第二十四章一元二次方程单元检测试卷（含答案）冀教版2025—2026学年九年级数学上册

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第二十四章一元二次方程单元检测试卷冀教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若是方程 的一个根，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是和
3．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
4．开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，第三天利润是507元．设该文具店的利润日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
6．设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．
7．对于一元二次方程，有以下结论：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．2025
二．填空题（每小题4分，满分20分）
9．已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣10，则它的另一根是　 ．
10．已知方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 　 ．
11．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　 　 ．
12．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　 　 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0，两实数根为a和b，则代数式a2+3b+2020＝　 　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
14．解方程
（1）x2﹣3x﹣5＝0；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
15．已知关于x的方程．
(1)若这个方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一个根，求m的值．
16．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
17．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
19．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值；
(3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1—8：BCABADBC
二、填空题
9．已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣10，则它的另一根是　2　 ．
【解答】解：设另一个根为α，
∴﹣10α＝﹣20，
解得α＝2，
∴它的另一根是2；
故答案为：2．
10．已知方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 　　 ．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
∴．
故答案为：．
11．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　c　 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝32+4c≥0，
解得c，
故答案为：c．
12．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　﹣2　 ．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0，两实数根为a和b，则代数式a2+3b+2020＝　2030　 ．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0两实数根为a和b，
所以a+b＝3，a2﹣3a﹣1＝0，
则a2+3b+2020＝a2﹣3a+3（a+b）+2020＝1+3×3+2020＝2030．
故答案为：2030．
三、解答题
14．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29，
∴x，
∴；
（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x+2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
15．【解】（1）解：
∴
∵这个方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一个根，
∴
解得：，
当时，原方程为
解得：
∴或．
16．【解答】解：（1）设通道的宽是x米，
由题意得，（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196，
整理得，4x2﹣160x+304＝0，
解得x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去），
答：通道的宽是2米．
（2）设每个车位的月租金上涨y元，
由题意得，，
解得y1＝40，y2＝400，
又∵能优惠大众，
∴y＝40，
答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元．
17．【解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，
，
该方程不是邻近根方程；
（2）解：设该方程的两个根分别为，，且，
该方程是邻近根方程，
，
，
，
解得，
，
的值为2．
18．【解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴，解得：，
∴，解得：．
19．【解】（1）解：中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程，
，
其中是完全平方数，且为整数，且，
或，
当时，，
当时，，
是完全平方数，不是完全平方数，
；
（3）解：一元二次方程的快乐数为：
，
一元二次方程的快乐数为：
，
两个方程的快乐数相等，
，
整理得：，
左边分解因式得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
要取最小值，
当，时有最小值，最小值为，
此时，，
，
不符合题意，
当，或，时，有最小值，
最小值为，
当，时，
方程中，
方程中，
是完全平方数，
符合题意；
当，时，
方程中，
方程中
是完全平方数，
符合题意．
的最小值是．
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