第十章 分式 复习课件 数学北京版2024八年级上册

单元复习课件
第十章 分式
北京版2024·八年级上册
学习内容导览
单元知识图谱
2
单元复习目标
1
3
考点串讲
5
题型剖析/针对训练
4
6
课堂总结
难点突破
1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。
2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。
3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。
4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。
5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。
1.会进行简单的分式加减、乘、除运算。
2.会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根产生的原因。
1.理解分式的意义。
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行简单的分式加减、乘、除运算。
4.会解可化为一元一次方程的分式方程，能够用它解决实际问题。
画框内容为易错点
分式辨别的“两关键”和“两误区”
1.“两关键”：1）????????的形式(A，B都是____________)
2）B中必须含有____________
2.“两误区”:1）含分母的不一定是分式.如分母是数或π.
2）只看形式，不能看化简后的结果，如x2x是____________，而不是整式.
?
考点一 分式的基础
整式
字母
分式
【名师解读】分式的三个特征：①形如????????的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母.
?
考点一 分式的基础
分式有意义、无意义即分式值为0的条件
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}分式
条件
示例
总结
分式有意义
分母________零，
即B_____0
分式xx+5有意义的条件是___，x的取值范围为______
分式无意义
分母____零，即B__0
?
?
分式值为0
分子____零且分母_____零，即A___0且B___0
[易错]使|x|?1x+1值为0的条件为___
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}分式
条件
示例
总结
分式有意义
分母________零，
即B_____0
分式无意义
分母____零，即B__0
?
?
分式值为0
分子____零且分母_____零，即A___0且B___0
不等于
≠
x≠-5
x≥0
1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关；
2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0. 而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆.
等于
=
等于
不等于
=
≠
x=1
1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件：
①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可；
2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义.
题型一 分式的基础
类型一 分式的识别
例1 在式子1????，2????????????，3????2????3????4，56+????，????7+????8，9????+10????，????2????中，分式的个数是（????）
A．5 B．4 C．3 D．2
?
【总结】判别一个代数式是分式还是整式，关键看分母，若分母中含有字母且字母不等于0，则这个式子是分式;若分母中不含有字母，则这个式子是整式.注意圆周率π是常数，不是字母.
1． 在1????，????3，1?????????，?????2????2+1，?????????4，?????1π，????+????????，2????????中，分式有（????）
A．6 B．5 C．4 D．3

2． 在式子：2????、????+????5、12?????、????7、????2????+1中，分式的个数是 ．
?
【详解】解：2????、????+????5、12?????、????7、????2????+1中，分式有2????、12?????、????2????+1，共3个．故答案为：3．
?
【详解】解：1????，56+????，9????+10????，????2????是分式，有4个，故选：B．
?
【详解】分式有∶1????，1?????????，?????2????2+1，????+????????，2????????，共5个，故选：B．
?
题型一 分式的基础
类型二 分式有/无意义、值为0的条件
例2． 若分式?????1????的值为0，则x的值是 ；若分式1?????7有意义，则实数x的取值范围是 ；当x= 时，分式?????1????+6无意义．
?
【详解】解：若分式???1????的值为0，则?????1=0且????≠0，解得????=1；
若分式1?????7有意义，则实数?????7≠0，解得????≠7；
若分式?????1????+6无意义，则????+6=0，解得????=?6；
故答案为：1，????≠7，?6．
?
【方法总结】本题考了分式的值为零的条件，
1）分式有意义的条件，分式的值为零即分子为0且分母不为0；
2）分式有意义即分母不为0；
3）分式无意义即分母为0．
1． 如果分式32????+4无意义，????+4????2+2的值为0，求?????2????的值．
?
【详解】解：∵分式32????+4无意义，
∴2????+4=0，
∴????=?2；
∵????+4????2+2的值为0，
∴????+4=0且????2+2≠0，∴????=?4；
∴?????2????=?2?2×?4=?2+8=6．
?
题型一 分式的基础
类型三 分式取正值或负值的判断
例3． 如果分式32????+1的值为负数，那么x应满足的条件是 ．
?
解题方法：1）先将分式整理为??????的形式，根据除法法则可知，当A，B取值同号时，原式值为正；当A，B取值异号时，原式值为负，两种情况不能遗漏.
?
【详解】解：∵分式32????+1的值为负数，∴2????+1<0，故答案为：?????
1． 若分式2?2????????2?4的值为正数，则x的取值范围为 ．
?
【详解】解：由题意可知：
解得，????故本题答案为：?????
&2?2????>0&????2?4>0或&2?2????<0&????2?4<0
?
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个_____________________，分式的值不变.
字母表示：
考点二 分式的性质
AB=A?CB?C（C≠0），AB=A÷CB÷C(C≠0)，其中A，B，C是整式.
?
【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0；
③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何____________，分式的值不变.
即：
【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的___________.
不等于0的整式
两项
AB=?A?B=??AB=?A?B，?AB=??A?B=?AB=A?B.
?
相反数
分式的约分的定义：根据分式的基本性质，约去分子和分母的__________，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
最简分式：分子与分母______________的分式叫做最简分式.
公因式
没有公因式
题型二 分式的基本性质
类型一 利用分式的性质变形
例1． 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（???）
A．????????=????+1????+1 B．????????=????2????2????????????????????C．????2?????2?????????=????????? D．??????????????+????=?1
?
D
【解题方法】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变，即可得出答案．
?
例2． 不改变分式0.2????+15?0.3????的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，0.2????+15?0.3????=
?
【详解】解：把分式0.2????+15?0.3????的分子分母同时乘以10得2????+1050?3????，∴0.2????+15?0.3????=2????+1050?3????，故答案为：2????+1050?3????（答案不唯一）．
?
1． 下列分式变形正确的是（???）
A．????2?????2?????????=????????? B．2????+????????2=2+?????????????????C．0.2????+10.5????=2????+15???? D．????2?4????+4?????2=?????2
2． 将分式0.3????+0.5????0.2?????????的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ．
?
D
3????+5????2?????10????
?
题型二 分式的基本性质
类型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化（改变符号）
例3． 如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
A
1． 与分式?1?????1的值相等的是（????）
A．1??????1 B．?1????+1 C．11????? D．11+????
2． 与分式?????+??????????????相等的是（????）
A．????+????????????? B．?????????????+???? C．?????+????????????? D．???????????????+????
?
C
B
题型二 分式的基本性质
类型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化（所含字母括号同时扩大n倍）
例4． 将分式2?????????????中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（????）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的12 D．扩大为原来的4倍
?
解题方法：1）分子分母次数相同时，分式的值不变；
2）分子比分母次数高n，则分式的值扩大????????倍；
3）分母比分子次数高n，则分式的值缩小为原来的1????????.
?
A
1． 分式????????+????2????的值为????，将????，????都扩大2倍，则变化后分式的值为（ ）
A．4???? B．12???? C．???? D．2????
2． 若分式????2????+????中的????和????都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则????可能是（???）
A．????2 B．????+???? C．???????? D．3
3． 若将????、????的值扩大3倍，分式????2?2????????+????2????2?????2的值（　　）
A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
?
D
B
【详解】解：将????、????的值扩大3倍，则????变为3????，????变为3????，代入分式????2?2????????+????2????2?????2可得：
(3????)2?2×(3????)×(3????)+(3????)2(3????)2?(3????)2=9????2?18????????+9????29????2?9????2
∵分子分母可提取公因式9，∴9????2?18????????+9????29????2?9????2=9(????2?2????????+????2)9(????2?????2)=????2?2????????+????2????2?????2
新分式与原分式相同，所以分式的值不变．故选：B．
?
题型二 分式的基本性质
类型四 约分与最简分式
例5． 在分式????????????2????+????????2，????+????????2?????2，????+????????2+????2，2????2+????中，最简分式有 个
?
[学会总结]找最简公分母的方法
1.找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的_______________；
2.找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取；
3.找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的_____________.
最小公倍数
最大值
【详解】解：????????????2????+????????2=????????????????????+????=1????+????，故不是最简分式；
????+????????2?????2=????+????????+?????????????=1?????????，故不是最简分式；
????+????????2+????2，2????2+????不能继续化简，是最简分式．∴最简分式有2个．故答案为：2．
?
1． 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)????2?4????+4????2?4；
(2)3?????????????64?????????3．
?
【详解】（1）解：????2?4????+4????2?4=?????22?????2????+2=?????2????+2；则????2?4????+4????2?4不是最简分式；
（2）解：3?????????????64?????????3=3?????????????64?????????3=3?????????????34．则3?????????????64?????????3不是最简分式．
?
题型二 分式的基本性质
类型四 约分与最简分式
例6． 约分：(1)4????2?????2????????； (2)24????3????2?36????2????4； (3)????2?4????????4????????2?????2????； (4)????2+????????????2+2????????+????2．
?
【详解】（1）解：4????2?????2????????=?2?????2????????2?????????=?2????????????；（2）解：24????3????2?36????2????4=?12????2????2?2????12????2????2?3????2=?2????3????2；
（3）解：????2?4????????4????????2?????2????=?????????4????????????4?????????=?1????；（4）解：????2+????????????2+2????????+????2=????????+????????+????2=????????+????．
?
1． 约分：(1)?12????????2????36????????2； (2)4????2?????2?????2+4?????????4????2； (3)(1?????)2(1+????)2????2?12．
?
【详解】（1）解：?12????????2????36????????2=?2????????????；
（2）解：4????2?????2?????2+4?????????4????2=2????+????2???????????????2????2=????+2?????????2????；
（3）解：1?????21+????2????2?12=1?????21+????2????+12?????12=1．
?
考点三 分式的乘除法
1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即
4）分式乘除运算的“三注意”
（1）运算顺序：分式的乘除运算要____________依次运算；
（2）运算技巧：乘除混合运算，先统一成____________运算，能约分的要先____________ ，以减少运算量；
（3）代入求值时，选取的字母值一定要使原式中每个分式____________.
从左到右
乘法
约分
都有意义
题型三 分式的乘除法
类型一 分式的乘除运算
例1． 计算：（1）2?????????????4= ；（2）?6????????÷3????22????= ；（3）3?????????2????22= ．
?
【方法总结】分式乘除运算的“三注意”
1）运算顺序：分式的乘除运算要____________依次运算；
2）运算技巧：乘除混合运算，先统一成____________运算，能约分的要先____________ ，以减少运算量；
3）代入求值时，选取的字母值一定要使原式中每个分式____________.
从左到右
乘法
约分
都有意义
【方法总结】分式乘方的“三注意”
1）要把分式加上______________，分式中分子、分母的___________也要乘方；
2）分式乘方时，分式本身的______________，也要同时乘方；
3）注意分子、分母乘方后的符号.
括号
系数
符号
????2
?
?4????2????
?
9????2????24????4
?
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算：????????3??????2????2．
?
解：????????3??????2????2=????????3?????24????2=14????????．
?
2．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：????2?4????2????2+2????????+????2÷????+2????????+????．
?
解：原式=????+2?????????2????????+????2?????+????????+2????，=?????2????????+????．
?
题型三 分式的乘除法
类型二 分式的乘除混合运算
【总结】分式乘除混合运算的一般解题步骤：
1)分解因式：将分式分子、分母中的多项式分解因式；
2)化除为乘：将除法统一转化为乘法；
3)约分：将分式分子、分母中相同的因式进行约分；
4)整理结果：将分式分子、分母中剩下因式分别相乘，并整理结果.
注意：乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，应按照从左到右的顺序进行计算.
例2．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）化简：2????????3?????2????2÷6????4????3??3????????22．
?
解：2????????3?????2????2÷6????4????3??3????????22
=4????2????6????4????2×????36????4×9????2????4
=2????6????4????2×????33????2×9????2????4
=2????93????2????4????2×9????2????4
=2????5????2????2????2×3=6????5????2????2????2．
?
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)????????26????2??4????????2÷????????；(2)?????3????2?????2+?????????3?????????+1；(3)(2????3????????)2?(????????????)?(?????????2????2)3．
?
【详解】（1）解：????????26????2??4????????2÷????????=????????26????2??4????????2?????????=?23；
（2）?????3????2?????2+?????????3?????????+1=?????32????2?????????+1?????3?????????+1=?????3．
（3）(2????3????????)2?(????????????)?(?????????2????2)3=4????6????2????2??????????????(?????3????38????6)=4????7?????????(?????3????38????6)=?????????4????22．
?
考点四 分式的加减法
分式的加减法法则
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}分母类别
文字表述
数字语言
同分母分式
分母__________，把分子______________
异分母分式
先通分，变为___________的分式，再加减
不变
相加减
同分母
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式________的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
最简公分母：一般取各分母的所有因式的_____________的积作为公分母，叫做最简公分母.
相等
最高次幂
分式的混合运算的运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
题型四 分式的加减法
类型一 通分与最简公分母
例1． 分式1????2?1、2????2?????的最简公分母是 __________，通分为_____________．
?
[学会总结]找最简公分母的方法
1.找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的_______________；
2.找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取；
3.找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的_____________.
最小公倍数
最大值
????????+1?????1
?
????????????+1?????1、2????+1????????+1?????1
?
1． 分式????+1????2?2????+1和????????2?????的最简公分母是 ．
2． 通分：1????2?4，????4?2????，2????+2．
3． 下列通分是否合理？若不合理，请改正．
(1)????3?????1,26?6????；解：????3?????1=????6?6????3?????16?6????=6?????6????????18?????11?????，26?6????=6?????1181??????????1=6?????6181??????????1．
(2)1?????1?????2,2????2?2????+1．解??1(?????1)(?????2)=????2?2????+1?????1?????2????2?2????+1，2????2?2????+1=2?????1?????2????2?2????+1?????1?????2．
?
?????????12/????1?????2
?
【详解】解：最简公分母是2????+2?????2，
则1????2?4=22(????+2)(?????2)，????4?2????=?????2(?????2)=?????(????+2)2(????+2)(?????2)，2????+2=2×2(?????2)(????+2)?2(?????2)=4(?????2)2(????+2)(?????2)．
?
【详解】（1）解：原式通分不合理，改正：????3?????1=2????6?????1，26?6????=?26?????1；
（2）解：原式通分不合理，改正：1?????1?????2=?????1?????12?????2，2????2?2????+1=2?????2?????12?????2．
?
题型四 分式的加减法
类型二 分式加减混合运算
例2． 计算：
(1)????2?????2??????2；(2)2?????2????2?1+2????????+1；
(3)?????2????????+??????????????????+????+??????4????????+4????．
?
【名师总结】同分母分式加减的“两注意”
1）分子加减时，特别是分子相减，一定要把减式的分子加上___________，否则易出现符号错误；
2）最后的结果必须 ___________.
括号
最简分式
【名师总结】异分母分式加减的“两步骤”
1）通分:(1)找各分式的___________；
(2)确定各分式的分子、分母通分后需要乘的式子.
2）化简:通分后，按___________分母分式的加减法法则进行运算.
最简公分母
同
【详解】解： （1）原式=????2?????2?????2?4?????2=4?????2；
（2）原式=2(?????1)(????+1)(?????1)+2????????+1=2????+1+2????????+1
=2(????+1)????+1=2；
（3）原式=?????2?????????+????????+?????????+4????????+4????=?????????+?????1=???????????????????+????=?????+2????????+????．
?
1． 计算????+1+1?????1的结果是（???）
A．????2?????1 B．?????????1 C．?????1 D．????2
?
【详解】原式=????+1?????1?????1+1?????1=????2?1?????1+1?????1=????2?????1，故答案为：A．
?
2． 已知????为整式，若计算????????????+????2?????????2+????????的结果为?????????????????，则????=（???）
A．????????? B．????+???? C．???? D．????
?
【详解】解：∵ ????????????+????2???????2+????????=?????????????????，∴ ????????????+????2=?????????????????+????????2+????????，∴????????=(?????????)(????+????)+????2，
∴????????=????2，∴????=????；故选D．
?
3． 如果3????+7(?????1)(?????2)=?????????1+?????????2，那么????= ，????= ．
?
【详解】解：?????????1+?????????2=?????????2+?????????1?????1?????2=????+?????????2??????????????1?????2，
∴3????+7(?????1)(?????2)=????+?????????2??????????????1?????2，∴
解得： ，故答案为：?10，13．
?
&????+????=3&?2?????????=7
?
&????=?10&????=13
?
题型四 分式的加减法
类型三 分式混合运算
例3． 分式计算：
(1)3????????2÷?6????2????3?12????????2；
(2)2?????6?????2÷5?????2??????2；
(3)????+2????2?2??????????1????2?4????+4÷?????4????；
(4)1????+1?3?????????2?6????+9÷????+12?????6．
?
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式.
【详解】解：（1）原式=3????????2÷?216????6????3?144????2????2
=3????????2??????3216????6?144????2????2=?2????2????2；
?
（2）原式=2?????6?????2÷5?????2?????+2?????2?????2
=2?????6?????2÷5?????2?????2?4?????2
=2?????6?????2÷9?????2?????2=2?????3?????2×?????23?????3+????=?23+????；
?
题型四 分式的加减法
类型三 分式混合运算
例3． 分式计算：
(3)????+2????2?2??????????1????2?4????+4÷?????4????；
(4)1????+1?3?????????2?6????+9÷????+12?????6．
?
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式.
（3）原式=????+2?????????2??????1?????22÷?????4????
=????+2?????2??????????1?????????22×?????????4
=????2?4?????2+?????????????22×?????????4
=?????4?????????22×?????????4=1?????22；
?
（4）原式=1????+1?3??????????32÷????+12?????3
=1????+1?3??????????32×2?????3????+1
=1????+1+2????+1=3????+1．
?
1． 化简：(1+1?????1)?1?????2????= ．
2． 化简分式1?3????2????÷3????2????×2????3????= ．
3． 计算：1??????????????+2????÷????2?????2????2+4????????+4????2= ．
?
【详解】解：原式=?????1+1?????1?(1+????)(1?????)????=?????1??????(1+????)(1?????)????=??????1．
?
【详解】解：原式=1?3????2????÷1=1?3????2????=2?????3????2????；
?
【详解】解：1??????????????+2????÷????2?????2????2+4????????+4????2
=1??????????????+2????÷????+?????????????????+2????2
=1??????????????+2?????????+2????2????+?????????????
=1?????+2????????+????=????+????????+?????????+2????????+????
=????+??????????2????????+????
=?????????+????
?
题型四 分式的加减法
类型四 分式的化简求值
例4． 先化简：????2+1?????1?????+1÷4????????2?1，再从?1?
解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化.
【详解】解：????2+1?????1?????+1÷4????????2?1
=????2+1?????1??????1?????1?????1??????1????+14????
=????2+1?????2+2?????1?????1??????1????+14????
=2?????????1??????1????+14????
=????+12，
?
对于?1当????=0或1的时候，原分式无意义，
∴????=2，则原式=2+12=32．
?
1． 小颖和小红在化简1????+2+1?????2?????2?4????2的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式=?????2????+2?????2+????+2????+2?????2?????2?4????2… 小红：原式=1????+2?????2?4????2+1?????2?????2?4????2…
(1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质????B．等式的基本性质????C．乘法结合律????D．乘法分配律
(2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“?2，1，2”中选一个合适的数作为????的值，代入求该分式的值．
?
A
?
D
?
（2）解：选择小颖的解法：
1????+2+1?????2?????2?4????2
=?????2????+2?????2+????+2????+2?????2?????2?4????2
=2????????+2?????2·????+2?????2????2=2????，
?
∵????2≠0,????+2?????2≠0，
∴????≠0,????≠?2,????≠2，
∴????=1，则原式=21=2；
?
1． 小颖和小红在化简1????+2+1?????2?????2?4????2的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式=?????2????+2?????2+????+2????+2?????2?????2?4????2… 小红：原式=1????+2?????2?4????2+1?????2?????2?4????2…
(1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质????B．等式的基本性质????C．乘法结合律????D．乘法分配律
(2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“?2，1，2”中选一个合适的数作为????的值，代入求该分式的值．
?
A
?
D
?
选择小红的解法，1????+2+1?????2?????2?4????2
=1????+2?????+2?????2????2+1???2?????+2?????2????2
=?????2????2+????+2????2，
=2??????2=2????；
?
∵当????为2，?2时，原式无意义，
∴当????=1时，原式=21=2．
?
考点五 解分式方程
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即
解分式方程的步骤
1）去分母化为_________________方程.
2）解整式方程.
3）检验整式方程的解是否使最简公分母等于_______________.
注意:检验是解分式方程的必要步骤，当整式方程的解不使最简公分母为___________时，它是原分式方程的解，否则就是原分式方程的____________，原分式方程无解.
整式
0
0
增根
【易错点】
1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误.
2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
【注意事项】分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型五 解分式方程
类型一 解分式方程
例1． 解方程：
(1)22?????1=????+54????2?1
(2)????+3?????1?8????2?1=1
?
【详解】（1）解：22?????1=????+54????2?1，
方程两边同乘2????+12?????1，得22????+1=????+5，
解得????=1，
检验：当????=1时，2????+12?????1≠0，
∴????=1是该分式方程的解．
?
（2）解：????+3?????1?8????2?1=1，
方程两边同乘????+1?????1，得????+3????+1?8=????+1?????1，
解得????=1，
检验：当????=1时，????+1?????1=0，
∴????=1不是该分式方程的解，原分式方程无解．
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}习题1：计算：a?1a2?1+aa+1
解：原式=a?1a+1a?1+aa?1a+1a?1…第一步
=a?1+aa?1……………………………第二步
=a2?1………………………………………第三步
习题2：解方程：2x+1=xx+1+1
解：方程两边同乘x+1，得2=x+1……第一步
解得x=1……………………………………第二步
经检验，x=1是分式方程的解……………第三步
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
1． 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
(1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误；
(2)任选一个习题写出正确的解答过程．
二
一
（2）解：习题1：原式=?????1????+1?????1+????????+1=1????+1+????????+1=????+1????+1=1；
?
习题2：方程两边同乘????+1，得2=????+????+1，解得????=12，
检验：当????=12时，????+1=32≠0，∴????=12是原方程的解．
?
题型五 解分式方程
类型二 根据分式方程的解的情况求字母参数
例2． 在去分母解关于x的分式方程?????????4=2?????4?????的过程中产生增根，则????= ．
?
解题思路：
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明：
①原方程去分母后的整式方程无解；
②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.
3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
【详解】解：方程两边同乘?????4得：
????=2(?????4)+????，
解得：????=8?????，
∵关于????的分式方程?????????4=2?????4?????有增根，
∴?????4=0，
解得：????=4，
将????=4代入方程????=8?????，
解得：????=4．
故答案为：4
?
题型五 解分式方程
类型二 根据分式方程的解的情况求字母参数
例3． 关于x的分式方程??????????????1=21?????无解，则????= ．
?
【详解】解：??????????????1=21?????
??????????????1=?2?????1
?????????=?2
解得：????=????+2，
由于分式方程??????????????1=????1?????无解，即分式方程有增根????=1，故当????=1时，????+2=1，
解得：????=?1，故答案为：?1．
?
1． 关于????的方程2????+????????+1=3的解是负数，则????的取值范围是
?
【详解】解：2????+????????+1=3，解得：????=?????3，
∵????+1≠0，∴????≠?1，∴?????3≠?1，∴????≠2，
∵方程的解是负数，∴????<0，∴?????3<0，即????<3，∴????的取值范围为????<3且????≠2．
?
2． 已知关于x的方程?????????1+31?????=1的解为正数，则m的取值范围是 ．
?
【详解】解：去分母，得?????3=?????1，
移项、合并同类项，得????=?????2，
∵方程的解为正数，∴?????2>0，∴????>2，
∵?????2≠1，∴????≠3，∴m的取值范围是????>2且????≠3．
?
3． 若关于????的方程3?2?????????3+1=?????????23?????无解，求????的值．
?
【详解】解：3?2?????????3+1=?????????23?????，
∴3?2?????????3+?????3?????3=?????????+2?????3，
∴??????????3=?????????+2?????3，
∴?????=?????????+2，∴????(?????1)=2，
当整式方程无解时，?????1=0，即????=1；
当产生增根时，即????=3时，3(?????1)=2，解得：????=53；
综上，当方程无解时，????=1或????=53．
?
题型五 解分式方程
类型三 分式方程的实际应用（列方程）
例3．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度????等于由物质组成的物体的质量????与它的体积????之比，即????=????????．已知A，B两个物体的密度之比为2:1，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积大27cm3．如果设物体A的体积是????cm3，那么根据题意列方程为（???）
A．100????=2×200????+27 B．2×100????=200????+27???????
C．100????=2×200?????27 D．2×100????=200?????27
?
A
题型五 解分式方程
类型三 分式方程的实际应用（列方程）
1．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（???）
A．1200????×1.5=1000????+5 B．1200????×1.5=1000?????5??????
C．1200????=1000?????5×1.5 D．1200????=1000????+5×1.5
2．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为????人，则可列方程（???）
A．10????=40????+6 B．10????=40?????6 C．10????+6=40???? D．10?????6=40????
?
A
D
题型五 解分式方程
类型三 分式方程的实际应用
例4．（24-25八年级上·北京·期末）列分式方程解应用题：
为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的23，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？
?
【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶????千米，则
1823????=12????+13，
解得：??=45，
经检验符合题意；
答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米．
?
1．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为(?????20)吨，
根据题意得：960????=720?????20，
方程两边同乘????(?????20)，
得960(?????20)=720????，
解得????=80，
经检验，????=80是分式方程的解；
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
?
2． 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？
?
【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75????元．
根据题意得：21000.75?????1200????=20，
解得????=80，
经检验????=80是原分式方程的解，且符合实际，
∴0.75????=0.75×80=60．
答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元．
?
3．（2025·北京石景山·二模）某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理1000张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有20000张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在15分钟内处理完，并说明理由．
?
【详解】解：使用????型计算机，能在15分钟内处理完，理由如下：
设????型计算机处理图像的速度是????张/分钟，则????型计算机处理图像的速度是8????张/分钟．
由题意可知，1000????=10008????+5．
解得????=175．经检验：????=175是原方程的解且符合实际意义．
所以8????=8×175=1400．
因为20000÷1400=1427，1427<15，所以使用????型计算机，能在15分钟内处理完20000张图像．
?
题型一 裂项相消法
1． 观察下列各式：11×2=1?12；12×3=12?13；13×4=13?14；
请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：
(1)1????????+1=________；
(2)请你按利用发现的规律计算：12+16+112+???+1????????+1；
(3)利用上面规律解方程：1?????2????+1????????+2+1????+2????+4+???+1????+2024????+2026=1????+2026．
?
1?????1????+1
?
（2）解：原式=11×2+12×3+13×4+???+1????????+1=1?12+12?13+13?14+???+1?????1????+1=1?1n+1=????????+1；
?
（3）解：1?????2????+1????????+2+1????+2????+4+???+1????+2024????+2026=1????+2026，
121?????2?1????+1?????1????+2+???+1????+2024?1????+2026=1????+2026，
121?????2?1????+2026=1????+2026，
解得：????=1016，经检验，????=1016是原方程的解，∴原方程的解是????=1016．
?
题型二 新定义问题
1． 定义一种新运算：????※????=3?????1????，例：2※4=3×2?14=234．根据这种运算法则，完成下列各题：
(1)计算：1????※2????；
(2)计算：(????+1)※(?????2)；
(3)计算：1?????????※(????+????)?2????????2?????2．
?
【详解】（1）解：1????※2????=3?????12????=3?2????2?????????????2????????=6?????????2????????；
?
（2） ????+1※?????2=3(????+1)?1?????2=3(????+1)(?????2)?????2?1?????2=3????2?3?????7?????2；
?
（3）解：1?????????※????+?????2????????2?????2=3??????????1????+?????2????????2?????2=3????+?????????????????+??????????????????+??????????????2????????+?????????????
=3(????+????)?(?????????)?2????(?????????)(????+????)=2(????+????)(?????????)(????+????)
=2?????????．
?
题型二 新定义问题
2． 现定义一种新的运算：????※????=????2?????1，例如：3※4=32×4?1=37，若关于x的方程????※????=?2的解为非负数，求m的取值范围．
?
【详解】解：由题意得：????2?????1=?2，
∴????=?4????+2，
∴????=2?????4，
∵关于x的方程????※????=?2的解为非负数，
∴????=2?????4≥0，
∴ ????≤2，
∵2?????1≠0，即2×2?????4?1≠0，解得????≠0，
∴m的取值范围为：????≤2且????≠0．
?
一、核心概念
分式定义：形如????????（A、B是整式，B含字母且B≠0）的式子。
关键条件：分式有意义：分母B≠0；分式无意义：分母B=0；分式值为0： 分子A=0且分母B ≠ 0。
二、基本性质
性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式值不变，即AB=A?CB?C=A÷CB÷C(C≠0) 。
主要应用：
1）约分：分子分母同除以最大公因式，将分式化为最简分式（分子分母没有公因式）。
2）通分：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积），再将异分母分式化为同分母分式。
?
三、运算规则
1）乘除法：乘法： 除法：
2）加减法：同分母：
异分母：先通分，再按同分母法则计算
3）乘方： （n为正整数）
四、解分式方程的步骤
五、常见误区
1）忽略分母不为0的前提，直接代入数值计算。
2）约分时错误删除分母（分式不同于整式）。-
3）通分时最简公分母找错，导致计算复杂。
4）运算结果未化为最简分式。
5）解分式方程忘记验根.
感谢聆听!