由正方体的棱长为1，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，＝(1，0，0)，＝(－1，1，0).设＝λ，则＝＋λ＝(1，0，0)＋λ(－1，1，0)＝(1－λ，λ，0)，即P(1－λ，λ，0)，＝(－λ，λ－1，0)，＝(－1，0，1).在上的投影向量的模为＝，点P到直线BC1的距离为＝＝＝，当λ＝时，点P到直线BC1的距离最短，此时点P的坐标为.
(第12题答)
13. (2025·无锡期末)在空间直角坐标系中，u(x－x0)＋v(y－y0)＋w(z－z0)＝0表示经过点(x0，y0，z0)，且法向量为(u，v，w)的平面的方程．已知平面α的方程为x＋2y＋2z－3＝0，过点P(2，1，3)作直线l⊥α，点M(a，b，c)为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为b＝2a－3；点P到平面α的距离为．
【解析】 因为平面α的方程为x＋2y＋2z－3＝0，则平面α的法向量为n＝(1，2，2).又过点P(2，1，3)作直线l⊥α，点M(a，b，c)为直线l上任意一点，则＝(a－2，b－1，c－3)，又∥n，所以＝＝，所以b＝2a－3.因为平面α的方程为x＋2y＋2z－3＝0，即(x－3)＋2(y－0)＋2(z－0)＝0，所以平面α过点Q(3，0，0)，所以＝(－1，1，3)，则点P到平面α的距离为d＝＝＝.第3课时 用空间向量研究距离问题
学习 目标 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 2. 能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ ＝ ＝ .
2. 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝ ＝ ＝ ．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离．( )
(2) 直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．( )
(3) 两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．( )
(4) 任意一条直线与任意一个平面都有距离．( )
典例精讲能力初成
探究1 求空间中点到直线的距离
例1 (教材P34例6(1)补充)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
(例1)
求直线外一点P到直线l的距离d的方法：
方法一：结合点线距的向量公式；
方法二：先确定直线l上一点B和直线l的方向向量n，再利用d＝||进行计算．
变式1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B.
C. D.
探究2 求点到平面的距离或直线到平面的距离
视角1 点面距
例2-1 (教材P34例6(2)补充)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
求平面外一点到平面的距离的方法
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2) 在三棱锥中用等体积法求解．
(3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段).
视角2 线面距
例2-2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(例2-2)
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
视角3 面面距
例2-3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
(例2-3)
求两个平行平面的距离时，要先在其中一个平面上找到一点，然后转化为求该点到另一个平面的距离．提醒：这个点要选取适当，以方便求解为原则．
随堂内化及时评价
1. 在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为( )
A. 2 B. 1
C. 5 D. 3
2. 若点A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A. B. 1
C. D. 2
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，PD＝，E是PA的中点，＝2，则点C到平面DEF的距离为( )
(第3题)
A. B.
C. D.
4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则点D到平面PEF的距离为，直线AC到平面PEF的距离为＝ ．
(第4题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知△ABC的顶点为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z等于( )
A. －16 B. －4或16
C. 4或－16 D. 16
如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，若AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
(第3题)
A. B.
C. D. 1
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线D1P∥平面EFG，则线段BP长度的最小值为( )
A. B. 1
C. D.
(第4题)
二、 多项选择题
5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，若E为AB的中点，则以下说法正确的是( )
(第5题)
A. 线段ED1的长度为3
B. m＝(2，2，4)是平面D1EC的一个法向量
C. 点B到平面D1EC的距离为
D. 三棱锥B-D1EC的体积为
6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，若E为PD的中点，且PA＝AB＝1，PC＝，则下列说法正确的是( )
(第6题)
A. PB∥平面AEC
B. VE-PAC＝VD-PAC＝VP-ACD
C. 点D到平面PAC的距离为
D. 点E到平面PAC的距离为
三、 填空题
7. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，则点O到直线A1E的距离为 ．
8. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝(－6，2，－8)，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，则该三棱柱的高为 ．
9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，那么直线D1C1与平面A1B1N的距离是 ．
四、 解答题
10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1与BC1交于点E.
(第10题)
(1) 求证：CB1⊥C1D；
(2) 求点E到平面B1C1D的距离．
11. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，F，G分别是AB，CC1的中点．
(第11题)
(1) 求点D1到直线GF的距离；
(2) 求平面A1BD与平面B1CD1之间的距离．
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若直线AC上的点P到直线BC1的距离最短，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D. (0，1，0)
13. (2025·无锡期末)在空间直角坐标系中，u(x－x0)＋v(y－y0)＋w(z－z0)＝0表示经过点(x0，y0，z0)，且法向量为(u，v，w)的平面的方程．已知平面α的方程为x＋2y＋2z－3＝0，过点P(2，1，3)作直线l⊥α，点M(a，b，c)为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为 ；点P到平面α的距离为 ．(共63张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
第3课时 用空间向量研究距离问题
学习 目标 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．
2. 能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探 基础落实
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离． ( )
(2) 直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．
( )
(3) 两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．
( )
(4) 任意一条直线与任意一个平面都有距离． ( )
×
√
√
×
典例精讲 能力初成
(教材P34例6(1)补充)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
1
求空间中点到直线的距离
探究
1
【解析】
求直线外一点P到直线l的距离d的方法：
方法一：结合点线距的向量公式；
变式1
【答案】B
【解析】
求点到平面的距离或直线到平面的距离
探究
2
2－1
【答案】B
【解析】
求平面外一点到平面的距离的方法
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2) 在三棱锥中用等体积法求解．
视角2 线面距
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
【解答】
如图，连接AB1交A1B于点E，连接DE，则有DE∥B1C.又因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.
2－2
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
【解答】
视角3 面面距
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
2－3
【解答】
求两个平行平面的距离时，要先在其中一个平面上找到一点，然后转化为求该点到另一个平面的距离．提醒：这个点要选取适当，以方便求解为原则．
随堂内化 及时评价
1. 在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为 ( )
A. 2 B. 1
C. 5 D. 3
C
【解析】
A
【解析】
【答案】B
4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则点D到平面PEF的距离为_____，直线AC到平面PEF的距离为_____．
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知△ABC的顶点为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
【解析】
【解析】
C
3. 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，若AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为 ( )
【解析】
B
【解析】
【答案】C
二、 多项选择题
5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，若E为AB的中点，则以下说法正确的是 ( )
A. 线段ED1的长度为3
B. m＝(2，2，4)是平面D1EC的一个法向量
【解析】
【答案】BC
【解析】
方法一：如图(1)，连接BD，交AC于点O，连接EO.因为O，E分别为BD，PD的中点，所以OE∥PB.又OE 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC，故A正确．
图(1)
图(2)
【答案】AD
三、 填空题
7. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，
则点O到直线A1E的距离为_____．
【解析】
【解析】
2
【解析】
又因为D1C1∥平面A1B1N，所以直线D1C1与平面A1B1N的距离是9.
【答案】9
四、 解答题
10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1与BC1交于点E.
(1) 求证：CB1⊥C1D；
【解答】
(2) 求点E到平面B1C1D的距离．
【解答】
11. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，F，G分别是AB，CC1的中点．
(1) 求点D1到直线GF的距离；
【解答】
(2) 求平面A1BD与平面B1CD1之间的距离．
【解答】
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若直线AC上的点P到直线BC1的距离最短，则点P的坐标为 ( )
【解析】
【答案】C
13. (2025·无锡期末)在空间直角坐标系中，u(x－x0)＋v(y－y0)＋w(z－z0)＝0表示经过点(x0，y0，z0)，且法向量为(u，v，w)的平面的方程．已知平面α的方程为x＋2y＋2z－3＝0，过点P(2，1，3)作直线l⊥α，点M(a，b，c)为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为___________；点P到平面α的距离为_____．
【解析】
