§1.1.2余弦定理的教学案例
教学目标
知识与技能
探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察、猜想、验证、证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会应用余弦定理解决解斜三角形的类基本问题。
过程与方法
通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。通过余弦定理解决一些现实问题。
情感、态度与价值观
培养学生合情合理数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普通联系与辩证统一。增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维能力。
教材分析
余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角” ，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等” 。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。
学情分析
1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：
①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。
2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。
3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。
教学重点和难点
教学重点：余弦定理的证明及其基本应用。
教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。
教学过程设计
1、教学基本流程：
①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。
②余弦定理的证明：以小组自学讨论及老师引导的形式启发学生用向量的方法得到余弦定理的证明。
③应用余弦定理解斜三角形。
2、教学情景：
①知识回顾：由学生回答正弦定理及其主要解决三角形的哪几类问题
设计意图：回顾就知，防止遗忘，要求学生温故而知新。
②创设情境，提出问题，引入新课。
问题：以千岛湖求两岛间的距离引入，已知两岛间的距离及夹角如何求另两岛间的距离。
老师活动：以上问题能否用正弦定理来解决，请同学们尝试一下，如果解决不了，思考它是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？
学生活动：动手做一做，学生展示。
【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。
③求异探新，证明定理
问题1：这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.我们知道已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？
学生活动： 在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。
老师活动： 你能用向量证明勾股定理吗？发挥小组团结的力量，共同解决以下问题，相信自己一定行。
【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而引入新的任务。
问题2：自学提纲
学生活动：小组合作探究，完成填空。
老师引导： 即证
证明过程：
类似地可以证明b2 = ( )，a2 = ( )。
老师活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。得出结论，上式就是余弦定理。 师生强调：得出了余弦定理，还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。
【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。
问题3：请同学们观察以下各式的结构有什么特征？能用语言描述吗？
学生活动：口头表达，纷纷展示。
老师活动：及时纠错，及时鼓励。
学生齐读：余弦定理的内容是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
老师追问：当三角形的某一内角等于（ ）度时，余弦定理就变成了（ ）定理，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广。这个定理有什么作用？千岛湖的问题能解决吗？
学生动手进行验证，解答千岛湖的第三边问题。
学生归纳出余弦定理的第一个作用：已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角。（学生齐读）
【设计意图】首先肯定学生成果，进一步的追问，可以使学生的思维更加严密，培养学生的观察能力和归纳总结能力。
问题4：请同学们继续思考：余弦定理还有别的用途吗？若把千岛湖的问题进行变动，已知三边a,b,c,如何求角？请同学们尝试后把余弦定理进行变形。
学生动手进行验证，解答千岛湖的各角问题。
学生活动：个别展示，小组交流。
学生归纳出余弦定理的第二个作用：已知三边，求三个角。（学生齐读）
老师活动; 进行巡视，个别辅导，及时肯定，及时鼓励，及时评价。
【设计意图】培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。
问题5：请问同学们这节课你有收获吗？想学以致用吗?那请小组继续自学教材第50页的两个例题。比一比，赛一赛。看哪一个小组先发现这两个生活实际问题的解决能否用今天我们学的余弦定理？如何解决？
学生活动：小组合作探究，讨论交流。
老师活动：进行巡视，个别辅导，及时纠错，及时鼓励。
【设计意图】增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维能力。
④运用定理，解决问题
让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。
学生活动：动手做一做，个别板演，进行展示。
①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
老师活动：让学生总结余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。
【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，即①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。
⑤小结
本节课的主要内容是余弦定理的证明，从向量的数量积进行探究，得出余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。
【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。
⑥作业
第1题：用正弦定理证明余弦定理。
【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。
第2题：在△ABC中，已知，求角A和C和边c。
【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。
五、板书设计
六、设计思想
本节课采用探究式、讨论法课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题的导向设计教学情境，以“余弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等讨论的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、解决问题的能力和创新的能力。重在培养学生学习的积极性和主动性，它是影响知识、技能掌握和智能发展的一个重要因素，是学生学习上的内在动力，教学中激励、唤醒、调动学生的这个内在动力，是上好数学课、提高课堂效率的关键。我认为在课堂教学中给学生创设自由开放、充满活力的课堂环境：尽可能的给学生多一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现自己的机会。让学生在学习中担当“发现者”、“研究者”、“探究者”、“胜利者”，体会学习的乐趣。在这样的教学环境中学生保持愉快而兴奋的心境，改被动学习为主动学习，改要我学习为我要学习，从而激发学生的学习主动性和积极性。
课件19张PPT。1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理 本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识，加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式，通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要性。
教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通过例2巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角形的形状等知识。
余弦定理的由来高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度同理可证如图所示，根据向量的数量积，可以得到cabBAC余弦定理是什么？怎样证明？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理: 回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明余弦定理的方法？（1）坐标法（2）直角三角形的边角关系（3）正弦定理（三角变换） 证 明 方 法证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是(b,0)．坐标法证明余弦定理教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．思考：你会用直角三角形或正弦定理来证明余弦定理吗？ 想一想： 余弦定理能够解决什么问题？ a2=b2+c2-2bccosA
b2=c2+a2-2cacosB
c2=a2+b2-2abcosC方程思想：四个量，知三求一
1.已知两边和它们的夹角求另一边（直接用）；
2.已知三边求角（变形）.
3.判断三角形形状
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此例2、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形（角度精确到1?）解：由余弦定理的推论得已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。?已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。变式训练二：解：?????
变式3:在△ABC 中，已知 a=10, b=8, c=6,判断△ABC的形状.?????三角形中的边角关系余弦定理定理内容定理证明定理应用(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角。(3)判断三角形形状THANK YOU !
