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2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教（2024）版八年级上册第1~3章（三角形+特殊三角形+一元一次不等式）
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意；
B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意；
C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确理解题意是解题的关键．根据题意，利用证明，即可求解．
【详解】解：由题意得，在和中，
∵，
∴，
∴，即就是的平分线，
∴用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是，
故选：B．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图：
．
故选：C．
4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，过点D作于E，由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
由作图方法可知，平分，
∵，，
∴，
∴点到的距离为3，
故选：C．
5．如图，在中，是的角平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线、三角形的高等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线可得的度数；利用是高可得可求得度数，然后由即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴ ，
∵是边上的高线，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．（新情境 生活实践）某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，
此时所需彩带的长度最短，
∴；
故选C．
7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
先求出 ，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答．
【详解】解：由得，
∵关于x的不等式的解集为，
∴ ，
解得，
∴，
∴关于x的不等式，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
8．在中，， ，点D在边上，，点E，F在线段 上，，若的面积为2，的面积为18，则的面积为（ ）．
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角和定理以及三角形的面积关系，解决本题的关键是证明与全等得到三角形面积的关系．
先由角边角的证明方法证明与全等，可得，再根据面积之间的关系求解即可．
【详解】解：∵，，，
又，
∴，，
又∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点D在边上，，
则，，
又的面积为18，
∴，，
∵的面积为2，
∴，
∴，
则的面积为8．
故选：B ．
9．如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于的对称点为M，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值．
【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高，
∵平分，
∴M必在上，
∵F关于的对称点为M，
∴，
∴，即 (垂线段最短)，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为5．
故选：B
10．（新情境 古代数学）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可．
【详解】解：如图，
，，
阴影部分面积，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
，，
，
阴影部分面积
，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，则 ．
【答案】60
【分析】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据三角形的内角和解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为： 60．
12．若关于的不等式的解集是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，正确求得值是解答的关键．先根据已知不等式的解集求得，然后代入所求式中即可求解．
【详解】解： ，
，
关于的不等式的解集是，
，
解得，
，
故答案为：．
13．如图，在中，平分，，若，，则的周长是 ．
【答案】6
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质．根据平行线的性质和等量代换得到，则，进一步即可求出答案．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为：6．
14．（新情境 跨学科类）光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了镜面对称，三角形内角和定理，根据镜面反射原理，入射角等于反射角得出，，，根据三角形内角和是，即可求解．
【详解】解：如图：分别过入射点做垂线，根据结合反射定律可知，，，
故，，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
15．如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算．
由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案．
【详解】解：是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
，
故答案为：．
16．（新情境 生活实践）某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，审清题意、根据等量关系或不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．先设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元，根据“购买3个足球和2个篮球共需元；购买2个足球和5个篮球共需元”列二元一次方程组求解，再设购买个篮球，则购买个足球，然后根据不等关系“购买足球和篮球的总费用不超过元”列出不等式，求出解集，最后得到相应整数解．
【详解】解：设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元，
根据题意，得，
解得，
即购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元；
设购买个篮球，则购买个足球，
根据题意列不等式，得
解不等式，得，
为整数，
最多是．
故答案为：．
17．当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 °．
【答案】或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键．根据“倍角三角形”的定义，结合分类讨论的数学思想进行计算即可．
【详解】解：由题知，因为这个三角形是“倍角三角形”，有一个内角为，且为倍角，
则，
此时，故符合题意；
当，此种情况不符合题意；
当时，此时另外两个角分别为和，此种情况符合题意，
综上所述，倍角的度数是或．
故答案为：或．
18．如图，在中，，在
中，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点P和点Q的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点P和点Q的位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：设运动的时间为，
当时，即点P在上，如图，
若，
则，
，
；
若，
则，
，
；
当时，即点P在上，
若，
则，
，
；
若，
则，
，
；
当时，即点P在上，
此时，
不存在和全等，
综上所述，点Q的运动速度为或或．
三、解答题
19．（8分）解不等式（组），并将解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项得，把解集在数轴上表示出来，即可作答．
（2）分别解出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，并把解集在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴先去括号，得，
∴移项得，
∴合并同类项得，
把解集在数轴上表示出来，如图所示：
（2）解：，
∴解不等式，得，
∴解不等式，得，
不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示出来，如图所示：
20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E．
(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【详解】（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为即,
；
（2），
，
，
，
．
21．（8分）如图，为锐角三角形．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹
(2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．
（1）根据题中步骤作图；
（2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：由作图得：垂直平分，
，
的周长为10，即：，
的周长为：，
所以的周长为．
22．（新情境 生活实践）（10分）某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．
(1)现有A原件162个，B原件340个．若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x个．
① 根据题意，完成下面表格：
C（件） D（件）
A个 x
B个
② 按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？
(2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完．已知，求a的值．
【答案】(1)①见解析；②C产品38个，D产品62个；C产品39个，D产品61个；C产品40个，D产品60个；
(2)，，303
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件，进行解答即可；
②根据A原件162个，B原件340个列出不等式组，解不等式组即可
（2）设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得出：，求出，根据为正整数，，即可得出答案．
【详解】（1）解：①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据题意得：
C产品需要A件x个，需要B件个，D产品需要A件个，需要B件个，填表如下：
C（件） D（件）
A个 x
B个
②∵现有A原件162个，B原件340个，
∴，
解得：，
∴组装方案有：C原件38个，D原件62个；
C原件39个，D原件61个；
C原件40个，D原件60个；
（2）解：设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得：
，
得：，
∴，
∵为正整数，，
∴，，303．
23．（新情境 数学文化）（10分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：．
【结论运用】
（2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元.
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点.
（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解；
（2）由，根据勾股定理得，求解即可；
（3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解.
【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴．
（2）∵的长比的长大2，
∴，
∴，
解得：．
（3）如图所示，过点作于，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，则，
解得，
∴，
解得，
∴．
∴学校修建这个花园需要投资：(元)，
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
24．（新情境 新定义问题）（10分）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
(1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
(2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围；
(3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解．
【答案】(1)②③
(2)
(3)整数解一共有6个，分别是
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可；
（2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可；
（3）先求出不等式组的解集为，再结合“偏解方程”的定义，可得b得取值范围为，从而得到当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，即可求解．
【详解】（1）解：，解得：，
①当时，，则不能使成立，
∴方程不是不等式的“偏解方程”；
②当时，，则能使成立，
∴方程是不等式的“偏解方程”；
③当时，，则能使成立，
∴方程是不等式组的“偏解方程”；
故答案为：②③
（2）解：
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵方程组是不等式的“偏解方程组”，
∴，
解得：；
（3）解：解方程得：，
∵不等式组有解，
∴，且，
∴，
∵关于的方程是不等式组的“偏解方程”，
∴，
解得：，
综上，b得取值范围为，
∵不等式组的解集为，
当时，，
∴当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，
此时不等式组的解集为，含有最少整数解．
此时整数解一共有6个，分别是．
25．（12分）如图1，在中，，，点E为上一点，连接，过点C作，交延长线于点D，连接，过点A作交于点G．
(1)求证：
(2)如图2，连接，取中点H，连接，求证：：
(3)如图3，将沿折叠至，连接，将绕点C逆时针旋转至，连接交所在直线于点F，当取得最小值时，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会通过一边一角相等构造全等是解题的关键．
（1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明；
（2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明；
（3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时由，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
（2）证明：∵中点是，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作，并且使，连接，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由翻折知，
可知是定值，
由中，，，是定值，
则斜边是定值，
由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教（2024）版八年级上册第1~3章（三角形+特殊三角形+一元一次不等式）
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
2．如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的角平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．（新情境 生活实践）某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，， ，点D在边上，，点E，F在线段 上，，若的面积为2，的面积为18，则的面积为（ ）．
A．6 B．8 C．9 D．12
9．如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（新情境 古代数学）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，则 ．
12．若关于的不等式的解集是，则 ．
13．如图，在中，平分，，若，，则的周长是 ．
14．（新情境 跨学科类）光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ．
15．如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为 ．
16．（新情境 生活实践）某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球．
17．当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 °．
18．如图，在中，，在
中，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ．
三、解答题
19．（8分）解不等式（组），并将解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
20．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E．
(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
21．（8分）如图，为锐角三角形．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹
(2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？
22．（新情境 生活实践）（10分）某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．
(1)现有A原件162个，B原件340个．若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x个．
① 根据题意，完成下面表格：
C（件） D（件）
A个 x
B个
② 按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？
(2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完．已知，求a的值．
23．（新情境 数学文化）（10分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：．
【结论运用】
（2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
24．（10分）（新情境 新定义问题）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
(1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
(2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围；
(3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解．
25．（12分）如图1，在中，，，点E为上一点，连接，过点C作，交延长线于点D，连接，过点A作交于点G．
(1)求证：
(2)如图2，连接，取中点H，连接，求证：：
(3)如图3，将沿折叠至，连接，将绕点C逆时针旋转至，连接交所在直线于点F，当取得最小值时，直接写出的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
