第4课时 用空间向量研究夹角问题(1)
——线线角与线面角
学习 目标 1. 能用向量方法求空间中线线角、线面角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间中线线角、线面角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝．
2. 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等．( × )
(2) 直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( × )
(3) 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．( × )
(4) 两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.( √ )
典例精讲能力初成
探究1 两异面直线所成的角
例1 (教材P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求异面直线A′C与DE所成角的余弦值．
(例1答)
【解答】 如图，建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，所以＝(a，a，－a)，＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以异面直线A′C与DE所成角的余弦值为.
(1) 求两异面直线所成的角时，要注意其范围是.
(2) 若两条异面直线所成的角为θ，对应的方向向量分别为m，n，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，可根据此公式求解相关量．
探究2 直线与平面所成的角
例2-1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，∠ABC＝120°，M为A1C1的中点，求直线BM与平面ABB1A1所成的角．
(例2-1)
【解答】 如图，以B为原点，BA，BB1所在的直线分别为x轴、z轴，在平面ABC中过点B作AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝BB1＝2，则B(0，0，0)，A1(2，0，)，C1(－1，，)，M，所以＝，易得平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0，1，0).设直线BM与平面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以θ＝30°，即直线BM与平面ABB1A1所成的角为30°.
(例2-1答)
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
例2-2 (教材P43第10题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点．
(例2-2)
(1) 求证：A1C⊥平面EFGHKL；
【解答】 设AB＝1，如图，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C(0，1，0)，K，H，L，＝，＝，＝(－1，1，－1)，则所以A1C⊥LK，A1C⊥KH.因为LK，KH为平面EFGHKL内的两条相交直线，所以A1C⊥平面EFGHKL.
(例2-2答)
(2) 求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值．
【解答】 由(1)知平面EFGHKL的一个法向量为＝(－1，1，－1)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，则＝(1，1，1).因为cos 〈，〉＝＝＝－，所以DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值为＝.
变式2 如图，底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
(变式2)
【解答】 取BC的中点O，B1C1的中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC.以O为原点，OC，OA，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，所以＝.取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB.因为平面ABC⊥平面ABB1A1，CM 平面ABC，所以CM⊥平面ABB1A1，所以为平面ABB1A1的一个法向量．因为B，所以M.又因为C，所以＝，从而cos 〈，〉＝＝＝－，故AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为.
(变式2答)
随堂内化及时评价
1. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是( AB )
(第1题)
A. 直线A1B与B1C所成的角为60°
B. 直线A1C与C1D所成的角为90°
C. 直线A1C与平面ABCD所成的角为45°
D. 直线A1B与平面BCC1B1所成的角为60°
【解析】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(－1，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(0，－1，－1).对于A，cos 〈，〉＝＝＝，因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以直线A1B与B1C所成的角为60°，A正确；对于B，·＝－1＋1＝0，即⊥，所以直线A1C与C1D所成的角为90°，B正确；对于C，易知平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，cos 〈，m〉＝＝＝－，显然直线A1C与平面ABCD所成的角不是45°，C错误；对于D，易知平面BCC1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，cos 〈，n〉＝＝＝，因为直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，则sin θ＝，所以直线A1B与平面BCC1B1所成的角为45°，D错误．
(第1题答)
2. 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( B )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(0，1，－2)，＝(1，0，0)，＝(1，0，－2).设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得n＝(0，2，1).设直线PB与平面PCD所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.
(第2题答)
3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，若E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成角的余弦值为( A )
(第3题)
A. B.
C. D.
【解析】 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直．以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，E(2，1，0)，D(0，2，0)，＝(2，1，－2)，＝(－2，2，0).设异面直线BD与PE所成的角为θ，θ∈，则cos θ＝＝＝，所以异面直线BD与PE所成角的余弦值为.
(第3题答)
4. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1＝1，直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于( B )
(第4题)
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系．设底面正方形ABCD的边长为a，则A1(a，0，1)，C(0，a，0)，D1(0，0，1)，C1(0，a，1)，所以＝(－a，a，0)，＝(a，0，0)，＝(0，a，－1).设平面A1BCD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，得n＝(0，1，a)，所以 n·＝a，|n|＝，||＝a.因为直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为，故直线A1C1与平面A1BCD1所成角的正弦值为，所以|cos 〈n，〉|＝＝＝，解得a2＝，故正四棱柱的体积为a2×1＝.
(第4题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( B )
A. － B.
C. － D.
【解析】 设l1与l2的夹角为θ，因为a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，所以cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝＝＝.
2. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
(第2题)
A.
B.
C.
D.
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1，则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，＝(0，1，－2)，＝(－1，0，2)，cos 〈，〉＝＝＝－，所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
(第3题)
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，易知为平面BB1D1D的一个法向量，所以cos 〈，〉＝＝，所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
(第3题答)
4. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，若D为棱BB1的中点，则AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为( B )
(第4题)
A. B.
C. D.
【解析】 如图，以B为坐标原点，在平面ABC内过点B作BC的垂线为x轴，BC，BB1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，D(0，0，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，＝，＝，＝.设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，，0).设AD与平面ACC1A1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则( AD )
A. AP⊥BC
B. 是平面PBC的一个法向量
C. ∥
D. 直线BP与平面ABCD所成角的余弦值为
【解析】 对于A，在平行四边形ABCD中，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，所以＝＝(4，2，0)，又＝(－1，2，－1)，所以·＝0，所以AP⊥BC，故A正确．对于B，＝－＝(3，－3，－3)，因为·＝－3－6＋3＝－6，所以不是平面PBC的一个法向量，故B错误．对于C，＝－＝(2，3，4)，因为不存在λ，使得＝λ，所以与不平行，故C错误．对于D，因为AP⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为＝(－1，2，－1)，设直线BP与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以直线BP与平面ABCD所成角的余弦值为cos θ＝＝，故D正确．
6. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1＝AB，则( BC )
A. AC1与底面ABC所成角的正弦值为
B. AC1与底面ABC所成角的正弦值为
C. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
D. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
【解析】 如图，取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EB1，EF，则EB1，EC1，EF两两垂直，以E为坐标原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝2，所以A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)，＝(0，2，－2).因为底面ABC的一个法向量为m＝(0，0，2)，所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos 〈m，〉|＝＝＝，故A错误，B正确．因为A1B1的中点K的坐标为，所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝，则AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos 〈，〉|＝＝＝，故C正确，D错误．
(第6题答)
三、 填空题
7. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是60°．
(第7题)
【解析】 如图，以直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝1，则B(0，0，0)，E，F，C1(1，0，1)，所以＝，＝(1，0，1).于是cos 〈，〉＝＝＝，所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
(第7题答)
8. 在三棱锥P-ABC中，＝，＝(－1，1，－1)，＝，则直线AP与平面ABC所成角的余弦值为．
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则x＝1，z＝1，所以n＝(1，2，1).设直线AP与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，所以cos θ＝＝，即直线AP与平面ABC所成角的余弦值为.
四、 解答题
9. 如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
(第9题)
【解答】 因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)，所以＝(－2，0，0).在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，则VC＝，故V(0，0，)，＝(1，1，－)，所以cos 〈，〉＝＝＝－，所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，N是B1C1的中点，F是BB1的中点．
(第10题)
(1) 求证：C1F⊥平面A1CN；
【解答】 由题知AB，AC，AA1两两垂直．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．由AB＝AC＝2，AA1＝2，N是B1C1的中点，F是BB1的中点，得B(0，2，0)，C(2，0，0)，C1(2，0，2)，A1(0，0，2)，N(1，1，2)，F(0，2，)，B1(0，2，2)，所以＝(－2，2，－)，＝(2，0，－2)，＝(1，1，0).因为·＝(－2，2，－)·(2，0，－2)＝－4＋0＋4＝0，所以⊥.因为·＝(－2，2，－)·(1，1，0)＝－2＋2＋0＝0，所以⊥.又因为A1C∩A1N＝A1，A1C，A1N 平面A1CN，所以C1F⊥平面A1CN.
(第10题答)
(2) 求直线BC与平面A1B1C所成角的余弦值．
【解答】 由(1)得＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，－2，0).设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得y＝0，x＝，即n＝(，0，1).设直线BC与平面A1B1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以cos θ＝＝.故直线BC与平面A1B1C所成角的余弦值为.
11. (2022·全国甲卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(第11题)
(1) 求证：BD⊥PA；
【解答】 在四边形ABCD中，如图(1)，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F.因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，从而AE＝BF＝，故DE＝，BD＝＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD.又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD.因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA.
(2) 求PD与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】 如图(2)，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，所以＝(－1，0，)，＝(0，－，)，＝(0，0，).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，得n＝(，1，1)，则cos 〈n，〉＝＝，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.
图(1) 图(2)
(第11题答)第4课时 用空间向量研究夹角问题(1)
——线线角与线面角
学习 目标 1. 能用向量方法求空间中线线角、线面角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间中线线角、线面角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cos θ＝ ＝ ．
2. 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ ．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等．( )
(2) 直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( )
(3) 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．( )
(4) 两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.( )
典例精讲能力初成
探究1 两异面直线所成的角
例1 (教材P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求异面直线A′C与DE所成角的余弦值．
(1) 求两异面直线所成的角时，要注意其范围是.
(2) 若两条异面直线所成的角为θ，对应的方向向量分别为m，n，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，可根据此公式求解相关量．
探究2 直线与平面所成的角
例2-1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，∠ABC＝120°，M为A1C1的中点，求直线BM与平面ABB1A1所成的角．
(例2-1)
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
例2-2 (教材P43第10题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点．
(例2-2)
(1) 求证：A1C⊥平面EFGHKL；
(2) 求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值．
变式2 如图，底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
(变式2)
随堂内化及时评价
1. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
(第1题)
A. 直线A1B与B1C所成的角为60°
B. 直线A1C与C1D所成的角为90°
C. 直线A1C与平面ABCD所成的角为45°
D. 直线A1B与平面BCC1B1所成的角为60°
2. 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，若E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成角的余弦值为( )
(第3题)
A. B.
C. D.
4. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1＝1，直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于( )
(第4题)
A. B.
C. D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A. － B.
C. － D.
2. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
(第2题)
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
(第3题)
A. B.
C. D.
4. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，若D为棱BB1的中点，则AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为( )
(第4题)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则( )
A. AP⊥BC
B. 是平面PBC的一个法向量
C. ∥
D. 直线BP与平面ABCD所成角的余弦值为
6. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1＝AB，则( )
A. AC1与底面ABC所成角的正弦值为
B. AC1与底面ABC所成角的正弦值为
C. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
D. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
三、 填空题
7. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是 ．
(第7题)
8. 在三棱锥P-ABC中，＝，＝(－1，1，－1)，＝，则直线AP与平面ABC所成角的余弦值为 ．
四、 解答题
9. 如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
(第9题)
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，N是B1C1的中点，F是BB1的中点．
(第10题)
(1) 求证：C1F⊥平面A1CN；
(2) 求直线BC与平面A1B1C所成角的余弦值．
11. (2022·全国甲卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(第11题)
(1) 求证：BD⊥PA；
(2) 求PD与平面PAB所成角的正弦值．(共57张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
第4课时 用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角
学习 目标 1. 能用向量方法求空间中线线角、线面角的大小．
2. 通过用空间向量解决空间中线线角、线面角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角
为θ，则cos θ＝_____________________＝_________．
2. 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量
为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________________＝_________．
|cos 〈u，n〉|
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等． ( )
(2) 直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角． ( )
(3) 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．
( )
×
×
×
√
典例精讲 能力初成
(教材P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求异面直线A′C与DE所成角的余弦值．
1
两异面直线所成的角
探究
1
【解答】
直线与平面所成的角
探究
2
2－1
【解答】
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(教材P43第10题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点．
(1) 求证：A1C⊥平面EFGHKL；
【解答】
因为LK，KH为平面EFGHKL内的两条相交直线，所以A1C⊥平面EFGHKL.
2－2
(2) 求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值．
【解答】
变式2
取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB.因为平面ABC⊥平面ABB1A1，CM 平面ABC，所以CM⊥平面ABB1A1，所以为平面ABB1A1的一个法向量．
【解答】
随堂内化 及时评价
1. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是 ( )
A. 直线A1B与B1C所成的角为60°
B. 直线A1C与C1D所成的角为90°
C. 直线A1C与平面ABCD所成的角为45°
D. 直线A1B与平面BCC1B1所成的角为60°
【解析】
【答案】AB
2. 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 ( )
【解析】
【答案】B
3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，若E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成角的余弦值为 ( )
【解析】
【答案】A
【解析】
【答案】B
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 ( )
B
【解析】
2. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ( )
【解析】
【答案】D
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )
【解析】
【答案】D
4. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，若D为棱BB1的中点，则AD与平面ACC1A1所成角的正弦值为 ( )
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】AD
【解析】
【答案】BC
三、 填空题
7. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是_______．
【解析】
【答案】60°
【解析】
【解答】
(1) 求证：C1F⊥平面A1CN；
【解答】
又因为A1C∩A1N＝A1，A1C，A1N 平面A1CN，所以C1F⊥平面A1CN.
(2) 求直线BC与平面A1B1C所成角的余弦值．
【解答】
(1) 求证：BD⊥PA；
【解答】
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PD⊥BD.又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD.因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA.
图(1)
(2) 求PD与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】
图(2)
