三次函数的性质探究

三次函数的性质探究
北京市苹果园中学 刘喜荣
教学目标：
1）知识与技能：
能结合函数图象，利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性、极值、零点等知识；
进一步理解函数的单调性、极值的有关概念；
2）过程与方法：
通过探究三次函数的单调性极值等性质，体验研究函数的一般方法，领悟函数与方程、数形结合的数学思想方法；
进一步理解导数在研究一般函数单调性、极值问题中的工具作用；
3）情感态度价值观：
通过从具体函数到一般的三次函数的探究，感受从特殊到一般的认识事物和发现规律这一哲学原理.
教学重点：探究三次函数的单调性和极值
教学难点：对三次函数单调性充要条件的认识
教学方法：启发式教学，实验探究
教学过程：
1、 课题的引入：
形如的函数叫做三次函数.
三次函数，是一类神秘而又神奇的函数：
历史上，…；没有导数的时候，…；事实上的神奇，同学赋予它的"神奇".(实物投影展示)希望通过本节课的探究.撩开它神秘的面纱，还原其美丽而又朴实的本来面目.
引例：关于函数，我知道…
运用几何画板，引例.gsp
板书课题
2、 磨刀霍霍
回顾二次函数的主要性质和研究方法
为什么？
是什么？板书
明确问题和初步的研究方法，需要研究三次函数的什么性质 怎么研究
三、小试牛刀（问题的初步解决）
1定义域：；
2值域为；
3单调性
一般地，的单调性是什么样的？为了便于研究，不妨设. 用什么方法研究三次函数的单调性 （导数，图象）
(1) 若，则在上为增函数；
(2) 若，则在上为增函数；
（3）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.
(-∞， ) （，+∞)
的符号 + 0 +
的单调性 ↗ ↗
学生讨论完成下表（1）结合三次函数及其导函数的图象知识，完成下表前三行
的图象
的图象
的极值情况
（2）函数在上是单调函数的充分必要条件是____;
例1：（投影）
(1) 函数在上是单调递减，则实数的取值范围是_______;
(2) 在内某一点处有水平切线，求实数m的取值范围.
分析讨论，纳入知识结构
例2：已知函数的图象如右，
则函数的图象可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4.极值：
函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系
（投影）三次函数，
(1)若，则在R上无极值，如前表所示；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
（投影）例3.函数的极值点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．由确定
5零点个数( 根的性质)
函数的图象与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？
联系函数的极值，进行等价转化
几何画板演示，做数学试验：让函数图像或者x轴动起来，从相对运动的角度找出规律，归纳，表述结论.
一个交点------极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”.
两个交点------
三个交点------
例4： 函数与x轴恰有一个交点，求实数m的取值范围.
结合图形探索，
一般情况：
更一般的情况，讨论
形成结论
四、回顾与反思
1、本节课所学的基本知识，我的收获：
2、研究三次函数的一般方法，能推广到其他更为广阔的背景下吗？
五、课后巩固
1、作业：教材第 30页B组第4题 ，海淀练习册第16 页第10—12题.
2、思考题：
（1）完成下题并思考三次函数的对称性：
求函数在处的切线与轴的交点，1是极值点吗？
（2）四次函数会有几个极值点？（提示，考虑三次函数的零点情况）
六、板书设计
投影区域 课题…………………
的图象
的图象
的极值
七、教学反思
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3、