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2.3线段的长短比较冀教版( 2024)初中数学七年级上册同步练习
分数:120分 考试时间:120分钟 命题人:
一、选择题:本题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到,,三个小区投送快递,每个小区经过且只经过一次,最后返回快递点.,,,之间的距离单位:如图所示,则小明骑行的最短距离为( )
A. B. C. D.
2.下列生活中出现的现象,可以用“两点之间,线段最短”来解释的是( )
A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B. 值日时,只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置,就能将其余课桌按这条直线摆放
C. 在高速公路的建设中,通常要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直,以缩短路程
D. 经过侧平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线
3.如图,将一根绳子对折以后用线段表示,现从处将绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段为,若,则这条绳子的原长为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如图,点,在线段上,::,是的中点,则:的值是( )
A. B. C. D.
5.如图,点、、在同一直线上,,,点、分别是、的中点,则的长是( )
A. B. C. D.
6.如图,把三角形剪去一个角,所得四边形的周长比原三角形的周长小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A. 四边形周长小于三角形周长 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间,线段最短 D. 经过一点有无数条直线
7.线段,点在线段上,且有,是的中点,则等于 .
A. B. C. D.
8.下列说法:直线与直线是同一条直线;连接两点之间的线段叫做这两点间的距离;若线段,,则线段;两点之间,线段最短;若,则点是线段的中点其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.下列语句中,正确的有( )
两点之间直线最短;同位角相等;垂直于同一条直线的两直线互相平行;不相交的两条直线互相平行;同一平面内,过一点有且仅有一条直线平行于已知直线.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.已知点,,在同一条直线上,若线段,,则线段的长是( )
A. B. C. D. 或
11.如图,、、是一条公路上的三个村庄,、间的路程为,、间的路程为,现要在公路上建一个车站,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?( )
A. 点处 B. 线段之间 C. 线段之间 D. 点处
12.已知线段,点是直线上一点,,点是线段的中点,点是线段的中点,则线段的长度是( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
13.已知线段,点,是线段上的点,且,点是线段的三等分点则 .
14.如图,在矩形中,,,点在上,点在上,且,连接,,则的最小值为 .
15.如图,是线段上一点,为的中点,且,若点在直线上,且,则的长为 .
16.两根木条,一根长,一根长,将它们一端重合且放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离为__ ___.
三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图,数轴上点、、、、分别表示,,,,.
根据题图,回答下列问题:
、两点间的距离是多少?
、两点间的距离是多少?
、两点间的距离是多少?
用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来.
18.本小题分
如图,已知点为线段上一点,,,、分别是、的中点求:
的长度为______;
的长度为______;
若在直线上,且,求的长度.
19.本小题分
如图,在数轴上有三个点、、,完成下列问题:
将点向右移动六个单位长度到点,在数轴上表示出点.
在数轴上找到点,使点到、两点的距离相等.并在数轴上标出点表示的数.
在数轴上有一点,满足点到点与点到点的距离和是,则点表示的数是______.
20.本小题分
在一条直线上顺次取,,三点,已知,点是线段的中点,且求线段的长.
21.本小题分
如图,已知线段,延长线段至点,使,延长线段至点,使,点是线段的中点.
若,求线段的长;
若,请直接写出线段的长用含的代数式表示.
22.本小题分
如图,在平面内有三个点,,.
作图要求:利用尺规,不写画法,保留作图痕迹
连结,作射线和直线;
作射线交直线于点,使得.
若,,是的中点,请直接写出的长______.
23.本小题分
如图,,垂足为,
,,,点到所在直线的距离是 ,点到点的距离是 ,点到的距离是 .
24.本小题分
如图,点在线段上,,,点,分别是,的中点,点在线段上,点为的中点.
分别求出、的长度;
若::,求的长度.
25.本小题分
如图,已知线段,,,用无刻度的直尺和圆规作一条线段,使它等于保留作图痕迹,不要求写作法;
如图,已知线段,延长至点,使,是线段的中点,如果,那么的长是多少?
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题涉及到距离的计算.有理数加法的实际应用,需要找出所有可能的路线,计算其距离,再比较得出最短距离.
【详解】找出所以可能路线计算:
,距离为,
,距离为,
,距离为,
,距离为,
,距离为,
,距离为,
通过比较这些路线的距离,是最短的.
故选:.
2.【答案】
【解析】解:根据两点确定一条直线,及两点之间线段最短逐项分析判断如下:
A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上,运用的两点确定一条直线,不符合题意;
B、值日时,只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置,就能将其余课桌按这条直线摆放,运用的两点确定一条直线,不符合题意;
C、在高速公路的建设中,通常要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直,以缩短路程,运用的是两点之间线段最短,符合题意;
D、经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,运用的两点确定一条直线,不符合题意;
故选:.
根据两点确定一条直线,及两点之间线段最短进行判定即可求解.
本题考查了两点之间线段最短,结合实际情况,掌握直线的确定方法,两点之间线段最短的知识是解题的关键.
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两点间的距离,分类讨论是解题关键.根据绳子对折以后用线段表示,可得绳长是的倍,分类讨论,的倍最长,可得,的倍最长,可得的长,再根据线段间的比例关系,可得答案.
【解答】
解:当的倍最长时,得
,
,
,
这条绳子的原长为;
当的倍最长时,得
,,
,
,
这条绳子的原长为.
故选:.
4.【答案】
【解析】解:::,
可设,,
.
点是的中点,
,
,
:.
故选:.
根据题意,由::,可设,,即可得出,由点是的中点,根据线段的中点定义,可得,即可得出的长,进而得出答案.
本题考查了两点间的距离,线段的和差,掌握两点间的距离,线段的和差计算是解题的关键.
5.【答案】
【解析】解:点、、在同一直线上,,,
,
又点、分别是、的中点,
,,
.
故选:.
先求出线段的总长,再根据线段的中点的定义分别求出的长,的长,即可.
考查线段的中点,和线段的和差问题.
6.【答案】
【解析】在图中标上字母,如解图所示,根据两点之间,线段最短,可得,然后在不等式的两边同时加上,即可得出所得四边形的周长比原三角形的周长小,即可得出结论.
【详解】解:如下图所示:
根据两点之间,线段最短,
即的周长四边形的周长,理由为:两点之间,线段最短
故选C.
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】解:直线与直线是同一条直线,结论正确正确;
应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,结论错误;
若线段,,则线段或,结论错误;
两点之间,线段最短,结论正确;
若,则点是线段的中点,结论错误,因为、、三点不一定共线;
综上所述,符合题意的是共个;
故选:.
根据直线的定义对进行判断;根据两点间的距离的定义对进行判断;根据线段的和差对进行判断;根据线段公理对进行判断;根据线段中点的定义对进行判断.
本题主要考查了直线,线段,解题的关键是熟记直线,线段的联系与区别.
9.【答案】
【解析】解:两点之间线段最短,所以结论错误;
同位角不一定相等,所以结论错误;
同一平面内,垂直于同一条直线的两直线互相平行;所以结论错误;
同一平面内,不相交的两条直线互相平行;所以结论错误;
过直线外一点,有且仅有一条直线平行于已知直线;所以结论错误;
综上所述,正确的结论有个,所以只有选项A正确,符合题意,
故选:.
根据线段的性质,平行线的判定和性质,平行公理相关知识点,逐一进行判断即可.
本题考查线段的性质,平行线的判定和性质,平行公理及推论,同位角、内错角、同旁内角,关键是相关知识的熟练掌握.
10.【答案】
【解析】解:分两种情况讨论如下:
如图,在线段的延长线上,
,
如图,在线段上,
,
综上可知:线段的长是或,
故选:.
根据题意画出图形,分两种情况:在线段的延长线上;在线段上,然后由线段和差即可求解.
本题主要考查了线段和差计算,解题的关键是画出图形,分两种情况进行讨论.
11.【答案】
【解析】解:设、间的路程为,
、间的路程为,、间的路程为,
当点在点、之间时,
车站到三个村庄的路程之和为:;
当点在点、之间时,
车站到三个村庄的路程之和为:;
当点在点左侧时,
车站到三个村庄的路程之和为:;
当点在点右侧时,
车站到三个村庄的路程之和为:;
当点位于点、之间或点、之间,时,车站到三个村庄的路程之和最小为,此时点在点处,
故选:.
设、间的路程为,分四种情况讨论,表示到三个村庄的路程之和,根据两点间的距离即可求解.
本题考查了数轴上两点间的距离,整式的加减运算,掌握分类讨论思想的运用是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解:点是直线上一点,
需要分类讨论:
当点在点左侧时,
,,
,,
,
.
当点在点右侧时,
,,
,,
,
,
综上,的长度是或,
故选:.
根据题意知,点在点左侧时,;点在点右侧时,,因为点是线段的中点,点是线段的中点,分别算出,长度,代入计算即可.
本题考查线段长度的计算,根据题意分类讨论是解题关键.
13.【答案】或
【解析】解:线段,点,是线段上的点,
又,即,
点是线段的三等分点,
当点靠近点时,,,
当点靠近点时,,,
故答案为:或.
先求出线段的长度,再分别讨论点靠近点时的长,再讨论点靠近点时的长即可.
求线段长要讨论点的位置,和线段的和差,注意此类问题易漏解.
14.【答案】
【解析】解:如图,连接,
四边形是矩形,
,,
,
,
,,
四边形是平行四边形,
,,
,
的最小值转化为的最小值.
如图,在的延长线上截取,连接,,
,
是的垂直平分线,
,
,
,
,,
.
的最小值为.
的最小值为.
故答案为:.
连接,在的延长线上截取,连接,,,则的最小值转化为的最小值,则,根据勾股定理可得结果.
本题考查的是最短线路问题,矩形的性质,全等三角形的判定与性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.
15.【答案】或
【解析】解:点的位置关系有两种情况:点在点左侧;点在点右侧;
当点在点左侧时,如图,
,,
;
当点在点右侧时,
由条件可知,
,
,
,
点在右侧,则,
;
综上所述,的长为或.
故答案为:或.
根据题意,点的位置关系有两种情况:点在点左侧;点在点右侧;在不同情况下,作出图形,数形结合,表示出线段之间的和差关系,代值求解即可得到答案.
本题考查线段的和差关系,读懂题意,准确分类,作出图形,数形结合是解决问题的关键.
16.【答案】或
【解析】【分析】根据两点间的距离,分两种情况计算即可.
【详解】解:当两条线段一端重合,另一端在同一方向时,
此时两根木条的中点之间的距离为;
当两条线段一端重合,另一端方向相反时,
此时两根木条的中点之间的距离为;
故答案为或.
【点睛】本题考查线段的中点的定义,能分类讨论是解决此题的关键.
17.【答案】;
;
;
【解析】根据两点间距离公式可知:、 两点间的距离是:;
根据两点间距离公式可知:、 两点间的距离是;
根据两点间距离公式可知:、 两点间的距离是;
根据数轴可知:.
根据两点间距离公式进行解答即可;
根据两点间距离公式进行解答即可;
根据两点间距离公式进行解答即可;
根据数轴上表示的数越向右越大,进行解答即可.
本题主要考查了数轴上两点间距离,利用数轴比较有理数的大小,解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式.
18.【答案】
【解析】解:由线段中点的性质,,
故答案为:;
由线段的和差,得,
由线段中点的性质,得,
由线段的和差,得,
故答案为:;
当在点的右侧时,,
当在点的左侧时,,
的长度为或.
直接根据是的中点可得答案;
先求出的长,然后根据是的中点求出,做好应即为的长;
分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可.
本题考查了关于线段的中点的计算,线段的和与差的计算,读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键.
19.【答案】解;如图,
点到、两点的距离相等,点为线段中点,,
点表示的数为,如图,
或.
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值,根据数量关系找出含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键.
根据数轴上的点移动时的大小变化规律,即“左减右加”即可得到结论;
根据题意可知点是线段的中点;
设点表示的数是,根据点到点、点的距离之和是,即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可得出结论;
【解答】
解:见答案;
见答案;
设点表示的数是,
由已知得:,
当在点左侧时,,解得
当在点与点之间时,,整理得,不成立,舍去;
当在点右侧时,,解得.
20.【答案】解:若在上,则,
所以;
若在上,则,
所以,
由知或
【解析】本题考查了线段的和差、线段的中点、两点间的距离.
根据已知条件得出的值,再根据点是线段的中点,求出的值,再分类讨论即可求出答案.
21.【答案】解:因为,,,
所以,,
所以,,
因为点是的中点,
所以,
所以;
设,
因为,,,
所以,,
所以,,
因为点是的中点,
所以,
所以,
所以,
解得
所以
【解析】本题考查两点间的距离,解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算.
先根据线段的比例得到和的长,再根据线段的和差得到和的长,进而可得答案;
设,根据线段的比例与线段的和差用含的代数式表示出的长,再整理可得答案.
22.【答案】
或
【解析】如图所示,线段,射线,直线即为所求;
如图所示,射线,和点,即为所求;
如图所示,
是的中点,,
,
,
,
,
,
综上所述,的长为或.
故答案为:或.
根据线段,射线和直线的概念画图即可;
以点为圆心,为半径画弧,交延长线于点,连接并延长作射线即为所求;以点为圆心,为半径画弧,交延长线于点,连接并延长作射线即为所求;
首先由中点的性质得到,然后求出,进而求解即可.
本题考查了作线段,射线,直线,线段中点的性质,线段的和差计算,数形结合是解题的关键.
23.【答案】,,
【解析】【分析】
本题主要考查了点到直线的距离、两点间距离的概念,以及三角形面积公式的应用。通过已知条件,分别求出点到所在直线的距离、点到点的距离、点到的距离。
【解答】
解:因为点到直线的距离是指过这个点作直线的垂线段的长度。
已知,垂足为,且。
所以点到所在直线的距离就是的长度,即。
两点间的距离是指连接两点的线段的长度。
在图中,点到点的距离就是线段的长度。
已知,所以点到点的距离是。
首先,根据三角形面积公式为底,为高。
对于,以为底,为高时,。
已知,,则。
设点到的距离为,此时以为底,为高,那么。
因为,且,所以。
解方程可得,即点到的距离是。
故本题的答案是,,。
24.【答案】解:,,
,
点,分别是,的中点,
,,
,
;
::,,
,,
,
,
点为的中点,
,
,
.
【解析】已知,,可得的长,因为点,分别是,的中点,可得、、的长,又因,可得的长;
已知::,,可得、、的长,因为点为的中点,可得的长,因为,点在线段上,可得的长.
本题考查了两点间的距离,关键是掌握线段中点的定义.
25.【答案】解:如图,线段即为所求;
设,则,
,
是的中点,
,
,
.
【解析】作射线,在射线上截取线段,在线段上截取线段,使得,则线段即为所求;
设,则,根据,构建方程求解即可.
本题考查作图复杂作图,两点间的距离,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
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