章检测 第一章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＋－等于( A )
A. B.
C. D.
【解析】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＋－＝－＋＝＋＝.
2. 已知O(0，0，0)，A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则点C的坐标是( B )
A. B.
C. D.
【解析】 设点C的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z).因为＝(－3，7，－5)，＝，所以x＝－2，y＝，z＝－，则点C的坐标是.
3. 若向量a＝(－1，2，－2)，b＝(k，4，5)的夹角的余弦值为，则实数k的值为( B )
A. 3 B. －11
C. －3或11 D. 3或－11
【解析】 由题意得|a|＝＝3，|b|＝＝，由cos 〈a，b〉＝＝，解得k＝－11.
4. 设{i，j，k}是空间中的一个单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，那么向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( A )
A. (12，14，10) B. (10，12，14)
C. (14，12，10) D. (4，3，2)
【解析】 由题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10).
5. 已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(3，2，λ)，若a，b，c共面，则实数λ等于( C )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【解析】 由题知，a与b不共线，故取a，b作为平面的一组基向量．因为a，b，c共面，所以存在实数λ1，λ2，使得c＝λ1a＋λ2b，于是 解得
6. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( C )
(第6题)
A. 5 B. 8
C. D.
【解析】 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5).设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0)，平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12).又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝. 因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
(第6题答)
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( D )
A. B.
C. D.
【解析】 方法一：如图，过点F作BD的平行线交AC于点M，连接GM.设正方体的棱长为1，由FM∥BD，BD⊥平面A1ACC1，知FM⊥平面A1ACC1，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角．因为FM⊥MG，易得MF＝，GF＝，所以sin ∠MGF＝＝.
(第7题答)
方法二：如图，以AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则易知平面A1ACC1的一个法向量为n＝(－1，1，0).因为F，G，所以＝.设直线FG与平面A1ACC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝.
8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直径，点G是正方体表面上的一个动点，则·的取值范围为( A )
A. [0，8] B. [0，8)
C. [0，4] D. [0，4)
【解析】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直径，所以OM＝ON＝2，＝－，·＝2×2×cos 180°＝－4.因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－4.又因为点G是正方体表面上的一个动点，所以当G为正方体的顶点时，||取最大值＝2；当G为内切球与正方体的切点时，则||有最小值2.因此2≤||≤2，于是4≤||2≤12，即||2－4∈[0，8]，则·的取值范围为[0，8].
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有( ACD )
A. 与向量a＝(1，－1，1)同方向的单位向量e＝
B. 若对空间中任意一点O，有＝＋－，则P，A，B，C四点共面
C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a＝(9，4，－4)，b＝(1，2，2)，则a在b上的投影向量为(1，2，2)
【解析】 对于A，与向量a＝(1，－1，1)同方向的单位向量为＝＝a＝，故A正确；对于B，由＋－＝0≠1，不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误；对于C，因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时，则这两个向量共线，故C正确；对于D，a在b上的投影向量为＝＝b＝(1，2，2)，故D正确．
10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( BC )
(第10题)
A. D1D⊥AF
B. A1G∥平面AEF
C. ·(－)＝0
D. 向量与向量的夹角是60°
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，G(2，2，1)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).对于A，＝(0，0，2)，＝(－2，2，1)，则·＝2≠0，故A错误．对于B，设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)，由可得取x＝2，可得m＝(2，1，2)，＝(0，2，－1).由m·＝2－2＝0，可知m⊥.因为A1G 平面AEF，所以A1G∥平面AEF，故B正确．对于C，＝(0，2，2)，＝(－2，2，－2)，·(－)＝·＝4－4＝0，故C正确．对于D，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，2)，cos 〈，〉＝＝＝－，所以向量与向量的夹角是120°，故D错误.
(第10题答)
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，若底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则( ACD )
(第11题)
A. PA⊥BD
B. PB与平面ABCD所成的角为
C. 异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D. 平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
【解析】 对于A，设PD＝AD＝1，则AB＝2，由余弦定理可得BD＝＝，则AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，所以BD⊥PD.又AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以PA⊥BD，故A正确．对于B，因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，于是tan ∠PBD＝＝＝，所以∠PBD＝，故B错误．对于C，因为AB∥CD，所以∠PCD为异面直线AB和PC所成的角．因为PD＝1，CD＝AB＝2，所以PC＝＝，从而cos ∠PCD＝＝＝，故C正确．对于D，以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)，C(－1，，0)，所以＝(0，，－1)，＝(1，0，－1)，＝(－1，，－1).设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则 所以令y1＝1，可得m＝(，1，)，令y2＝1，可得n＝(0，1，)，所以cos 〈m，n〉＝＝＝，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为，故D正确．
(第11题答)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，则|a＋b|＝3，向量a与b的夹角为60°．
【解析】 由a＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，得a＋b＝(3，0，3)，所以|a＋b|＝＝3，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为60°.
13. 已知l∥α，直线l的方向向量为(a，2，1)，平面α的一个法向量为，那么实数a的值为－1．
【解析】 因为l∥α，直线l的方向向量为(a，2，1)，平面α的一个法向量为，所以(a，2，1)·＝a－1＋2＝0，解得a＝－1.
(第14题)
14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，若侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点，则直线PB与平面POC所成角的余弦值为，点B到平面PCD的距离为．
【解析】 因为侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，O为AD的中点，所以AD＝＝2，PO⊥AD.因为底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，所以OC⊥AD，OC＝1.
(第14题答)
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以OC⊥平面PAD.以O为原点，OC，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则B(1，－1，0)，P(0，0，1)，＝(1，－1，－1)，平面POC的一个法向量为n＝(0，1，0).设直线PB与平面POC所成的角为θ，则sin θ＝＝，cos θ＝＝，所以PB与平面POC所成角的余弦值为.由上知C(1，0，0)，D(0，1，0)，＝(1，－1，－1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1).设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝1，得m＝(1，1，1)，所以点B到平面PCD的距离为d＝＝＝.
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(第15题)
(1) 试用a，b，c表示向量 ；
【解答】 ＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2) 若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解答】 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，即|a＋b＋c|＝，所以||＝|a＋b＋c|＝.
16. (15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(第16题)
(1) 求证：BE⊥平面ACF；
【解答】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)，E(0，0，1)，F(2，2，4)，所以＝(－2，2，0)，＝(0，2，4)，＝(－2，－2，1).因为·＝0，·＝0，所以BE⊥AC，BE⊥AF.又因为AC∩AF＝A，所以BE⊥平面ACF.
(第16题答)
(2) 求点E到平面ACF的距离．
【解答】 由(1)知＝(－2，0，1)，为平面ACF的一个法向量，所以点E到平面ACF的距离为d＝＝.
17. (15分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.
(第17题)
(1) 求证：平面BED⊥平面ACD；
【解答】 因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB.又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.因为DE，BE 平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED.又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2) 设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值．
【解答】 如图，连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因为EF 平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC＝AC·EF，当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小．因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2.又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形．因为E为AC的中点，所以AE＝EC＝1，BE＝.因为AD⊥CD，所以DE＝AC＝1.在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，所以BE⊥DE.以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(－1，，0).设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝，则n＝(3，，3).设F(0，a，b)，则由EF⊥BD，知EF·BD＝DE·BE，所以EF＝＝，且(0，a，b)·(0，－，1)＝0，所以b＝a，解得a＝，b＝，所以F.又因为C(－1，0，0)，所以＝，所以cos 〈n，〉＝＝＝.设CF与平面ABD所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝，从而当△AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成角的正弦值为.
(第17题答)
18. (17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且＝λ.
(第18题)
(1) 求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；
【解答】 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，由＝λ得＝＝(2，0，0)＝，＝－－＝(1，1，0)－(0，0，2)－＝.因为＝(0，2，1)，所以·＝0＋2－2＝0，所以无论λ取何值，总有AM⊥PN.
(第18题答)
(2) 当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值．
【解答】 当λ＝1时，P(1，0，2)，所以＝(0，1，－2)，＝(－1，2，－1).平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1).设平面PMN的一个法向量为n1＝(x，y，1)，则故n1＝(3，2，1).设α为平面PMN与平面ABC的夹角，则cos α＝|cos 〈n1，n〉|＝＝，所以平面PMN与平面ABC夹角的余弦值是.
19. (17分)如图，四边形ACDE为菱形，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF＝2FB，点M，N分别在直线CD，AB上．
(第19题)
(1) 求证：CF⊥平面ACDE；
【解答】 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝12，即AB＝2，又AF＝2FB，所以AF＝.因为＝＋，所以2＝2＋2＋·＝.由AC2＋CF2＝4＋＝＝AF2，得CF⊥AC.又因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，CF 平面ABC，所以CF⊥平面ACDE.
(2) 把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC＝60°，MN为异面直线CD，AB的公垂线，求的值；
【解答】 以C为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由∠EAC＝60°，可得∠DCA＝120°，DC＝2，则C(0，0，0)，D(－1，0，)，A(2，0，0)，F，所以＝，＝(－1，0，).设＝λ＝，则N.设＝μ，则M(－μ，0，μ)，＝.由题知即解得λ＝，μ＝－，故＝.
(第19题答)
(3) 记直线BE与平面ABC所成的角为α，若tan α>，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．
【解答】 B(－1，，0)，设∠EAC＝θ，则E(2－2cos θ，0，2sin θ)，＝(3－2cos θ，－，2sin θ)，可取平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，则sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，cos α＝，故tan α＝>，整理得10cos 2θ－9cos θ＋2<0，解得cos θ∈.＝，＝(－2cos θ，0，2sin θ)，＝(－1，，0)，记平面CFD的法向量为 n1＝(x，y，z)，则有即可得 n1＝(sin θ，0，cos θ).记平面BCD的法向量为n2＝(a，b，c)，则有即可得 n2＝(sin θ，sin θ，cos θ).记平面BCD与平面CFD所成的角为γ，则cos γ＝|cos 〈n1，n2〉|＝，又cos θ∈，所以sin 2θ∈，∈，故cos γ＝∈.章检测 第一章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
2. 已知O(0，0，0)，A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则点C的坐标是( )
A. B.
C. D.
3. 若向量a＝(－1，2，－2)，b＝(k，4，5)的夹角的余弦值为，则实数k的值为( )
A. 3 B. －11
C. －3或11 D. 3或－11
4. 设{i，j，k}是空间中的一个单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，那么向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A. (12，14，10) B. (10，12，14)
C. (14，12，10) D. (4，3，2)
5. 已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(3，2，λ)，若a，b，c共面，则实数λ等于( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
6. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
(第6题)
A. 5 B. 8
C. D.
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直径，点G是正方体表面上的一个动点，则·的取值范围为( )
A. [0，8] B. [0，8)
C. [0，4] D. [0，4)
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有( )
A. 与向量a＝(1，－1，1)同方向的单位向量e＝
B. 若对空间中任意一点O，有＝＋－，则P，A，B，C四点共面
C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a＝(9，4，－4)，b＝(1，2，2)，则a在b上的投影向量为(1，2，2)
10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
(第10题)
A. D1D⊥AF
B. A1G∥平面AEF
C. ·(－)＝0
D. 向量与向量的夹角是60°
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，若底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则( )
(第11题)
A. PA⊥BD
B. PB与平面ABCD所成的角为
C. 异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D. 平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，1，2)，则|a＋b|＝3，向量a与b的夹角为 ．
13. 已知l∥α，直线l的方向向量为(a，2，1)，平面α的一个法向量为，那么实数a的值为 ．
14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，若侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点，则直线PB与平面POC所成角的余弦值为 ，点B到平面PCD的距离为 ．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(第15题)
(1) 试用a，b，c表示向量 ；
(2) 若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
16. (15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(第16题)
(1) 求证：BE⊥平面ACF；
(2) 求点E到平面ACF的距离．
17. (15分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.
(第17题)
(1) 求证：平面BED⊥平面ACD；
(2) 设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值．
18. (17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且＝λ.
(第18题)
(1) 求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN；
(2) 当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值．
19. (17分)如图，四边形ACDE为菱形，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF＝2FB，点M，N分别在直线CD，AB上．
(第19题)
(1) 求证：CF⊥平面ACDE；
(2) 把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC＝60°，MN为异面直线CD，AB的公垂线，求的值；
(3) 记直线BE与平面ABC所成的角为α，若tan α>，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．
