人教A版高中数学选修2-1：2.4.1 抛物线的标准方程”教学设计

抛物线的标准方程
（教学设计）
高中数学
（人教A版）选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中的“抛物线”第一课时
抛物线的标准方程
教材分析：
抛物线是圆锥曲线中比较特殊的一种，学生对此应该较为熟悉，因为以前学过的形如（a≠0）的图像即是一种常见的抛物线。本节内容在教材体系中具有重要的基础性作用，在现实生活中也有十分广泛的应用，是学好数形结合法的重要素材。
依据本节内容，我准备将其分为两个课时来完成。第一课时主要是理解并掌握抛物线的定义及其标准方程；第二课时是在第一课时的基础上深入地探讨抛物线的简单性质。在这里，我对第一课时进行了教学设计。
三维教学目标：
知识目标：
掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义。
能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。
能力目标：
通过对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法—坐标法。
通过引导启发，让学生的空间想象能力，分析问题、解决问题的能力有进一步地提高。
情感、态度、价值观目标：
通过本节的学习，体验解析几何的基本思想，让学生感受数学的形态美、和谐美，感受到“数学是有用的”。
教学重、难点：
教学重点：抛物线标准方程的探求和对定义的理解。
教学难点：求抛物线在不同条件下的标准方程。
教法分析：
“问题”是探求一切知识的源泉和激发点。本课时，我采用“问题—自主探究式”教学法。通过层层问题的设计、提出，一步一步引导学生自主探究，教师则适时地点拨，实现学生的手、脑、耳、眼、口并用，体现学生的主体地位，使学生真正掌握重点，突破难点。其基本
的教学流程是：
学法分析：
大胆地让学生亲自动手实践，分组讨论，营造一个积极、和谐、向上的课堂气氛，始终使学生处在逐个问题的解决中所获得的满足感、新奇感之中，在师生之间的互动和学生之间的合作中，真正实现“思维对话”，提升学生的分析问题和解决问题的能力。
教学活动设计：
（一）动画引入，创设问题情境
【设计意图】由多媒体大屏幕展示出我国古代的杰出建筑—赵州桥，引出抛物线的模型，让学生感受到生活中处处有数学，引起学生的学习兴趣，激发学生的民族自豪感。
师：同学们，　赵州桥坐落在河北省南部的洨河上，洨河流经赵县。赵州桥建于隋代（公元581－618年）大业年间（公元605－618年），由著名匠师李春设计和建造，距今已有1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥。赵州桥1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位。1991年，美国土木工程师学会将其选定为第12个“国际历史土木工程的里程碑”，并在桥北端东侧建造了“国际历史土木工程古迹”铜牌纪念碑。赵州桥桥长64.4米，跨径37.02米，券高7.23米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥。它的桥拱近似地为一抛物线形状。
师：今天，我们就来更深入地研究这种在生产和生活实际中有巨大功用的圆锥曲线—抛物线。
【给出课题】抛物线的标准方程
（二）提出问题，定义探究
【问题】用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹。你能发现点M满足的几何条件吗？
师：请同学们探究这一问题。
【学生活动】探究问题。
【学生发言】点M随着H运动的过程中，始终有，即点M与定点F和定直线l的距离相等。
【大屏幕给出定义】把平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
【定义辨析】师：若点F在l上，动点的轨迹是什么？
生：过点F与l垂直的直线。
【教师预设】若学生不能很好地回答此问题，则分组展开讨论。
【设计意图】调动学生的学习积极性，加深对定义的理解。
（三）提出问题，探究方程
【问题】已知一条抛物线的焦点坐标F是（2，0），准线l的方程是：x=-2，求这条抛物线的标准方程。
师：请同学们解决这一问题，好吗？
生：好！
【学生活动】请一位学生上黑板做。
【学生活动】再分组展开讨论，然后学生针对黑板上的讲出别的建系方法。
师：哪一种方法好呢？为什么？
生：以过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，KF的中点为原点所建的坐标系最简单。标准方程是：。
【设计意图】通过比较学生的几种做法，让学生明白为什么要这样建系，怎样建系简便，以此加深学生对标准方程的理解，还思维给学生。
（四）遵循由特殊到一般的规律，建立标准方程的模型
【问题】已知一条抛物线的焦点坐标为（）（），准线方程是，求这条抛物线的标准方程。
【学生活动】探求一般形式下的抛物线的标准方程。（）
【设计意图】由特殊到一般，符合学生的认知规律，加深对知识的理解和识记。
师：当焦点坐标分别是时，抛物线的标准方程又是什么呢？请探求它们并填好如下表格：
标准方程
焦点坐标
准线方程
图像
【学生活动】先独立思考，然后分组讨论，最后学生发言，填好以上表格。（如图）
师：这就是抛物线的四种标准方程的形式，请同学们熟记一分钟。
（五）例题示范，理解巩固
【例题】求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点是（0，1）（2）准线方程是
【学生活动】探求方程，答案：（1）（2）
【变式引申】求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程。
【学生活动】学生上黑板做：解：直线与x轴的焦点是（4，0），与y轴的焦点为（0，-2），故抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）。当焦点是（4，0）时，标准方程是；当焦点是（0，-2）时，标准方程是。
师：通过以上几题，你能总结出求抛物线的标准方程方法是什么吗？关键是什么？
生：关键是根据条件设出符合题意的抛物线的方程，主要是采用待定系数法求方程。
【设计意图】这样安排既可以达到基础练习的目的，又可以“拉伸”一下学生的思维，让学生“跳一跳”去摘到“果子”。
（六）联系实际，学以致用
【题目】一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，如图，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a米，求能使卡车通过的a的最小整数值。
师：请做一下这道题，看谁能很快做出来。
谁先做出来，就请他（她）发言。
生：解：以拱顶为原点，拱高所在的直线
为y轴建立直角坐标系。（如图）设抛
物线的方程为，则点B的
坐标为，代入方程，得，
所以，抛物线方程为，将E点（0.8，y）代入，得，所以
，所以a的最小值为13米。
【设计意图】理论联系实际，加深对求抛物线标准方程的理解，激发学习兴趣和加强应用知识解决问题的意识。
（七）反馈练习，深化理解
【题目】求焦点在x轴的正半轴上，且截直线2x-y+1=0所得弦长为的抛物线的标准方程。（）
【设计意图】检测学生对所学知识的掌握程度。
（八）学生小结，知识系统化
师：本节课我们都学到了什么？如何求抛物线的标准方程？请同学们总结一下。
【学生活动】学生先分组讨论，各小组汇总出一个小结，然后由各小组的组长发言，教师适当点拨。
生：重点是理解抛物线的定义，记住抛物线的四种标准方程，熟练的用待定系数法求出抛物线的标准方程。
【设计意图】由学生对本节课进行小结，这种做法打破了传统的教师一人“独霸”课堂喋喋不休地进行总结的模式，有利于学生更能亲自动脑思考总结，从总体上更能把握好整节课所学的内容。
（九）布置作业，温故知新
（1）课本上的作业：课后练习1，2，3题。
（2）拓展提升型作业：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程。
【设计意图】（1）题用来巩固本节课的基础；（2）题可以用本节所学的方法做出来，亦可用抛物线的定义来做（更简便），而这是下一课时的内容，这样做既可以锻炼学生多角度考虑问题，又可以顺理成章地引出下一课时的内容，为学习下一课时埋下伏笔。
教学反思：教学设计的根本目的是创设一个有效的教学系统，“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“抛物线的标准方程”的教学设计，我对此有了更深地理解。本节课通过“问题串”和学生的合作探究，让学生体验了数学知识的发生发展过程，经历了由特殊到一般的渐进过程，既符合了学生的思维规律，又能激发学生的学习兴趣；“联系实际，学以致用”不但能使学生的思维得到“顿悟”，更能增强学生的举一反三和应用能力。
【板书设计】
反馈练习
深化理解
联系实际
学以致用
例题示范
理解巩固
提出问题
探究方程
提出问题
定义探究
动画引入
创设问题情境
特殊到一般
建立方程模型
布置作业
温故知新
学生小结
知识系统化
赵州桥
天下第一桥
y
y
x
y
x
x