微专题1 基底法求线线角与点点距
典例剖析素养初现
拓展1 基底法求线线角
例1 (教材P15第7题)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
(例1)
(1) 求证：EF⊥B1C；
【解答】 因为＝＋＝－＋(＋)＝－－＋，＝＋＝－＋，所以·＝·(－＋)＝2－2＝0，所以⊥，即EF⊥B1C.
(2) 求EF与C1G所成角的余弦值．
【解答】 因为＝＋＝－－，所以·＝·＝2－2＝.记EF与C1G所成的角为θ，易得EF＝，C1G＝，则cos θ＝＝＝，即EF与C1G所成角的余弦值为.
变式1 如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(变式1)
(1) 求证：AE⊥BC；
【解答】 因为＝－＝(＋)－，＝－，所以·＝·(－)＝2－2－·＋·.又因为DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以·＝0，故AE⊥BC.
(2) 求异面直线AE与DC所成角的余弦值．
【解答】 ·＝·＝·＋2－·＝2＝2.由||2＝2＝2＋2＋2＝6，得||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，故异面直线AE与DC所成角的余弦值为.
拓展2 基底法求点点距
例2 在自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，求该晶胞的对角线AC1的长．
(例2)
【解答】 如图，＝＋＝＋＋＝＋＋.由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，从而||＝，故该晶胞的对角线AC1的长为.
(例2答)
变式2 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且BD与α所成的角是30°(点C，D在平面α同侧)．若AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
【解答】 由AC⊥α，知AC⊥AB.如图，过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，则∠DBD′＝30°，〈，〉＝120°，所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝b2＋a2＋b2＋2b2·cos 120°＝a2＋b2，故CD＝.
(变式2答)
涉及空间直线的垂直、平行，线段长度、夹角等问题，可以利用基向量，通过数量积的运算或共线定理来解决．
(1) 线线垂直可用a·b＝0证明，线线平行可用a＝λb证明，其中a，b用基向量表示；
(2) 异面直线所成的角可用公式cos θ＝求解，其中a，b用基向量表示；
(3) 线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式|a|＝计算，其中a用基向量表示．
随堂内化及时评价
1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别为AB，B1C的中点，且AB＝a，则MN等于( A )
(第1题)
A. a B. a
C. a D. a
【解析】 由题图知＝＋＋＝＋＋(－＋)＝＋＋，则||2＝a2＋a2＋a2＝a2，所以MN＝a.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是( B )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交 D. 不确定
【解析】 由题知＝＋，＝＋＋＝－(＋)＋＋＝－＋.设||＝a，则·＝·＝－2＋·－·＋2＝－a2＋a2＝0，所以⊥，即ON⊥AM.
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BC1与AC所成角的大小为( C )
(第3题)
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设正方体的棱长为1，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋·＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1.又因为||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝.因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝，所以异面直线BC1与AC所成角的大小为.
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为．
(第4题)
【解析】 由题意可得＝－＝(－)，＝＋＝－＋，所以·＝·(－＋)＝2＝.因为||＝||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
5. 如图，已知P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为，异面直线PA与BC所成角的余弦值为．
(第5题)
【解析】 由题意得AB＝BC＝1，AC＝，可得∠ABC＝90°.如图，取AC的中点D，连接PD，BD，易知BD＝PD＝，则∠PDB＝90°.因为G为△ABC的重心，所以GD＝BD＝，从而PG＝＝.因为·＝·(－)＝·－·＝，所以cos 〈，〉＝.
(第5题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在四面体OABC中，已知OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，则异面直线OB与AC所成角的大小为( B )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 在四面体OABC中，，，不共面，则＝－.令OA＝OB＝OC＝1，由题意知AC＝1，·＝(－)·＝·－·＝1×1×cos 90°－1×1×cos 60°＝－.设OB与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝，而0°<θ≤90°，所以θ＝60°，即异面直线OB与AC所成角的大小为60°.
2. 如图，在四面体ABCD中，已知M，N分别为AB，CD的中点，AD＝2，BC＝4，且与的夹角为120°，则线段MN的长为( A )
(第2题)
A. B.
C. 或 D. 3或3
【解析】 如图，取AC的中点E，连接ME，EN.因为M，N分别为AB，CD的中点，所以ME∥BC且ME＝BC＝2，EN∥AD且EN＝AD＝1.因为与的夹角为120°，所以与的夹角为120°.因为＝＋，所以||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝22＋2×2×1×＋12＝3，从而||＝，即线段MN的长为.
(第2题答)
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A. B.
C. D.
【解析】 方法一：在长方体中，易得AD1＝2，DB1＝，＝＋，＝＋－，则·＝·＋·－2＋·＋2－·＝2，所以cos 〈，〉＝＝，故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
方法二：如图，设BD1∩DB1＝O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝.在△DMO中，由余弦定理得cos ∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
(第3题答)
二、 多项选择题
4. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则( BD )
A. ||＝
B. ||＝3
C. ·＝－9
D. 异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
【解析】 设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，a·c＝3，b·c＝4，＝b＋c，＝－a＋b－c，所以||＝＝2，||＝＝3，·＝－a·b＋b2－b·c－a·c＋b·c－c2＝9，所以cos 〈，〉＝＝，则A，C错误，B，D正确．
5. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则下列选项正确的是( AB )
(第5题)
A. ＝＋＋
B. ＝＋－
C. 若＝2，则＝＋＋
D. 若AC与BD交于点O，则||＝
【解析】 对于A，＝＋＝＋＋，A正确；对于B，＝＋＝－＋＋＝＋－，B正确；对于C，若＝2，则＝＝(＋－)，则＝＋＝＋＋，C错误；对于D，＝＋＝＋＝(＋)＋，则||2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝×1＋×1＋4＋1×2×＋1×2×＝，所以||＝，D错误．
三、 填空题
6. 如图，已知二面角α-l-β的大小为135°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝1，BD＝，则CD的长为．
(第6题)
【解析】 由二面角α-l-β的大小为135°，AC⊥l，BD⊥l，得〈，〉＝135°，〈，〉＝90°，〈，〉＝90°.因为AB＝AC＝1，BD＝，且＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋()2＋0＋2×1××cos 45°＋0＝6，从而||＝.
7. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN＝．
【解析】 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋(－)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝5，所以MN＝||＝|a＋b＋c|＝.
(第7题答)
四、 解答题
8. (教材P36例7)如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
(第8题)
【解答】 以{，，}作为基底，则＝－＝－，＝(＋).设与的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值等于|cos θ|.因为△ABC和△ACD均为等边三角形，所以||＝||＝.因为·＝(＋)·＝2－·＋·－·＝－＋－＝，所以cos θ＝＝＝，故直线AM和CN夹角的余弦值为.
9. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.
(第9题)
(1) 求 ·；
【解答】 由向量数量积的定义，可得·＝||||·cos ∠A1AB＝5×4×＝10.
(2) 求AB1的长；
【解答】 因为＝＋＝＋，所以||＝
＝
＝＝，即AB1的长为.
(3) 求BD1的长．
【解答】 因为·＝5×3×cos 60°＝，·＝3×4×cos 90°＝0，所以||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝52＋32＋42＋2×－2×10－2×0＝45，则||＝3，即BD1的长为3.微专题1 基底法求线线角与点点距
典例剖析素养初现
拓展1 基底法求线线角
例1 (教材P15第7题)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
(例1)
(1) 求证：EF⊥B1C；
(2) 求EF与C1G所成角的余弦值．
变式1 如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(变式1)
(1) 求证：AE⊥BC；
(2) 求异面直线AE与DC所成角的余弦值．
拓展2 基底法求点点距
例2 在自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，求该晶胞的对角线AC1的长．
(例2)
变式2 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且BD与α所成的角是30°(点C，D在平面α同侧)．若AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
涉及空间直线的垂直、平行，线段长度、夹角等问题，可以利用基向量，通过数量积的运算或共线定理来解决．
(1) 线线垂直可用a·b＝0证明，线线平行可用a＝λb证明，其中a，b用基向量表示；
(2) 异面直线所成的角可用公式cos θ＝求解，其中a，b用基向量表示；
(3) 线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式|a|＝计算，其中a用基向量表示．
随堂内化及时评价
1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别为AB，B1C的中点，且AB＝a，则MN等于( )
(第1题)
A. a B. a
C. a D. a
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交 D. 不确定
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BC1与AC所成角的大小为( )
(第3题)
A. B.
C. D.
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为 ．
(第4题)
5. 如图，已知P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为 ，异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ．
(第5题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在四面体OABC中，已知OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，则异面直线OB与AC所成角的大小为( )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
2. 如图，在四面体ABCD中，已知M，N分别为AB，CD的中点，AD＝2，BC＝4，且与的夹角为120°，则线段MN的长为( )
(第2题)
A. B.
C. 或 D. 3或3
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
4. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则( )
A. ||＝
B. ||＝3
C. ·＝－9
D. 异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则下列选项正确的是( )
(第5题)
A. ＝＋＋
B. ＝＋－
C. 若＝2，则＝＋＋
D. 若AC与BD交于点O，则||＝
三、 填空题
6. 如图，已知二面角α-l-β的大小为135°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝1，BD＝，则CD的长为 ．
(第6题)
7. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN＝ ．
四、 解答题
8. (教材P36例7)如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
(第8题)
9. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.
(第9题)
(1) 求 ·；
(2) 求AB1的长；
(3) 求BD1的长．(共38张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
微专题1 基底法求线线角与点点距
典例剖析 素养初现
(1) 求证：EF⊥B1C；
1
基底法求线线角
【解答】
拓展
1
(2) 求EF与C1G所成角的余弦值．
【解答】
如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1) 求证：AE⊥BC；
【解答】
变式1
(2) 求异面直线AE与DC所成角的余弦值．
【解答】
在自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，求该晶胞的对角线AC1的长．
2
基底法求点点距
拓展
2
【解答】
已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且BD与α所成的角是30°(点C，D在平面α同侧)．若AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
【解答】
变式2
涉及空间直线的垂直、平行，线段长度、夹角等问题，可以利用基向量，通过数量积的运算或共线定理来解决．
(1) 线线垂直可用a·b＝0证明，线线平行可用a＝λb证明，其中a，b用基向量表示；
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别为AB，B1C的中点，且AB＝a，则MN等于 ( )
A
【解析】
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是 ( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
B
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BC1与AC所成角的大小为 ( )
【解析】
【答案】C
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为_____．
【解析】
5. 如图，已知P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为_____，异面直线PA与BC所成角的余弦值为_____．
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在四面体OABC中，已知OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，则异面直线OB与AC所成角的大小为 ( )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】A
【解析】
【答案】C
二、 多项选择题
4. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则 ( )
【解析】
【答案】BD
5. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则下列选项正确的是 ( )
【解析】
【答案】AB
【解析】
7. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN＝
_____．
【解析】
四、 解答题
8. (教材P36例7)如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
【解答】
9. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.
【解答】
【解答】
(2) 求AB1的长；
(3) 求BD1的长．
【解答】
