福建省厦门市同安第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（PDF版，含解析）

同安一中 2025－2026 学年高二上学期第一次月考数学科试卷
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选
项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上.
1．已知直线 l1 : ax y 1 0， l2 : ax 4y 2 0，则“a 2 ”是“ l1 l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量a 1,0,1 ，b 2,0, 2 ，若 ka b a kb 2，则 k 的值为（ ）
3 2 1
A．1 B． C． D．
5 5 5
3．P、Q 分别为 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋6＝0 上任一点，则|PQ|的最小值为 ( )
9 18
A． B． C．3 D．6
5 5
π
4．已知sin 2sin ，则sin2 （ ）
2
4 4 4 4 2
A． B． C． 或 D．
5 5 5 5 5
5．若点 A 3,4 ， B 5,3 到直线 l : 2x ay 1 0的距离相等，则a （ ）
18 18
A．4 B． 4 C．4 或 D． 4或
7 7
6．在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB BC，BB1 2AB 2BC ，M ，N 分别是 B1C A B1 ， 1 1
的中点，则直线BM 与直线CN 所成角的余弦值（ ）
3 13 2 13 5 2 5
A． B． C． D．
13 13 5 15
ex 1
7．函数 f x sin x 在区间 , 上的图象大致为（ ）
ex 1
A． B．
C． D．
高二数学月考试卷第 1 页，共 4 页
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8．函数 y loga x 3 1（ a 0且a 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线mx ny 2 0
1 2
上，其中m,n均大于 0，则 的最小值为 （ ）
m n
A．2 B．4 C．8 D．16
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对得 6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得 0分.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．命题" ∈ , sinx 1"的否定是“ x∈R，sinx>1"
1
B．“a>1"是 <1”的充分不必要条件
a
C．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a2 +b2 > c2，则△ABC 为锐
角三角形
D．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2A= sin2B，则 A=B
10．下列说法中正确的是（ ）
A． a b a b 是a,b共线的充分不必要条件
B．若 AB,CD 共线，则 AB / /CD
3 1 1
C．A, B,C 三点不共线，对空间中任意一点O，若OP OA OB OC ，则P, A, B,C
4 8 8
四点共面
D．若P, A, B,C为空间四点，且有PA PB PC
（ PB, PC 不共线），则 1是 A, B,C 三点共线的充
要条件
11．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为4, P,Q分别
为棱DD1, D1A1的中点，则（ ）
π
A．直线 PQ与BD所成的角为
3
B．BQ∥CP
6
C．二面角P AC D的余弦值为
3
D．点D到平面QBC 的距离为2 2
高二数学月考试卷第 2 页，共 4 页
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三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5分,共 15分.
12．已知向量a (1,3)，b (2, 4) ，则 a 在b 上的投影向量是 ．
13．已知复数 z a bi，其中a,b R且a b 1，则 z 1 i 的最小值是 .
14．对于两个空间向量a x1, y1, z1 与b x2 , y2 , z2 ，我们可以定义它们之间的欧式距离为
d 2 2 2a,b x1 x2 y1 y2 z1 z ，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；2
根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为D a,b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ，曼哈顿
距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最
短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为1的正
方体 ABCD A1B1C1D1中，d BD1,CB1 ；若点 P 在上底面
A1B1C1D1内（含边界）运动，且 AP 2 ，则D AB,AP 的取值范
围是 ．
四、解答题:本题共 5 小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤.
15．已知VABC 的三个顶点分别是 A(2,3), B(1,2),C(4, 4) .
(1)求边BC 上的高线 AD所在直线的方程；
(2)若直线 l 过点 B ，且点 A、C 到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程；
(3)求△ 的面积.
π
16．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC ，D 是棱 AC 的中
2
点， AB BC BB 1 2.
(1)求 C 点到平面BDC1 的距离.
(2)求直线 A1B 与平面BDC1 所成的角的正弦值.
17．在△ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a2 b2 c2 bc．
(1)求角 A 的大小；
b c 4, ABC 3(2)若 的面积为 ，求a的值.
2
高二数学月考试卷第 3 页，共 4 页
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18．如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， BAD 60 , DE AB 于点E，将VADE沿 DE
折起到△A1DE 的位置，使 A1D BE，如图 2．
(1)求多面体 A1 BCD 的体积；
(2)求二面角E A1D B 的余弦值；
(3)在线段 BD 上是否存在点 P ，使平面
BP
A1EP 平面 A1BP？若存在，求出 的值；
BD
若不存请说明理由．
19．“绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如
图 1），将这些点两两连成线段（如图 2），就得到由线段构成的“绣曲线” A1A2 A3 A4 A9 ．
“绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程
y kx 1，当 k 取定时，表示一条直线；当 k 变化时，表示过点 0,1 的直线（除 y 轴外）的
直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处
的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
已知：在直角坐标系中，点 A 的坐标是 a,a ，点 B 的坐标是 a 9,9 a ．当实数 a 变化时，
动直线 AB 组成的直线族记为 ．
(1)判断点P 0,4 是否在 中的某条直线上，并说明理由；
(2)点C 1, y0 不在 中的任意一条直线上，求 y0 的取值范围；
(3)写出 的包络的方程，并给出证明．
高二数学月考试卷第 4 页，共 4 页
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《同安一中 2025－2026学年高二上学期第一次月考数学科试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A C B A B AB ACD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据两直线垂直，列出方程求得a的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即
可求解.
【详解】由题意，直线 l1 : ax y 1 0， l2 : ax 4y 2 0，
若 l1 l2，可得a
2 1 ( 4) 0，解得a 2，
即 l1 l2的充要条件是a 2，所以“a 2 ”是“ l1 l2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．D
【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出 k 的
值.
2
【详解】由已知得 a 12 02 12 2 ， b 22 02 2 2 2 ，
且 a b 1 2 0 0 1 2 0，
由 ka b a kb 2 2 2得， ka k 2 a b a b kb 2，
1
即 2k 8k 2，解得 k
5
故选：D
3．C
【详解】|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．
6x＋8y＋6＝0 化为3x 4y 3 0，
| 3 12 |
所以两平行线的距离为 3，
32 42
所以|PQ|的最小值为 3.
故选：C.
4．A
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式及弦化切公式计算即可得.
答案第 1 页，共 12 页
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π
【详解】sin 2sin 2cos ，则 tan = - 2，
2
sin2 2sin cos 2 tan 4 4
则 sin2 .
sin2 cos2 sin2 cos2 tan2 1 4 1 5
故选：A.
5．C
【分析】分 A, B在直线 l 的同侧和 A, B分别在直线 l 的两侧两种情况分析即可求解.
4 3 2
【详解】若 A， B 在直线 l 的同侧，则 ，解得a 4；
3 5 a
7
若 A， B 分别在直线 l 的两侧，则直线 l 经过 AB的中点 4, ，
2
7 18
则8 a 1 0 ，解得a ．
2 7
故选：C
6．B
【分析】建立空间直角坐标系，设BC a a 0 ，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
【详解】因为直三棱柱 ABC A1B1C1，所以BB1 底面 ABC ，
又BA, BC 底面 ABC ，所以BB1 BA，BB1 BC ，
又因为 AB BC，所以BA, BC, BB1 两两垂直，
以BA, BC, BB 为 x, y, z1 轴建立如图所示坐标系，
a a
设BC a a 0 ，则B 0,0,0 ，C 0,a,0 ，M 0, , 2a ，N ,0, 2a ，
2 2
a a
所以BM 0, , 2a ，CN , a, 2a ，
2 2
设直线BM 与直线CN 所成角为 ，
答案第 2 页，共 12 页
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3 2
BM CN a 2 13
则 cos cos BM ,CN
2 ，
BM CN 3 13 13
a a
2 2
2 13
所以直线BM 与直线CN 所成角的余弦值为 .
13
故选：B
7．A
【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据 x 0, 时函数的符号即可求解.
e x 1 ex 1
【详解】由 f ( x) sin( x) sin x f (x)，
e x 1 ex 1
可知 f x 为偶函数，
ex 1
又由当 x 0, 时， f x sin x 0 .
ex 1
故选：A
8．B
【解析】易得函数过定点 A 2, 1 ，再根据 A在直线mx ny 2 0上，得到2m n 2，
然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解.
【详解】因为函数 y loga x 3 1（ a 0且a 1）的图象恒过定点 A 2, 1 ，
又因为点 A在直线mx ny 2 0上，
所以 2mx n 2 0，即2m n 2，
1 2 1 1 2 1 n 4m 1 n 4m
所以 2m n 4 4 2 4 ,
m n 2 m n 2 m n 2 m n


2m n 2 1
m
当且仅当 n 4m ，即 2 取等号，
m n n 1
1 2
所以 的最小值为 4
m n
故选：B.
9．AB
【解析】根据命题的否定，充分条件与必要条件的定义，逐个选项进行判断即可
【详解】对于 A，符合命题的否定的定义，A 正确；
1 1 1
对于 B，“a>1”可以推导出 <1，但是 <1，包括 a 0，所以， <1 无法得出 a>1，所以，
a a a
答案第 3 页，共 12 页
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B 正确；
对于 C，在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a2 +b2 > c2，只能说明 C 为
锐角，无法说明△ABC 为锐角三角形，C 错误；

对于 D，sin2A= sin2B，当 A B 时，同样成立，D 错；
2
故选：AB
10．ACD
uuur uuur
【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断 A，利用 AB,CD共线，
则直线 AB，CD 可能重合判断 B，利用四点共面的结论判断 C，由向量线性运算及共线判定，
结合充分必要性定义判断 D.
2 2
【详解】对于 A：由 a b a b 2 a b 2a b cosa,b 1，
此时a ，b 共线，充分性成立，
若a ，b 同向共线，且 a b ，则 a b 0，显然 a b a b 不成立，
必要性不成立，
所以“ a b a b ”是“a,b共线”的充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B：若 AB,CD 共线，则直线 AB，CD 可能重合，故 B 错误；
3 1 1 3 1 1
对于 C：由 1，且OP OA OB OC ，
4 8 8 4 8 8
根据空间向量共面的推论知P, A, B,C四点共面，故 C 正确；
对于 D：PA PB PC （PB, PC 不共线），若 1，
则PA PB 1 PC PC PB PC ，所以PA PC PB PC ，
即CA CB，所以 A, B,C 三点共线，反之也成立，
所以 1是 A, B,C 三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故 D 正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】A 选项，作出辅助线，得到直线 PQ与BD所成的角为 BDA1，而△BDA1为等边三
角形，从而求出异面直线所成角；B 选项，由于BE∥CP ，而BE 与BQ相交，故 B 错误；C
选项，作出辅助线，得到线线垂直， POD为二面角P AC D的平面角，求出各边长，
答案第 4 页，共 12 页
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OD 6
求出cos POD ；D 选项，证明面面垂直，点D到平面QBC 的距离等于点D到CD1
OP 3
1
的距离，即 C1D ，故 D 正确.
2
【详解】对于 A，如图（1），连接BA1, DA1, P,Q分别为棱DD1, D1A1的中点， PQ∥ DA1，
π
则直线 PQ与BD所成的角为 BDA1，而△BDA1为等边三角形，则 BDA1 ，
3
π
故直线 PQ与BD所成的角为 ，故 A 正确.
3
对于 B，设E为 AA1 的中点，连接 BE ，如图（1），由于 BE∥CP，而 BE 与BQ相交，
直线BQ,CP异面，故 B 错误；
对于 C，如图（2），记 AC BD O，则 AO CO ，连接OP ，
CP AP 42 22 2 5, OP AC .
又四边形 ABCD为正方形， OD AC ，
故 POD为二面角P AC D的平面角，
又OC OD 2 2, OP CP2 OC2 (2 5)2 (2 2)2 2 3，
OD 2 2 6
在Rt ODP中，cos POD ，故 C 正确.
OP 2 3 3
对于 D，平面QBC 即平面 A1D1CB ，显然 A1D1⊥平面CDD1C1 ，
又 A1D1 平面 A1D1CB ，所以平面CDD1C1 平面 A1D1CB ，
1
故点D到平面QBC 的距离等于点D到CD1的距离，即 C1D ，
2
在正方形CDD1C1 中易得此距离为2 2 ，故 D 正确.
答案第 5 页，共 12 页
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故选：ACD
12．（ 1，2）
【分析】根据投影向量的定义计算即得.
3 2
13．
2
【分析】借助复数几何意义及点到直线距离公式计算即可得.
【详解】复数 z 在复平面内对应的点Z a,b ，在直线 x y 1上，
z 1 i 的几何意义是点Z a,b 到点C 1, 1 的距离，
其最小值为点C 1, 1 到直线 x y 1的距离，
1 1 1 3 2
故最小值为d .
12 12 2
3 2
故答案为： .
2
14． 5 1, 3
【分析】以 A为坐标原点，AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标
系，求出向量 BD 、CB d BD ,CB1 1 的坐标，结合题中定义可求得 1 1 的值；分析可知在上底面
π
A B C D 内，点 P 在以 A1 1 1 1 1为圆心，1为半径的圆周上，设点P cos ,sin ,1 ， 0, 2
，利

用题中定义结合三角函数的基本性质可求得D AB, AP 的取值范围.
【详解】以 A为坐标原点，AB、AD、AA 所在直线分别为 x 、 y1 、 z 轴建立空间直角坐标
系，
答案第 6 页，共 12 页
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则B 1,0,0 、C 1,1,0 、B1 1,0,1 、D1 0,1,1 ，则BD1 1,1,1 ，CB1 0, 1,1 ，
2
所以d BD1,CB1 1 22 02 5 ．
因为 P 在上底面 A AP 21B1C1D1内（含边界）运动，且 ，
则 A A1P 1，即在上底面 A1B1C1D1内，点 P 在以 1为圆心，1为半径的圆周上，
π
可设P cos ,sin ,1 ，则 AB 1,0,0 ， AP cos ,sin ,1 ， 0, 2
，

π

π
所以D AB, AP cos 1 sin 1 2 sin cos 2 2 sin ，
4
0, ，
2


π π π π 2 2
因为 ，则sin , ，所以D AB, AP 1,3 ．
4 4 4 4 2 2
故答案为： 5 ； 1,3 .
15．(1) x 2y 4 0；
(2) 7x 2y 11 0或5x 4y 13 0；
9
(3) .
2
【分析】（1）求出直线BC 的斜率，进而求出直线 AD的斜率及方程.
（2）根据给定条件，求出过点 B 与直线 AC 平行或过边 AC 的中点的直线方程即可.
（3）求出边BC 长，再求出点 A到直线BC 的距离即可求出三角形面积.
4 2
【详解】（1）由B(1,2),C(4, 4)，得直线BC 的斜率为 2，
4 1
1 1
又 AD是边BC 上的高线，则直线 AD的斜率为 ，而 A(2,3)，
2 2
1
所以直线 AD的方程为 y 3 (x 2) ，即 x 2y 4 0 .
2
（2）由点 A、C 到直线 l 的距离相等，得直线 l 与边 AC 所在的直线平行或过边 AC 的中点，
答案第 7 页，共 12 页
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4 3 7
①当直线 l 与直线 AC 平行时，由 A(2,3),C(4, 4)，直线 AC 的斜率 kAC ，
4 2 2
7
则直线 l 的斜率为 ，而直线 l 过点B(1,2)，
2
7
因此直线 l 的方程为 y 2 (x 1)，即7x 2y 11 0；
2
1
②当直线 l 过边 AC 的中点时，由 A(2,3),C(4, 4)，得边 AC 的中点 (3, ) ，
2
1
2
又B(1,2)，则直线 l 的斜率 2 5 ，
3 1 4
5
因此直线 l 的方程为 y 2 (x 1)，即5x 4y 13 0，
4
所以直线 l 的方程为7x 2y 11 0或5x 4y 13 0 .
（3）由点B(1,2),C(4, 4)，得 | BC | (4 1)2 ( 4 2)2 3 5 ，
4 2
直线BC 的斜率为 2，直线BC 的方程为 y 2 2(x 1)，即2x y 4 0，
4 1
| 2 2 3 4 | 3 5
点 A(2,3)到直线BC 的距离h ，
22 12 5
1 1 3 5 9
所以VABC 的面积 S | BC | h 3 5 .
2 2 5 2
2 3
16．(1)
3
6
(2)
3
【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可；
（2）利用线面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）由题意可知，BA, BC, BB1 两两垂直，
于是建立如图所示的空间直角坐标系B xyz ,
答案第 8 页，共 12 页
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则B 0,0,0 ， A1 0,2,2 ，C1 2,0,2 ，D 1,1,0 ，C 2,0,0
∴ BC1 2,0,2 ，BD 1,1,0 ，CC1 0,0, 2 .
r
设平面BDC1 的一个法向量为n x, y, z ，
n BD 0 x y 0
即 ，令 x 1，则n 1,1,1 .
n BC 0 2x 2z 01
CC1 n 2 2 3
所以点 C 到平面BDC1 的距离d .
n 3 3
（2）设直线 A1B 与平面BDC1 所成的角为 ，
BA1 0,2,2 ，
BA1 n 0 2 2 6
sinθ cos n, BA1 ，
BA1 n 2 2 3 3
6
所以直线 A1B 与平面BDC1 所成的角的正弦值为 .
3
π
17．(1) A
3
(2) a 10
【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式，结合题中条件即可求解.
【详解】（1）由a2 b2 c2 bc可得bc b2 c2 a2 ，
b2 c2 a2 bc 1
故 cos A ，
2bc 2bc 2
π
由于 A 0,π ,故 A ，
3
1 1 3 3
（2）由 S ABC bc sin A bc ，故bc 2，
2 2 2 2
答案第 9 页，共 12 页
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2 2 2 2 2又bc b c a 得bc b c 2bc a2 ，故a2 b c 3bc 16 6 ，
故 a 10 ，
3
18．(1)
3
21
(2)
7
1
(3)存在，
4
【分析】（1）根据线面垂直判定证BE 平面 A1DE ，再由线面垂直性质有 A1E BE ，由线
面垂直判定 A1E 平面BCDE ，最后应用三棱锥体积公式计算求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 A A DE1BD 和平面 1 的法向量，再应用向量法求二
面角余弦值；
（3）令P x1, 1y 1, z ，BP BD 0 1 ,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数 ，
即可得答案.
【详解】（1）因为DE AB，即BE DE ,
又BE A1D, DE A1D D , DE, A1D 平面 A1DE ，
所以BE 平面 A1DE ， A1E 平面 A1DE ，所以 A1E BE .
又 A1E DE, BE DE E , BE, DE 平面BCDE ，所以 A1E 平面BCDE ，
1 1 1 3
所以VA BCD S BCD A1E 2 2 sin60 1 . 1 3 3 2 3
（2）因为 A1E 平面BCDE ，BE DE，以E为原点，EB, ED, EA1为 x, y, z轴，建立空间
直角坐标系，
则B 1,0,0 , D 0, 3,0 , A1 0,0,1 ，所以BA1 1,0,1 , BD 1, 3,0 ,
答案第 10 页，共 12 页
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n BA1 x z 0
设平面 A1BD 的法向量n x, y, z ，由 ，得n 3,1, 3 ，
n BD x 3y 0
因为BE 平面 A1DE ，所以平面 A1DE 的法向量EB 1,0,0 ，所以
n EB 3 21
cosn, EB .
n EB 7 7
21
因为所求二面角为锐角，所以二面角E A1D B 的余弦值为 .
7
（3）假设存在线段BD上存在一点 P ，使得平面 A1EP 平面 A1BP ,
设P x1, y1, z1 ，BP BD 0 1 ，则 x1 1, y1, z1 1, 3,0 .
所以P 1 , 3 ,0 ，设平面 A1EP的法向量m a,b,c ，
m EA1 c 0
由 ，令a 3 ，得m 3 , 1,0 ，
m EP 1 a 3 b 0
1
因为平面 A EP 平面 A1BP1 ，所以m n 3 1 0，解得 0,1 ，
4
BP 1
所以在线段BD上存在点 P ，使得平面 A A BP1EP 平面 1 ，且 .
BD 4
19．(1)在，理由见解析
41
(2) ,
9
x2 9
(3) y ，证明见解析
18 2
【分析】（1）由两点坐标，则可得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程的性质，可得
答案；
（2）由（1）所得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程无解的情况，建立不等式，可
得答案；
（3）由题意写出曲线方程，利用导数的几何意义，求得任意一点的切线方程，整理可得答
案.
a 9 a 2a 9
【详解】（1）由 A a,a ，B a 9,9 a ，则直线 AB的斜率 k ，
a a 9 9
2a 9
所以直线 AB 的方程为 y x a a
9
2a 9
将P 0,4 的坐标代入 AB 的方程，得到关于 a 的方程4 0 a a ，
9
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2
即 a2 9a 18 0，因为Δ 9 4 18 9 0，所以此方程有实数解，
因此点P 0,4 在 中的某条直线上．
（2）点C 1, y0 不在 中的任意一条直线上，
2a 9 2
所以关于 a 的方程 y 1 a a 无实数解，即2a 20a 9 1 y0 0 0无实数解．
9
1 9 41
因此Δ 400 72 1 y0 0，解得 y0 ．
18 2 9
41
因此， y0 的取值范围是 , ．
9
x2 9
（3） 的包络是抛物线 y ．
18 2
证明如下：
2a 9
过点 a,a 和 a 9,9 a 的直线的方程是 y x a a，
9
2
x2 9 2a 9 9
该直线与抛物线 y 切于点 2a 9, ．
18 2 18 2
x2 9 x
2 9 x
设T x 1, y1 为抛物线 y 上任意一点，由函数 y 求导可得 y ，
18 2 18 2 9
x
在T x1, y1 处的切线方程是 y
1 x x1 y1，
9
x21 9 x x
2 9
将 y 代入整理得，1 y
1 x 1 ．
18 2 9 18 2
2
9 x
a 1 2a 9 2a 9 取 ，该切线方程为 9y x ，
2 9 18 2
2a 9
整理得 y x a a，是过点 a,a 和 a 9,9 a 的直线．
9
x2 9
因此，抛物线 y 是 的包络．
18 2
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