北师大九年级上册第四章图形的相似高频题型（含解析）

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图形的相似高频题型
一．选择题（共5小题）
1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
4．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
二．填空题（共2小题）
6．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　 ．
7．如图，AB＝4，P1，P2是线段AB上的两个黄金分割点，则线段P1P2的长为 　 　 ．
三．解答题（共13小题）
8．已知：．当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值．
9．如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目．
求证：（1）△ACD∽△ECA；
（2）∠ADB+∠AEB＝45°．
10．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
11．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°，且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）延长EF交BC的延长线于点G，若AB＝4，求CG的长．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒．
（1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？
14．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
15．已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF AG．
16．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度AB，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆CD，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得DE＝1.5米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着BF移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，FH＝2.4米，已知小明的目高GH＝1.6米，AB⊥BH，CD⊥BH，GH⊥BH，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树AB的高度．
17．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
18．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
19．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
图形的相似高频题型
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C B
一．选择题（共5小题）
1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
3．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB＝1.2，
∴BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故选：C．
【点评】解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．
4．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，从而可得1．然后把AB＝1，CD＝3代入即可求出EF的值．
【解答】解：方法一、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴，，
∴1．
∵AB＝1，CD＝3，
∴1，
∴EF．
方法二、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∴EFCD，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现1是解决本题的关键．
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到，，结合图形得到，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　 ．
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC AH＝6，
∴AH3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
7．如图，AB＝4，P1，P2是线段AB上的两个黄金分割点，则线段P1P2的长为 　48　 ．
【分析】根据P1、P2是线段AB上的两个黄金分割点，求出BP2和AP1的长，可得答案．
【解答】解：∵P1，P2是线段AB上的两个黄金分割点，
∴BP2＝AP1AB＝22，
∴P1P2＝AP2+BP1﹣AB＝22+22﹣4＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查黄金分割，解题的关键是理解黄金分割的定义．
三．解答题（共13小题）
8．已知：．当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值．
【分析】设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值．
【解答】解：设，
∴a＝2k，b＝3k，c＝5k，
把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中，
得2×2k+3k+3×5k＝44，
解得：k＝2，
所以a＝2k＝4，b＝3k＝6，c＝5k＝10．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
9．如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目．
求证：（1）△ACD∽△ECA；
（2）∠ADB+∠AEB＝45°．
【分析】（1）可证明三个小正方形的边长相等，且B、C、D、E四点在同一条直线上，设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm，则，而∠ACD＝∠ECA，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ECA；
（2）由AB＝BC，∠B＝90°，得∠ACB＝∠BAC＝45°，则∠ADB+∠DAC＝45°，由相似三角形的性质得∠DAC＝∠AEB，则∠ADB+∠AEB＝45°．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形，
∴AB＝BC＝CH＝CD＝DG＝DE，∠B＝∠BCH＝∠HCD＝∠CDG＝∠GDE＝90°，
∴∠BCH+∠HCD＝180°，∠CDG+∠GDE＝180°，
∴B、C、D、E四点在同一条直线上，
设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm，
∵，，
∴，
∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA．
（2）∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠ACB＝∠ADB+∠DAC，
∴∠ADB+∠DAC＝45°，
∵△ACD∽△ECA，
∴∠DAC＝∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝45°．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△ACD∽△ECA是解题的关键．
10．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
11．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，得到∠PCA＝∠PDB＝120°，根据已知条件得到，于是得到结论．
【解答】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，，
∴，
∴△ACP∽△PDB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°，且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）延长EF交BC的延长线于点G，若AB＝4，求CG的长．
【分析】（1）由正方形的性质得∠A＝∠D＝90°，而∠BEF＝90°，由∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°，推导出∠ABE＝∠DEF，则△ABE∽△DEF．
（2）因为CD＝AD＝AB＝4，CF＝3FD，所以3FD+FD＝CD＝4，EA＝4﹣DE，求得FD＝1，则CF＝3，∵△ABE∽△DEF，由相似三角形的性质得，则，求得DE＝2，再证明△CFG∽△DFE，则3，所以CG＝3DE＝6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵CD＝AD＝AB＝4，CF＝3FD，
∴3FD+FD＝CD＝4，EA＝4﹣DE，
∴FD＝1，
∴CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴，
∴，
解得DE＝2，
∵BC∥AD，点G在BC的延长线上，E为边AD上的点，
∴CG∥DE，
∴△CFG∽△DFE，
∴3，
∴CG＝3DE＝6，
∴CG的长为6．
【点评】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠ABE＝∠DEF，进而证明△ABE∽△DEF是解题的关键．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒．
（1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？
【分析】（1）先根据题意得到AP＝x，BQ＝2x，则PB＝8﹣x，然后根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）分△QBP∽△BCD和△PBQ∽△BCD两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得AB＝8，AP＝x，BQ＝2x，
∴PB＝8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴，
∴y＝﹣x2+8x（0≤x≤6）；
（2）∵△PBQ和△BDC相似，∠PBQ＝∠BCD＝90°，
∴△PBQ∽△BCD，△QBP∽△BCD，
∴或．
∵PB＝8﹣x，BQ＝2x，AB＝8，BC＝12，CD＝8，
∴或，
解得x＝2或，
当x＝2或时，△PBQ和△BDC相似．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；
（2）先利用AE2＝EF BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF BE；
（2）∵AE2＝EF BE，
∴BE4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴，即，解得AF，
∵△EAF∽△EBA，
∴，即，
∴AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
15．已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF AG．
【分析】（1）连接AC，由菱形的性质得AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°，而BE＝CF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，得AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，推导出∠EAF＝∠BAC＝60°，则△AEF是等边三角形；
（2）延长EF，交AD的延长线于点G，由CB∥AD，CD∥AB，得∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°﹣∠B＝120°，因为FE＝FA＝AE，∠AFE＝60°，所以∠AFG＝180°﹣∠AFE＝120°，则∠FCE＝∠AFG，可证明△FCE∽△AFG，得，则FE FA＝CF AG，所以AE2＝CF AG．
【解答】证明：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
（2）延长EF，交AD的延长线于点G，
∵CB∥AD，CD∥AB，
∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°﹣∠B＝120°，
∵FE＝FA＝AE，∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝120°，
∴∠FCE＝∠AFG，
∴△FCE∽△AFG，
∴，
∴FE FA＝CF AG，
∴AE2＝CF AG．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△ACF及△FCE∽△AFG是解题的关键．
16．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度AB，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆CD，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得DE＝1.5米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着BF移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，FH＝2.4米，已知小明的目高GH＝1.6米，AB⊥BH，CD⊥BH，GH⊥BH，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树AB的高度．
【分析】由AB⊥AG和CD⊥AG，可以证得 AB∥CD，即可证得△ECD∽△EAB，从而等到AB与AE之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出∠AFB＝∠GFH，再结合AB⊥AG和 GH⊥AG，可以证得△BFA∽△HFG，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵EF＝3米，
∴BF＝（BE+3）米，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴．
∵DE＝1.5米，CD＝1.5米，
∴EB＝AB，
∵AB⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABF＝∠GHF＝90°，
又∵∠BFA＝∠HFG，
∴△BFA∽△HFG，
∴，
即，
∴，
解得：AB＝6，
答：树AB的高度为6米．
【点评】此题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
17．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
【分析】（1）利用菱形的性质得AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，证明△DCP≌△BCP，得∠CDP＝∠CBP，再证明∠CBP＝∠F，证明△BPE∽△FPB，即可证明；
（2）由△BPE∽△FPB，结合PB＝2PE，得，得BF＝2BE，由AD∥BC，得△BEF∽△ADF，可得，得AF＝2AD，即可计算．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线，
∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，
∴∠CDP＝∠F，
在△DCP与△BCP中，
，
∴△DCP≌△BCP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∴∠CBP＝∠F，
又∵∠BPE＝∠FPB，
∴△BPE∽△FPB，
∴，
∴PB2＝PE PF；
（2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB，
∴，
∵AD＝6，PB＝2PE，
∴，
∴BF＝2BE，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△ADF，
∴，
∴，
∴AF＝2AD，
∵AB＝AD＝6，
∴AF＝2AD＝12，
∴BF＝AF﹣AB＝6．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．
18．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF＝x，EG＝y，
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴
∴y＝80x
∴矩形面积S＝xyx2+80x（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）
故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
19．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【分析】根据题意得到△GDC∽△EOC和△FBA∽△EOA，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，
则由△GDC∽△EOC得，
即，
整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，
由△FBA∽△EOA得，
即，
整理得：1.6b＝2a﹣ax②，
将②代入①得：
3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，
∴a＝32，
即OE＝32米，
答：楼的高度OE为32米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B
∴∠AFD＝∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．
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