5.1等式与方程 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1等式与方程冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.如果，那么，其成立的依据是( )
A. 根据等式的性质，等式的两边加，结果仍相等
B. 根据等式的性质，等式的两边减，结果仍相等
C. 根据等式的性质，等式的两边乘，结果仍相等
D. 根据等式的性质，等式的两边除以，结果仍相等
3.设，，为互不相等的数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式是方程的是( )
A. B. C. D.
6.下列判断错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.下列等式，变形错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.若，则下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知，则下列各式不正确的是( )
A. B. C. D.
10.以下说法错误的是( )
A. 由，可以得到 B. 由，可以得到．
C. 由，可以得到 D. 由，可以得到．
11.设，，是有理数，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. ，则 D. 若，则
12.根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.把方程改写成用含的式子表示的形式，则 ．
14.已知关于的方程的解为，根据等式的性质，可得的值为 ．
15.已知，且，则_________________．
16.定义新运算“”：对于任意实数，都有，例：，若关于的方程，则此方程______填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”实数根．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是关于的方程．
求证：无论取何值，方程总有实数根；
若总是方程的一个根，求的值及另一个根．
18.本小题分
下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程：．
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
______，得第三步
合并同类项，得第四步
方程两边都除以，得第五步
填空：
以上求解步骤中，第三步变形的名称是______，其依据是______；
以上求解步骤中第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
请直接写出该方程的正确解______．
19.本小题分
小明同学解一元二次方程：的过程如下：
解：原方程可化简为：
解得：
小明的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
写出这个方程的正确解答过程．
20.本小题分
下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题．
解方程：．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
填空：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______；
第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
请正确解该方程．
21.本小题分
利用等式的基本性质比较下列各式中与的大小：
；
．
22.本小题分
已知当时，代数式的值为，利用等式的基本性质求代数式的值．
23.本小题分
解方程：
；
下面是小超解方程的过程．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
按要求完成下面的问题：
上述解方程第一步变形的依据是______；
小超从第______步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程．
24.本小题分
用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：．
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
系数化为，得第五步
任务：
以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是______；
从第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
请直接写出该方程正确的解．
25.本小题分
计算：；
下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：______，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
方程两边同除以，得第五步
任务：
以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是______；
以上求解步骤中，第______步开始出现错误，具体的错误是______；
该方程正确的解为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据等式的基本性质，将的两边同时减，得，
所以A正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘，得，
所以B正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时除以，得，
所以C正确，不符合题意；
当时，根据等式的基本性质，将的两边同时除以，得，
当时，不一定成立，
所以D错误，符合题意．
故选：．
A.根据等式的基本性质计算即可；、、根据等式的基本性质计算即可．
本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
等式的两边同乘得：，结果仍相等，
选项利用等式的性质，符合题意，故正确，
A、选项利用等式的性质进行加减，不符合题意，本题利用的是乘法，故错误；选项，本题利用的是乘法，不是除法，故错误．
故选：．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了整式的加减，等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
利用等式的性质，把已知的等式进行变形，即可解答．
【解答】
解：，
，
在等式两边同时减去，
可得：，
，
在等式两边同时乘，
可得：，
在等式两边同时乘，
可得：．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键．
根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：、，，故 A不符合题意；
B、，，故 B不符合题意；
C、，，故 C符合题意；
D、，，故 D不符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、不是等式，故A选项不符合题意；
B、不含有未知数，故B选项不符合题意；
C、不是等式，故C选项不符合题意；
D、是方程，故D选项符合题意，
故选：．
根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可．
本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等式的性质．运用等式性质必须注意等式两边所加上的或减去的必须是同一个数或整式；运用等式性质必须注意等式两边都乘或除以的是同一个数除数不为，才能保证所得的结果仍是等式利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】
解：利用等式性质，两边都减去，得到，故A结论正确；
B.若，根据等式性质，得，故B结论正确；
C.若，当时，不一定等于，故C结论错误；
D.若，根据等式性质，得，故D结论正确．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：若，两边减得，正确，不符合．
B.若，当时，两边乘得，隐含，正确，不符合．
C.若，当时，与无意义，因此变形必须满足，但题目未说明此条件，变形错误，符合．
D.若，两边乘得，正确，不符合．
故选C．
根据等式性质逐项分析，需注意分母不能为零的情况．
本题考查等式的基本性质，正确理解等式的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，故A错误；
对于，因为，所以，故B正确；
对于，因为，所以，故C错误；
对于，因为，所以，即，故D错误．
故选：．
根据等式的性质，性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，据此判断即可．
本题考查了等式的性质，解决本题的关键是熟练运用等式的性质．
9.【答案】
【解析】解：、由两边都可得，不符合题意；
B、由两边都乘以可得，不符合题意；
C、由两边都乘以可得，不符合题意；
D、由两边都可得或两边都可得，符合题意；
故选：．
根据等式的性质逐项判断即可．
本题考查了等式的性质，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
10.【答案】
【解析】解：根据等式的基本性质，将两边同时加，得，
A正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时除以，得，
B正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘，得，
C错误，符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘，得，
D正确，不符合题意．
故选：．
A.根据等式的基本性质计算并判断即可；
根据等式的基本性质计算并判断即可．
本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的个基本性质并灵活运用是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据等式的基本性质，将的两边同时加，得，
不正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘，得，
B正确，符合题意；
根据等式的基本性质，当时，将的两边同时除以，得，
不正确，不符合题意；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘，得，
不正确，不符合题意．
故选：．
A.根据等式的基本性质计算即可；
B.根据等式的基本性质计算即可；
C.根据等式的基本性质计算即可；
D.根据等式的基本性质计算即可．
本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据等式的性质逐项分析判断如下：
A、如果，那么，原变形错误，故不符合题意；
B、如果，那么，原变形错误，故不符合题意；
C、如果，那么，原变形正确，故符合题意；
D、如果，且，那么，原变形错误，故不符合题意；
故选：．
根据等式的性质、进行排除选项．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】根据等式的性质，将移到右边，的系数化为即可．
【详解】解：，
移项得：，
系数化为得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等式的性质，解决本题的关键是要熟练掌握等式的性质．
14.【答案】
【解析】解：已知的方程的解为
得到：，
根据等式的性质可得：，
则
故答案为：．
根据方程的解得，再直接利用等式的基本性质进而得出答案．
此题主要考查了等式的性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质分别用和表示出和，再根据的值计算出的值即可．
【解答】
解：，
，，
．
故答案为：．
16.【答案】没有
【解析】解：由条件可知，即，
，
此方程没有实数根，
故答案为：没有．
根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．
17.【答案】当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根，符合题意；
当时，则，此时原方程有两个不相等的实数根，
无论取何值，方程总有实数根；
，
【解析】证明：当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根，符合题意；
当时，则，此时原方程有两个不相等的实数根，
无论取何值，方程总有实数根；
解：总是方程的一个根，
，
解得，
则由根与系数的关系可得方程的另一个根为．
当时，原方程为一元一次方程，有解，符合题意；当时，利用判别式证明即可；
把代入原方程求出的值，再利用根与系数的关系求出方程的另一根即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解一元一次方程．
18.【答案】移项；等式的基本性质；
二，去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项相乘；

【解析】根据题意得，第三步变形的名称是移项，其依据是等式的基本性质．
故答案为：移项，等式的基本性质；
以上求解步骤中第二步开始出错，这一步错误的原因是去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项相乘；
故答案为：二，去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项相乘；
正确求解过程：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
方程两边都除以，得．
故答案为：．
依据是等式的性质；
步骤中第二步开始出错，去括号时，等号左边括号外的和括号内的第二项相乘计算错误；
按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤，进行解答即可．
本题考查了解一元一次方程，等式的性质，掌握解一元一次方程的方法，等式的性质是解题的关键．
19.【答案】，如果则两边不能同时除以；
，
【解析】小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以，
故答案为：，如果则两边不能同时除以；
移项得，
，
则或，
解得，．
依据等式的基本性质判断即可得；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】等式的性质，乘法分配律；三，移项时前面的符号没有变号；

【解析】以上解题过程中，第一步是依据等式的性质进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律．
故答案为：等式的性质，乘法分配律；
第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时前面的符号没有变号．
故答案为：三，移项时前面的符号没有变号；
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将系数化为，得．
观察解题过程即可得到答案；
观察解题过程可得移项时前面的符号没有变号，据此可得答案；
按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可．
本题考查了解一元一次方程，等式的性质，掌握解一元一次方程的方法，等式的性质是解题的关键．
21.【答案】；
．
【解析】等式两边同时除以得：，
等式两边同时减去得：，
等式两边同时加上得：，
即，
；
根据题意可知，，
，
，
．
等式两边同时除以，减去，加上，即可得到答案；
根据等式的性质变形即可．
本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
22.【答案】．
【解析】解：当时，代数式的值为，
，
，
，
即代数式的值为．
把代入得，然后根据等式的性质，等式两边减去，再等式两边乘以可得到代数式的值．
本题考查了等式的性质：等式性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．也考查了代数式求值．
23.【答案】；
等式的性质；
三，
【解析】，
移项，得，
合并同类项，得，
解得；
等式的性质；三，
，
，
，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
根据解一元一次方程的步骤求解即可；
根据等式的性质解答；
第三步去分母时分子没有加括号，然后根据解一元一次方程的步骤求解即可．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
24.【答案】等式的性质 乘法分配律 三 从等号左边移项至等号右边未变号
【解析】以上解题过程中，第一步是依据等式的性质进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；
故答案为：等式的性质，乘法分配律；
从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号；
故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号；
，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为，得．
根据等式的基本性质、乘法分配律即可得；
根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得；
根据移项、合并同类项、系数化为的步骤写出正确过程即可得．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
25.【答案】；
去分母，等式的性质；
三，移项没变号；

【解析】
；
以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质；
故答案为：去分母，等式的性质；
以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没变号；
故答案为：三，移项没变号；
，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为，得，
故答案为：．
根据乘法分配律计算即可；
根据解一元一次方程的方法判断即可；
根据解一元一次方程的方法判断即可；
根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解答即可．
本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，等式的性质，掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则，等式的性质是解题的关键．
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