第二十二章二次函数单元复习检测试卷（含答案）人教版2025—2026学年九年级数学上册

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第二十二章二次函数单元复习检测试卷人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
2．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若拋物线经过，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．关于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a是常数且a＞0），下列说法正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．对称轴为直线x＝﹣1
C．函数图象与x轴没有交点
D．在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小
7．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
8．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③方程cx2+bx+a的两个根为x1，x2；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ．
10．如果抛物线与抛物线关于x轴对称，那么 ， ．
11．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ．
12．已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴正半轴交于点．
(1)求的坐标；
(2)若点在此抛物线上，求的值．
14．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，它的图像如图如示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若商场销售该服装获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？
(3)若商场要使获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
15．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的面积．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点，在抛物线上，其中，
①若的最小值是，求的最大值；
②若对于都有，直接写出t的取值范围．
17．已知二次函数，点．
(1)若点P在二次函数的图象上，求m的值；
(2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标；
(3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围．
18．如图，已知二次函数经过点，，与轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．
(1)求该二次函数的解析式及点B的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点E的坐标．
参考答案
一、选择题
1—8：CBCABDCB
二、填空题
9．【解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴二次函数为，
∵，在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
由方程可得，，
∵点为二次函数图象上的点，
∴是方程的一个解，
即为方程的一个解，
设方程的另一个解为，
由可得，，
∴方程的另一个解为，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
10．【解】解：∵抛物线与抛物线关于x轴对称，抛物线的顶点为，
∴两抛物线开口大小不变，方向相反，顶点关于x轴对称，坐标为，
∴，
故答案为：，．
11．【解】解：∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的表达式为．
故答案为：．
12．【解】解：当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
抛物线与轴的交点之间的距离为，
二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
每相邻两点间的距离都为1，
平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
平移后的抛物线解析式为，
即，
抛物线向上平移个单位所得的抛物线解析式为，
．
故答案为：4．
三、解答题
13．【解】（1）解：当时，即，
，
当时，，
解得，
；
（2）解：∵点在此抛物线上，
∴
∴，
过点作轴，交于点，
设的函数解析式为，
将代入，
，
解得，
故的函数解析式为，
∴，
∴，
∴．
14．【解】（1）解：设与的函数关系式为（） ，
由题意得，
两式相减：，解得．
将代入：，解得．
又∵成本为60元，获利不超45%，
∴，且，
故与的函数关系式为（）．
（2）解：由利润公式得
将代入：
整理为顶点式：
∵，二次函数开口向下，对称轴为，
又∵，
∴随增大而增大
当时，
答：利润与的关系式为（），销售单价定为87元时，商场可获最大利润．
（3）解：令，即，
整理得，
因式分解：，
解得．
又∵，
∴取交集得．
答：销售单价的范围是．
15．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为，
设二次函数的解析为，
把代入解析式，
得，
解得，
所以，；
（2）解：令，则，
解得或，
，
．
16．【解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵，
∴当时，有最小值，
∵的最小值是，
∴，
∴，，
∵，，，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为12；
②当时，，
∵，，，
∴当时，有最大值，
∵对于都有，
∴，
解得或；
∴t的取值范围为或．
17．【解】（1）解：∵点P在二次函数的图象上，
∴，
解得；
（2）∵点．
∴点P所在的直线为，
联立得到，
则，
∵点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点，
∴，
解得；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵Q为抛物线对称轴上一点，
∴轴，
设，
∴为矩形的对称中心，
∴,轴，轴，
∴，
∴，
①当时，如图①，
∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点，
∴抛物线与y轴的交点在点M的上方即可，
在中，
当时，，
∴，即
解得或（不合题意，舍去），
②当时，如图②，同理可知，抛物线与y轴的交点在点N的上方即可，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
综上可知，或．
18．【解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
解得，
∴，
令，则，
即，
解得，，
∵,
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得，
所以，直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
则，，
∵，
∴，即，
解得，（舍去）
当时，=4，
所以，点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
又，
∴，
设点的坐标为，
在中，边上的高为，
∴，
即，
当时，，
解得（舍去），，
∴此时点的坐标为；
当时，，
解得，，
∴此时点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．
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