灌南县惠泽高级中学 2025～2026 学年第一学期第一次月考
高一数学试题
注意事项：
1.考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．请用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 ，则集合 真子集的个数为 ．
A. 8 B. 7 C.6 D. 5
2．设全集 ， ，则 为 （ ）
A． B． C． D．
3. 设 是函数 的两个零点，则 的值为 （ ）
A．2 B. C. D.
4. 命题甲： 是命题乙： 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.不等式 的解集是 ，则 的值是 ( )
A. B. 3 C. D.
6.若命题 是假命题，则实数 的取值范围是 ．
A. B. C. D.
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7. 已知 ， ，若 ，则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8. 若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 取值范围中整
数值的个数为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的有 ( )
A. 命题“ ， ”是真命题
B. 命题“若 ，则 ”是真命题
C. “ ”是“ ”的必要且不充分条件
D. 设 ， ，则“ 且 ”的充分且不必要条件是“ ”
10. 下列结论正确的是 （ ）
A. 当 时， B. 的最小值为 2
C. 当 时， D. 的最小值为 2
11. 关于 的不等式 的解集为 ，下列说法正确的是
（ ）
A. 不等式 的解集为
B.
C. 的最大值为
D. 关于 的不等式 解集中仅有两个整数，则 的取值范围是
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____.
13. 若集合 ，则 ．
14.已知 ，满足 ，求 的最小值___________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知集合 ， 或
当 时，求
若 是 的子集，求 的取值范围．
16. 本小题 分
已知命题 ：函数 在 上有零点；
命题 ，使得 成立.
（1）若 和 均为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 中恰有一个是真命题，求实数 的取值范围.
17.（本小题 15 分）
已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
求 和 的值；
求不等式 的解集．
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18. 本小题 分
已知一矩形纸片 的周长为 ，如图，将 沿 向 折
叠， 折过去后交 于点 ．
证明： ．
若改变 的长度 矩形的周长保持不变 ，设 ， 的面积为 .
①.试用 表示面积 ；
②. 是否存在最大值 若存在，求出其最大值 若不存在，说明理由．
19. 本小题 分
若至少由两个元素构成的有限集合 ，且对于任意的 ， ，都有
，则称 为“ 集合”．
判断 是否为“ 集合”，说明理由
若双元素集 为“ 集合”，且 ，求所有满足条件的集合
求所有满足条件的“ 集合”．
第 3 页，共 4 页灌南县惠泽高级中学 2025～2026 学年第一学期第一次月考
高一数学试题参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1. B 2．B 3. D 4. A 5. C 6. A 7. D 8. D
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。
9. BC 10.AC 11.BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13.6 14.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
15.（本小题 13 分）
解： 当 时， ， ，
故
由于 是 的子集，
当 时，则 ，解得 ，满足 是 的子集 9 分
当 时，则满足 解得 ；-------12 分
综上所述， ，即 的取值范围为 ． -----13 分
16. 本小题 分
解（1） --7 分
（求出 p 为真,q 为真分别给 3 分）
（2） --15 分
（分两种情况，每种情况分别给 3 分）
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17.（本小题 15 分）
解： 由题意知 和 是方程 的两个根，
由根与系数的关系，得 ，解得 ；--6 分
由 、 ，不等式可化为 ，
即 ，
则该不等式对应方程 的实数根为 和 ，--8 分
当 时， ，不等式的解集为 ，--10 分
当 时， ，不等式的解集为空集，--12 分
当 时， ，不等式的解集为 ，--14 分
综上：当 时，解集为 ；当 时，解集为空集；当 时，解集为
． --15 分
18. 本小题 分 解： 证明：设 折叠后点 变成 ，在 与 中，
因为 ， ，所以 ．
因为 ， ，所以 D.
又 ，所以 ，所以 ．
--4 分
由题意可知矩形 的周长为 ．
设 ， ，则 ， ， ．
因为 为直角三角形，所以 ，解得 ，
从而 ，所以 ，
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( )---11 分
，
---14 分
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ， ，
满足 ，--16 分
故当 时， 的面积取得最大值，最大值为 ．--17 分
19. 本小题 分
解： 因为 ，所以 不是“ 一集合”；--3 分
设 ， ，若 ，则 或 ，
由 ，解得 ， 舍去 将 化简为 ，
因为 ，所以 无正整数解；--6 分
若 ，则 或 ，由 ，解得 ，
同理 无正整数解。---9 分
故所有满足条件的集合 为 ， ；---10 分
若“ 集合”为双元素集，仿照 的讨论有“ 一集合”为 ，其中 ，
若“ 集合”含有两个以上的元素，设最小的元素为 ，最大的元素为 ，第二大的元素为
，则 ， 是“ 一集合”中的元素，所以 ，解得 ；-12 分
若 ，则 ，矛盾，所以 ，而方程 的解为 ，
则 ， 不可能同时为整数，无解，--14 分
故所有满足条件的“ 集合”为 ，其中 ．-17 分
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