江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025-2026学年江苏省南京市第一中学高二上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足| 1| = 2， 在复平面内对应的点为 , ，则( )
A. ( 1)2 + 2 = 2 B. 2 + ( 1)2 = 2
C. ( 1)2 + 2 = 4 D. 2 + ( 1)2 = 4
2.已知直线 1: 2 + 1 = 0， 2: 2 + 1 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 的值为( )
A. 1 B. 12 C.
1
2 D. 2
3.已知椭圆 2 + 2 = 5 的一个焦点是(0,2)，那么 =( )
A. 59 B.
9
7 C. 5 D.
5
3
4.如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，则该
几何体的体积为：( )
A. 5 B. 6 C. 20 D. 10
5 5 .已知向量 ， 满足 = 1， = 3，且 与 的夹角为 6，则 +
2 =( )
2
A. 3 B. 3 1 12 2 C. 2 D. 2
6.口袋中装有编号为①、②的 2 个红球和编号为①、②、③、④、⑤的 5 个黑球，小球除颜色、编号外形
状大小完全相同，现从中取出 1 个小球，记事件 为“取到的小球的编号为②”，事件 为“取到的小球是
黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 6与 互斥 B. 与 对立 C. ( + ) = 7 D. ( ) =
6
7
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有
两个点 1, 1 ， 2, 2 ， 为坐标原点，定义余弦相似度为 cos , = cos , ，余弦距离为 1
cos , .已知 cos , sin 1， 3, 1 ，若 ， 的余弦距离为3，则 cos 2 +

3 =( )
A. 7 B. 1 C. 1 D. 79 9 9 9
8.已知圆 的方程为 2 + 2 = 16，直线 为圆 的切线，记 2,0 , 2,0 两点到直线 的距离分别为 1, 2，
动点 满足 = 1, = 2，则动点 的轨迹方程为( )
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2 2 2A. 2 + 2 = 4 B. + = 1 C. 2 + 2 = 12 D. +
2
16 12 8 4 = 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.直线 = 3 + 2 ∈ 必过定点 3,2
B.直线 = 3 2 在 轴上的截距为 2
C.直线 3 + 1 = 0 的倾斜角为 60°
D.过点 1,2 且平行于直线 2 + 3 = 0 的直线方程为 2 + = 0
10.若直线 = + 与曲线 = 1 2恰有一个公共点，则下列 的值能够满足条件的有( )
A. = 12 B. = 1 C. = 1 D. = 2
11.在 中，满足 2 + 2 = 1，则下列说法正确的是( )
A. tan tan =± 1
B. tan = cos cos
C. sin2 +sin2 +sin2 sin cos cos = 4
D. 2若 ， 为不同象限角，则 tan + + tan +tan 的最大值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 过点 3, 1 ，则 被圆 : ( 2)2 + ( + 3)2 = 9 所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程
是 ．
13.已知∠ = 90 ， ⊥平面 ，若 = = = 1，则四面体 的外接球(顶点都在球面上)
的体积为 ．
14.已知椭圆 的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，直线 2与 相交于另一点 .当 cos∠ 1 最小时，
的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)已知直线 = 33 1 的倾斜角为 ，另一直线 的倾斜角 = 2 ，且过点 2, 1 ，求 的方程．
(2)已知直线 过点 2,3 ，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求直线 的方程．
16.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 3sin 2 2 2 = 1．
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(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3， 为 边上的一点， = 3，且 是∠ 的平分线，求 的周长．
17.(本小题 15 分)
已知在平面直角坐标系 中，点 0,3 ，直线 : = 2 4.设圆 的半径为 1，圆心在直线 上．
(1)若圆心 也在直线 = 1 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；
(2)若圆 上存在点 ，使 = 2 ，求圆心 的横坐标 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，三棱台 — 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = 45°， = 2 ．
( )证明： ⊥ ；
( )求 与面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 ( > 0 且 ≠ 1)，那么点 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗
尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知 ( 1,0), (0, 2)直线 1: + 2 + 3 = 0，直线 2: + + 3 +
2 = 0，点 为 1和 2的交点．
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)点 为曲线 与 轴正半轴的交点，直线 交曲线 于 ， 两点， 与 ， 两点不重合，直线 、 的斜
1
率分别为 1、 2，且 1 2 = 2，证明直线 过定点，并求出该定点；
(3) 3 1当点 在曲线 上运动时，求2 | | + 2 | |的最小值．
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参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. + 2 1 = 0
13. 3 2
/ 32
14. 33
/13 3
15.(1)直线 = 3 3 1 的倾斜角 = 6，则 = 2 = 3，
于是得直线 的斜率 = tan = 3，而直线 过点 (2, 1)，则 + 1 = 3( 2)，整理得 3 2 3
1 = 0，
所以直线 的方程是： 3 2 3 1 = 0．
(2)依题意，直线 的斜率存在且不为 0，设其方程为： 3 = ( + 2)，
则直线 交 轴于 ( 2 3 , 0)，交 轴于 (0,3 + 2 )，
1 1 3
于是得 面积 = 2 | | | | = 2 |2 + | |3 + 2 | =
1
2 |12 + 4 +
9
| = 4，
即 12 + 4 + 9 = 8 或 12 + 4 +
9
= 8，方程 12 + 4 +
9
= 8，即 4
2 + 4 + 9 = 0，无解，
12 + 4 + 9解 = 8，即 4
2 + 20 + 9 = 0 1 9，得 = 2或 = 2，
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= 1 9当 2时，直线 方程是： + 2 4 = 0，当 = 2时，直线 方程是：9 + 2 + 12 = 0，
所以直线 的方程是： + 2 4 = 0 或 9 + 2 + 12 = 0．
16.(1)因为 3sin 2 2 2 = 1，可得 3sin 1 cos = 1

，可得 sin + 6 = 1，
因为 ∈ 0, ， + ∈ 7 6 6 , 6 ，所以 + 6 = 2，可得 = 3．
(2)由 平分∠ 得： △ = △ + △ ，
1
即2 sin

3 =
1
2 × 3 sin
1
6 + 2 × 3 sin 6，即 = 3 + ，
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 3，
即 2 + 2 = 12，两式联立可得 + = 4 3，
所以 的周长为 + + = 4 3 + 2 3 = 6 3．
17. = 2 4(1) = 3联立 = 1 ，解得 = 2，即圆心 3,2 ，所以，圆 的方程为 3
2 + 2 2 = 1．
若切线的斜率不存在，则切线的方程为 = 0，此时直线 = 0 与圆 相离，不合题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为 = + 3，即 + 3 = 0，
3 +1 3
由题意可得 = 1，整理可得 4 2 + 3 = 0，解得 = 0 或 ．
2+1 4
所以切线方程为： = 3 或 3 + 4 12 = 0．
(2)设圆心 的坐标为 , 2 4 ，则圆 的方程为 2 + 2 4 2 = 1，
设点 , ，由 = 2 可得 2 + 3 2 = 2 2 + 2，整理得 2 + + 1 2 = 4，
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由题意可知，圆 与圆 2 + + 1 2 = 4 有公共点，所以 1 ≤ 2 + 2 3 2 ≤ 3，
5 2 12 + 8 ≥ 0 12
即 2 ，解得 0 ≤ ≤ ．5 12 ≤ 0 5
0, 12所以，圆心 的横坐标 的取值范围是 5 ．
18.( )[方法一]：几何证法
作 ⊥ 交 于 ，连接 ．
∵平面 ⊥平面 ，而平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，即有 ⊥ ．
∵ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ = 2 = 2 = 2 ．
在 中， 2 = 2 + 2 2 cos45 = 2，即有 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ．
由棱台的定义可知， // ，所以 ⊥ ， ⊥ ，而 ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，∴ ⊥ ．
[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法
作 ⊥ 交 于 ．
∵平面 ⊥平面 ，而平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示．
设 = 1，∵ ∠ = ∠ = 45 ， = 2 = 2，
∴ = 22 ，∴ 0,0,1 , 0,1,0 ,
1 , 12 2 , 0 ，
∴ = 12 ,
1
2 , 1 ，
= 1 12 , 2 , 0 ，
= 1 14 4 = 0，
∴ ⊥ ，又∵棱台中 // ，∴ ⊥ ；
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[方法三]：三余弦定理法
∵平面 ⊥平面 ，∴ cos∠ = cos∠ cos∠ = cos45 cos45 = 12，
∴ ∠ = 60 ，
又∵ = 2 ．
∴ ∠ = 90 ，即 ⊥ ，
又∵ // ，∴ ⊥ ．
( )[方法一]：几何法
因为 // ，所以 与平面 所成角即为与 平面 所成角．
作 ⊥ 于 ，连接 ，由(1)可知， ⊥平面 ，
因为所以平面 ⊥平面 ，而平面 ∩平面 = ，
平面 ，∴ ⊥平面 ．
即 在平面 内的射影为 ，∠ 即为所求角．
= = 2 = = 2 2在 中，设 ，则 ， ， 3 = 3
∴ sin∠ = 1 3 = 3 = 3 ．
故 与平面 3所成角的正弦值为 3 ．
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[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法
设平面 的法向量为 = , , ，
( ) = 1 , 1由 得 2 2 , 1
1 1
， = 2 , 2 , 0 ，
1 12 2 + = 0∴ ,令 = 1，则 = 1， = 2， = 1,1,1 ，
1 12 + 2 = 0
= 0,1,0 ，cos , = 1 31+1+1 1 = 3 ，
由于 // ，∴直线 3与平面 所成角的正弦值为 3 ．
[方法三]：空间向量法
以{ , , }为基底，
不妨设 = 2 = 2，则
= 3, = 2, ∠ = 45 , ∠ = 45 , ∠ = 60 (由( )的结论可得)．
设平面 的法向量为 = + + ，
2 + + 4 = 0,
则由 得 + + = 0, 取 = 1，得 = 3 + 2 + ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角也为 ，
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由公式得 sin = | | 2 3
|
= 2 6 = ． || | 3
[方法四]：三余弦定理法
由∠ = ∠ = 45 ，
可知 在平面 的射影 在∠ 的角平分线上．
设直线 与平面 所成角为 ，则 与平面 所成角也为 ．
由由( )的结论可得∠ = 60 ，
由三余弦定理，得 cos45 = cos30 cos ，
cos = 63 从而 sin =
3
3 ．
[方法五]：等体积法
设 到平面 的距离为 ，
设 = 1 2 6，则 = 1, = 2, = 2 , = 2 ，
设直线 与平面 所成角为 ，由已知得 与平面 所成角也为 ．
1 1 2 1 1 2由 = ，3 × 2 × 2 × 2 sin60 × = 3 × 2 × 1 × 2 sin45 × 1，
3
= 3 3求得 3 ，所以 sin = =
3
1 = 3 ．
19.(1)当 = 0 时， 1: 3 = 0, 2: + 2 = 0，此时 1 ⊥ 2，交点为 ( 2,3)
当 ≠ 0 时，由 1: + 2 + 3 = 0，斜率为 ，
由 2: + + 3 + 2 = 0
1
，斜率为 , ∴ 1 ⊥ 2，综上， 1 ⊥ 2．
直线 1恒过 ( 2,3)，直线 2恒过 ( 2, 3)，若 为 1, 2的交点，则 ⊥ ，设点 ( , )，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆，
又因为当 = 2, = 3 代入 1方程得到 6 = 0 不成立，所以点 的轨迹不包含点 ．
则圆心为 的中点 ( 2,0) = | |，圆的半径为 2 = 3，
故 的轨迹方程为( + 2)2 + 2 = 9( ≠ 3)
(2) (1,0)，设 1, 1 , 2, 2 ，
当斜率存在时，直线 的方程为 = + ，故
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1 = 2 1 2 1 + 2 + 1 2 1 1
=
2 1 1 2 1 + +1
=
2 1 2 1 + 2 +1
2 + + 2
= 1 2 1 2
+
,1 2 1 + 2 +1
= +
将直线方程与圆的方程进行联立 ( + 2)2 + 2 = 9 ,
整理得： 1 + 2 2 + (2 + 4) + 2 5 = 0，
4+ 2 2 5
∴ 1 + 2 = 2 , 1 2 =1+ 1+ 2

2 5 2 4 1
将其带入 1 2中可得： 1 2 = 2+2 + 2 = 2，
化简得 3 2 6 9 2 = 0，
∴ = 3 或 = ，
由于 与 ， 不重合，则直线 的方程为 = + 3 = ( + 3)恒过定点( 3,0)；
当直线 的斜率不存在时，
1 2 2
设 1, 1 , 1, 1 , 1 = 2, 1 2 = 2，则 1 = 2 , 2 = 2 ，
故可得 ( 3,2 2), ( 3, 2 2)，即则直线 : = 3，仍恒过定点 3,0 ，
综上可得，则直线 恒过定点 3,0
(3) ( 1,0), (0, 2)，易知 、 在该圆内，
又由题意可知圆 上一点 (1,0)满足| | = 2，取 (7,0) ，则| | = 6，满足 1 = 3．1
| |
下面证明任意一点 1( , )，都满足 2 2| | = 3，即| | = 3| |，3| | = 3 ( + 1) + =
3 ( + 1)2 + 9 ( + 2)2 = 3 2 + 6
| | = ( 7)2 + 2 = ( 7)2 + 9 ( + 2)2 = 18 + 54 = 3 2 + 6
即 3| | = | |，所以 3| | + | | = | | + | |, | | ≤ | | + | |
| | = (0 7)2 + ( 2 0)2 = 51，即当且仅当 ， ， 三点共线，且 位于 ， 之间时，等号成立．
3
即2 | | +
1 51
2 | |的最小值为 2 .
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