2.8平面图形的旋转 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.8平面图形的旋转冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为( )
A. B. C. D.
2.是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，中，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形若点恰好落在上，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则等于( )
A. B. C. D.
8.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，分别将三角板与的一边与放置在直线上，边与所在直线重合现将三角板绕点逆时针旋转，三角板绕点顺时针旋转当与第一次重合时，三角板停止运动在旋转过程中，下列说法不正确的是( )
A. 当与垂直时， B. 当与平行时，
C. 当与垂直时， D. 当与平行时，
10.如图，在等边中，是边上一点，连接将绕点逆时针旋转，得到，连接若，，则的周长是( )
A. B. C. D. 以上都不对
11.如图，将绕点旋转后得，则下列结论中，不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到，若点、分别是、的中点，连接则线段的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，点为边一动点，连接并将绕点顺时针旋转得到当是等腰三角形时，的长为______．
14.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点给出下面四个结论：
≌；；；若，，连接，则的面积是上述结论中，所有正确结论的序号是______．
16.如图，在中，，，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为，那么的正切值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，三角形．
请画出三角形绕点逆时针旋转得到的三角形，其中点与点是对应顶点；
在的条件下，，求的度数．
18.本小题分
四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，
指出旋转中心和旋转角度；
求的长度；
与的位置关系如何？
19.本小题分
如图，的顶点均在格点上，点的坐标为．
画出关于原点对称的；
画出绕点逆时针旋转得到的；
求出中点到的所经过的路径长．
20.本小题分
如图，等腰直角中，，点在上，，，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
填空：______，______；
求线段旋转时所扫过的面积．
21.本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
经过一次平移，的顶点移到了，请在图中画出平移后的，并直接写出平移距离为______；
以点为旋转中心，将绕着点逆时针旋转，请在图中画出旋转后的，并直接写出的面积为______．
22.本小题分
如图，已知正方形，点、分别是、边上，且，将绕点逆时针旋转，得到．
求证：≌；
若正方形的边长为，时，求的长？
23.本小题分
如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上．
求证：平分；
连接，求证：．
24.本小题分
在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上每个小方格的顶点叫格点，请画出绕着点顺时针旋转后得到的和绕着点逆时针旋转后得到的．
25.本小题分
如图，已知的顶点、、的坐标分别是、、．
画出关于原点中心对称的图形；
将绕点按顺时针方向旋转后得到，画出并求线段扫过的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
由等边中，，是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将线段绕点逆时针旋转后得到，证明是等边三角形，继而求得答案．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
点是的中点，
，，
，
将线段绕点逆时针旋转后得到，
，，
是等边三角形，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出是等边三角形，注意“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于根据等边三角形的性质推出，，根据旋转的性质得出≌，推出，，求出，得出是等边三角形，即可求出答案．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
≌，
，，
，
即，
是等边三角形，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得，
，
根据勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
是由绕点顺时针旋转角度得到的，
，
，
，
旋转角的大小是，
故选：．
由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出旋转角的大小．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：是绕点顺时针旋转后得到的图形，
，，，
，
，
故选：．
根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了性质的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知，，
，
为等边三角形，
，
，
故选A．
根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
首先考虑到所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，可证明与全等，可得到，，再证和是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【解答】
解：连结，设与相交于点，如下图所示，
中，，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，
又旋转角为
，
是等边三角形，
，
在与中，
≌，
，，
在中，，
，
，
，，
，
在中，，
．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：当与垂直时，如图，
由题意知，
，
，
A正确，
故不符合题意；
当与平行时，如图，过作，则，
，，
，
B错误，
故符合题意；
当与垂直时，如图，
，
，
C正确，
故不符合题意；
当与平行时，如图，
，
D正确，
故不符合题意；
故选：．
画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识，正确的作图求解是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
先根据旋转的性质得，，，于是可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再利用等边三角形的性质得，则易得的周长为．
【解答】
解：绕点逆时针旋转得到，
，，，
为等边三角形，
，
的周长，
为等边三角形，
，
的周长
11.【答案】
【解析】解：由题意可得：≌，
，，
故A正确，不符合题意；
≌，
，
故C正确，不符合题意；
≌，
，
，即，
故D正确，不符合题意；
由已知条件无法证明出，
故B错误，符合题意．
故选：．
根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可．
此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．
12.【答案】
【解析】解：，，，
．
由旋转可知，
，．
点是的中点，
，
则点在以点为圆心，为半径的圆上，
如图所示，
当点在的延长线与的交点处时，取得最大值．
点是的中点，
，
，
即的最大值为．
故选：．
根据题意可得出点的轨迹，画出示意图，结合旋转的性质，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质及含度角的直角三角形，熟知度角所对直角边等于斜边的一半及图形旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】解：设，则，
由旋转的性质可知，，，
当时，是等腰三角形，则
在中，，
，
解得：；
当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
解得：负值舍去，
故答案为：或．
设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明≌，再利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，点落在上，
≌，
故正确；
≌，
，
，
故错误；
≌，
，
，
，
故正确；
≌，
，，
，
故正确．
综上，所有正确结论的序号是，
故答案为：．
根据题干得出≌，再根据全等三角形的性质一一判断即可．
本题主要考查了作图旋转变换，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
16.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，，
．
，
，
．
由旋转可得，，
，
，即，
．
由旋转有，，
，
，
由旋转得，
在中，，
，
在中，，
．
由旋转得，
．
故答案为：．
过点作于点，由可得，，从而，，根据三角形的面积公式可求得，，再根据勾股定理，在中，，在中，，从而，由旋转得到，则．
本题考查锐角三角比的定义，旋转的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟知旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示，即为所求图形．
因为三角形绕点逆时针旋转到三角形的位置，
所以，
因为，
所以，则是．
【解析】本题主要考查图形的变换，掌握图形的旋转，及性质是解题的关键．
三角形绕点逆时针旋转，则对应线段相互垂直，由此即可作图；
根据旋转的性质可得，，根据，即可求解．
18.【答案】【小题】
旋转后得到，≌，，，；可得旋转中心为点；旋转角度为或；
【小题】
由知，，；
【小题】
如图，延长与相交于点，
，，
，，，
，即与是垂直关系．

【解析】 略
略
略
19.【答案】为所作图形；
为所作图形；；

【解析】如图，为所作图形；
如图，为所作图形；
由图可知，
由旋转的性质可知，
点到的所经过的路径长为：．
先利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的对应点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的角度画出、的对应点、，从而得到；
由旋转的性质可得：，再由弧长公式计算即可．
本题考查了作图中心对称变换、旋转变换，掌握中心对称变换和旋转变换的性质是解题的关键．
20.【答案】，；

【解析】解：是等腰直角三角形，
，
绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
≌，
，，
；
．
，
故答案为：，；
，，
，
，
线段旋转时扫过的面积，
线段旋转时扫过的面积．
先由旋转得出≌，即：，即可得出结论；
首先求出，进一步求得，然后用扇形的面积减去扇形的面积求解即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了扇形的面积，旋转的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是直角三角形是解本题的关键．
21.【答案】如图所示，即为所求，；
如图所示，即为所求，．

【解析】向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，
如图所示，即为所求，
平移距离为，
故答案为：；
根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，如图所示，即为所求；
，
故答案为：．
由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，然后利用勾股定理求出平移距离即可；
根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形；利用割补法求解即可．
本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，勾股定理，数形结合是解题的关键．
22.【答案】证明过程见解答；
的长为
【解析】证明：四边形是正方形，
，，
由旋转得：
，，，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
，
，
≌；
设，
，
由旋转得：，
，，
≌，
，
在中，，
，
，
，
的长为．
根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，，从而证明、、三点共线，然后利用正方形中的半角模型证明≌；
设，从而可得，，然后在中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答，即可求出的长．
本题考查了旋转的性质，正方形法性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的半角模型是解题的关键．
23.【答案】证明：由已知得≌，
，，
．
，
平分；
，，
，，
又，
，
．

【解析】本题考查了旋转的基本性质，全等三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，属于中档题．
由已知得≌，结合全等三角形的性质和角平分线的定义可得出结论；
结合等腰三角形的性质可得出结论．
24.【答案】
【解析】解：如图所示，和即为所求：
根据旋转方向、旋转中心、旋转角度可找到各点的对应点，继而顺次连接即可．
本题考查了旋转作图的知识，难度不大，关键是根据几种作图变换的特点找到各点的对应点．
25.【答案】解如图，即为所求．
如图，即为所求．线段扫过的面积

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，的对应点，即可，再利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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