江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试卷（含答案）

江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合满足，则
A. B. C. D.
2.若，则
A. B. C. D.
3.下列函数与函数的图象相同的是
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.已知，，则的最小值为
A. B. C. D.
6.若是正方体的面上的一个动点，则下列结论不可能成立的是
A. B. C. D.
7.在平面四边形中，已知，，则的外接圆的直径长度为
A. B. C. D.
8.已知，，，其中为自然对数的底数，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.记的内角的对边分别为，若，的面积为，，则
A. B.
C. D.
11.已知函数，则
A.
B. 是的极值点
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若两个平行平面之间的距离为，一条直线与这两个平面分别交于两点，线段与其中一个平面所成角为，则的长度为 ．
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
14.若对于，总，使得，则实数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，，求；
若在上是增函数，求的取值范围．
16.本小题分
已知偶函数与奇函数的定义域均为，．
求函数，的解析式；
若在上有个不同的零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面；
设为棱上一点，若平面与平面的夹角的正弦值为，求．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知．
求．
若在上，平分．
若，求；
若在上，平分，且，求．
19.本小题分
若函数在处取得极值，求实数的值；
已知，求证：对于任意，；
若是关于的方程的两个不等实根，求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：由题意得，，两边平方得：
因此，
又因为，所以，
所以
因为，
令，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为在上递增，
所以，即，
由于，
所以．
16.解：因为，，
且，
所以
联立，解得，；
由得，，，
设，则可以化为，
因为在上单调递增，
所以，所以在上有两个不同零点
当，即时，在上递增，
因为，所以不满足存在两个零点
当，即时，因为在上递减，在上递增，
所以，解得，
综上，．
17.解：证明：因为，，所以，
因为，所以，
在中，，，，
所以，则，即，
所以
因为平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面
如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，
所以，，，
设，，
所以，．
因为，，
设平面的一个法向量，所以即
不妨取，则
平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角的正弦值为，
所以，，
解得，所以．
18.解：依据正弦定理，
所以等式可化为
，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，即．
因为平分，所以．
因为，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
，即，
所以或，
当时，，即，此时
当时，，即，此时．
综上，或．
因为平分，所以，
在，中，，，
所以，即，所以，
同理，．
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
化简得．
由余弦定理，
所以，
即，
所以，
因为，所以，则，
所以．
由正弦定理得，，即，
因为，，且，所以，
所以．
19.解：因为，
因为，所以，即．
当时，，
所以，，，，
所以满足在处取得极值．
证明：因为，所以，
所以当时，恒成立．
要证任意，，
即证：，
设，
因为，
令，则时，，
所以在递增，即，
所以在递减，
所以，即证．
证明：由题意，
设，所以，
因为有两个零点，故，
所以在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
由得，令，，，
所以，，
所以，
化简得，
同理，
，，
因为，所以，
所以，
即证．
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