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分课时教学设计
第三课时《15.1.2线段的垂直平分线（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课选自人教版八年级上册第15章“轴对称”第1.2节第2课时，是在学生已理解轴对称的定义、掌握线段垂直平分线性质与判定定理后的实操性课程，起到“理论落地”与“知识延伸”的双重作用． 从知识逻辑看，它是对线段垂直平分线“判定定理（与线段两端距离相等的点在垂直平分线上）”的直接应用，将抽象的定理转化为具体的尺规作图步骤；从技能体系看，本节课的作图方法是后续学分线作图、等腰三角形作图、轴对称图形设计的核心基础；从数学思想看，课程通过“假设-分析-操作-验证”的流程，渗透“转化思想”（将“作垂直平分线”转化为“找两点确定直线”）与“演绎推理思想”，为八年级下学期学习几何证明奠定思维基础．同时，本节课也是连接“轴对称性质”与“实际作图应用”的桥梁，让学生体会数学从“理论”到“实践”的转化，培养几何直观与动手能力．
学习者分析 在知识储备方面，学生已学习本章前1课时线段垂直平分线的性质定理与判定定理，明确“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”“与线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，这是本节课尺规作图的核心理论支撑，同时也掌握“两点确定一条直线”的基本几何事实，能理解确定两点即可作直线的逻辑．在技能水平上，学生在七年级已掌握用尺规作线段、角的基础操作，熟悉圆规定半径、作弧及直尺画直线的方法，具备完成基础几何作图的能力，不过在精准控制半径（如确保作线段垂直平分线时半径大于AB）、准确寻找两弧交点，以及针对五角星等图形主动识别对称点以确定对称轴等方面，可能存在操作或分析上的不足，需在本节课中进一步强化与引导．
教学目标 1．会用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线． 2．能用线段的垂直平分线的尺规作图解决简单的作图问题． 3．能够找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 4．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理．
教学重点 线段的垂直平分线的尺规作图．
教学难点 找轴对称图形的对称轴．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线． 2．能用线段的垂直平分线的尺规作图解决简单的作图问题． 3．能够找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 4．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1．说一说什么是轴对称图形？什么是轴对称？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形 .这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 2 ．说一说线段的垂直平分线的性质及判定定理？ 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习轴对称和线段的垂直平分线的相关知识，为探究用尺规作图画线段的垂直平分线做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 分析：由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点．根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点． 作法：如图所示． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD．CD就是线段AB的垂直平分线． 指出：也可以用这种方法确定线段的中点． 思考：学习了线段的垂直平分线的作法，能不能用来作成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴呢？ 预设：由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． 例1：如图，五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． 作法：如图． （1）找出五角星的一对对应点 A 和 A′，连接 A A′ ． （2）作出线段 AA′ 的垂直平分线 l ． 则 l 就是这个五角星的一条对称轴． 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：如图所示，直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图所示． （1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E． 提示：由（1）可知，点C在线段DE的垂直平分线上,因而再作出与D，E距离相等的另一点F，就能得到线段DE的垂直平分线． （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F． （3）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线． 学生活动3： 学生先合作探究，动手操作后班内汇报交流，并认真听老师的点评活动意图说明： 通过操作探究，引导学生用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，并应用作法作轴对称（图形）的对称轴及直线外一点作已知直线的垂线，进一步理解作图原理，让理论知识和实践操作有效结合，提升学生综合运用知识解决问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.1.2线段的垂直平分线（第2课时）一、线段垂直平分线的作法 二、应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 2．如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ） A．9 B．6 C．3 D．12 答案：C 3．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： ． 选做题： 4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为 答案： 【综合拓展类练习】 5．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． (1)的面积为________； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴； (3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使． 解：（1）， 故答案为：； （2）如图，直线即为所求作； （3）如图，即为所求作．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 答案：9 3．请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 解：轴对称图形的对称轴如图； 选做题： 4．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（ ） A．17 B．19 C．20 D．21 答案：B 【综合拓展类作业】 5．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下：
教学反思 本节课围绕线段垂直平分线尺规作图、找对称轴等核心内容展开，多数学生能掌握线段垂直平分线的作图步骤，也能完成过直线外一点作垂线的操作，达成了本课教学目标．但在突破“找轴对称图形对称轴”难点时，部分学生仍难快速识别对称点，尤其面对无标注的五角星，需依赖折叠辅助，说明对“对称点连线垂直平分线即对称轴”的理解还需加强．后续教学可增加复杂轴对称图形的找对称点练习，同时强化作图原理讲解，避免学生仅机械记忆步骤，进一步提升知识应用能力．
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同步探究学案
课题 15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．会用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线． 2．能用线段的垂直平分线的尺规作图解决简单的作图问题． 3．能够找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 4．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理．
重点 线段的垂直平分线的尺规作图．
难点 找轴对称图形的对称轴．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说什么是轴对称图形？什么是轴对称？ 2．说一说线段的垂直平分线的性质及判定定理？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助线段的垂直平分线的性质及判定，研究相关的尺规作图。 思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 分析：由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的______个点．根据与A，B距离相等的点在线段AB的_________线上，可以作出这样的两个点． 作法：如图所示． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD．CD就是线段AB的垂直平分线． 温馨提示：也可以用这种方法确定线段的________． 思考：学习了线段的垂直平分线的作法，能不能用来作成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴呢？ 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的________，所以只要任意找一对______，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的_____． 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对______，作出连接它们的线段的_____________，就得到此图形的对称轴． 例1：如图，五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． 例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：如图所示，直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ） A．9 B．6 C．3 D．12 3．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 选做题： 4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为________. 【综合拓展类练习】 5．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． (1)的面积为________； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴； (3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 3．请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 选做题： 4．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（ ） A．17 B．19 C．20 D．21 【综合拓展类作业】 5．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．
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第十五章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
（第2课时）
1．会用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线．
2．能用线段的垂直平分线的尺规作图解决简单的作图问题．
3．能够找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
4．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理．
1 ．说一说什么是轴对称图形？什么是轴对称？
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形 .这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
2 ．说一说线段的垂直平分线的性质及判定定理？
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．
分析：由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点．根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图所示．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD．CD就是线段AB的垂直平分线．
也可以用这种方法确定线段的中点．
思考：学习了线段的垂直平分线的作法，能不能用来作成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴呢？
由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
（2）作出线段 AA′ 的垂直平分线 l ．
则 l 就是这个五角星的一条对称轴．
例1：如图，五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：如图．
（1）找出五角星的一对对应点 A 和 A′，连接 A A′ ．
l
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
A
A′
分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线．我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点．根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可．
例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：如图所示，直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
由（1）可知，点C在线段DE的垂直平分线上,因而再作出与D，E距离相等的另一点F，就能得到线段DE的垂直平分线．
例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：如图所示，直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：如图所示．
（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E．
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（3）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
D
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
C
【知识技能类练习】必做题：
3．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴．
解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下：
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为______。
【综合拓展类练习】
5．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称．
(1)的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的上方找一点（不与点重
合），画出，使．
解：（2）如图，直线即为所求作；
（3）如图，即为所求作．
作线段的垂直平分线
经过已知直线外一点作这条直线的垂线
作法
作成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴
线段的中点
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ．
9
【知识技能类作业】必做题：
3．请画出图中的各个轴对称图形的对称轴．
解：轴对称图形的对称轴如图；
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（ ）
A．17 B．19 C．20 D．21
B
【综合拓展类作业】
5．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．
解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下：
