北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京市中央民大附中朝阳学校 2025-2026 学年高二上学期 10 月
月考数学试题
一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分。
1．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．在空间中，单位向量唯一
C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同

2．设 x R，向量 a (1, x,1)，b (2, 4,2)， a / /b，则 x （ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

3．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，若 AC1 aAB 2bAD 3cA1A，则 abc的值等于（ ）
1 5 7 1
A． B． C． D．
6 6 6 6
r r
4．已知向量 a 1,1,0 ,b 1,0, 2 ，且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k的值是（ ）
1 3 7
A．1 B． C． D．
5 5 5

5．在四面体O ABC中， 若 AM MB，ON NC，OA a，OB b，OC c，则 NM
（ ）
1 (a b c ) 1 (a
b c) 1 1 A． B． C． (a b c) D． (b c a)
2 2 2 2
6．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E,F分别为 BC， A1D1的中点，则（ ）
A． AF / /EC1 B． AF BC
C．平面 ACF / /平面 A1EC D． EF 与 A1C所成的角大小为60
7．如图，在棱长为1的正四面体 ABCD中，点M ，N分别为棱 BC，AD的中点，则下列命
题正确的个数为（ ）
试卷第 1页，共 4页
1
① AB CD；②MN
2
3 5
③侧棱与底面所成角的余弦值为 ；④直线 AM 与CN 所成角的正弦值为
3 3
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知空间中两条直线 l,m，及平面 ，且满足m ，“ l m ”是“ l ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD是正方形， PA AB，则
下列数量积最大的是（ ）

A．BD PC B． PB PC C． BC PC D．PA PC
10．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ,N分别为 BD1,B1C1的中点， P为正
方体 ABCD A1B1C1D1表面上的动点.下列叙述正确的是（ ）
π
A．当点 P在侧面 AA1D1D上运动时，直线CN 与平面 BMP所成角的最大值为 2
B．当点 P为棱 A1B1的中点时，CN ∥平面 BMP
C．当点 P NC时，满足MP 平面NCP的点 P共有 2个
D 6．当点 P在棱 BB1上时，点 P到平面CNM的距离的最小值为
6
二、填空题：本大题共 5小题，共 25 分。
11．以边长为 2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则
该圆柱的表面积是 ．
试卷第 2页，共 4页
12．如图所示，已知 ，在 与 的交线上取线段 AB 3，且 AC、BD分别在平面
和平面 内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC 1,BD 2，则线段 CD的长为 ．
13．正四棱锥 P ABCD，底面边长为 2，二面角 P AB C为 45 ，则此四棱锥的体积为
14．在空间直角坐标系中，已知长方体 ABCD A1B1C1D1的顶点D 0,0,0 , A 3,0,0 ,B 3,2,0 ，
C1 0, 2, 4 ，则直线 A1B1与平面 ABC1D1之间的距离为 ．
15．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为 BB1的中点，动点 F沿着线段 BC1
从点 B移动到点C1．给出下列四个结论：
① D1FA恒为钝角 ②直线D1F与直线 AB为异面直线
③D1F B1C ④三棱锥 F AD1E 体积为定值
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 2 小题，共 25 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
r r
16．已知向量 a 1,0,1 ,b 2, 2,0 ，求：

(1)2a b；

(2) a , b ；

(3) a 求 与 b的夹角 ．
17．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 1,AA1 2，点 M为CC1的中点．
试卷第 3页，共 4页
(1)求证： AC1 //平面 BDM；
(2)求点 C到平面 BDM的距离．
试卷第 4页，共 4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D B A C B B D
11．16π
12． 2 2
4
13．
3
12
14．
5
15．③④

16．（1）因为向量 a (1,0,1)，b (2, 2,0)，

所以 2a

b 2,0,2 2, 2,0 4, 2,2 .

（2）由题意，向量 a (1,0,1)，b (2, 2,0)，

| a | 12 02 12 2,| b | 22 ( 2)2 02 2 2

（3）因为 a b 1 2 0 ( 2) 1 0 2，

所以 cos
a b 2 1 ，
| a || b | 2 2 2 2
π
由 [0, π]，可得 .
3
17．（1）在长方体 ABCD A1B1C1D1中，令 AC BD F，
则 F为 AC中点，连接MF，
由M 为CC1的中点，得MF //AC1，而 AC1 平面 BDM ，MF 平面 BDM ，
所以 AC1 //平面 BDM .
答案第 1页，共 2页
（2）设点 C到平面 BDM的距离为 h，
长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 1,AA1 2 ,
所以MB BC2 CM 2 12 12 2，
DM DC2 CM 2 12 12 2，
DB DC2 BC2 12 12 2，
S 3 2 1 1所以 2 3 ，又 S△BCD BC DC 1 1 1 BDM ，4 2 2 2 2
由VC BDM V
1 1
M BDC 可得， S△BDM h S△BCD CM ,3 3
1 1
1 3 h 1 1 2
3
即 1，所以 h .
3 2 3 2 3 3
2
故点 C 3到平面 BDM的距离为 .
3
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