第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
学习 目标 1. 理解n次方根、根式、分数指数幂和有理数指数幂的概念． 2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和有理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P104—P107，完成下列填空．
1. n次方根的概念与性质
(1) n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
(2) n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝ x＝ x＝0 不存在
(3) 0的任何次方根都是 ．
2. 根式
(1) 式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数．
(2) 性质(当n>1，n∈N*时)：
①()n＝ ；
②＝
3. 分数指数幂
(1) 分数指数幂的意义
分数 指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数 指数幂 规定：a－＝ ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 ， 0的负分数指数幂
(2) 分数指数幂的运算性质
①aras＝ (a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q).
典例精讲能力初成
探究1 n次根式
视角1 n次方根的概念问题
例1-1 (1) (多选)下列说法正确的是( )
A. 16的4次方根是2
B. 的运算结果是±2
C. 当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D. 当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
(2) 已知m10＝2，则m等于( )
A. B. －
C. D. ±
视角2 根式的求值与化简
例1-2 (课本P105例1)求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
变式 求值或化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) (其中x＜0，y＜0，z＜0).
探究2 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) (a>0)；
(2) ；
(3) (b>0).
根式与分数指数幂互化的规律：
(1) 根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子；(2) 在具体计算时，通常先把根式转化成分数指数幂的形式，再利用有理数指数幂的运算性质解题．
变式1 (多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. －＝(－x)
B. ＝y3(y<0)
C. x＝(x≠0)
D. []＝x(x>0)
变式2 将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1) a3·；
(2) (a>0，b>0).
探究3 分数指数幂与根式的化简与运算
例3 (课本P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1) (2ab)(－6ab)÷(－3ab)；
(2) (mn－)8；
(3) ÷.
变式 (1) 化简下列各式：
①；
②÷.
(2) 求下列各式的值：
①＋2-2×－(0.01)0.5；
②－(30.5)2＋(0.008)－×.
随堂内化及时评价
1. 计算：＝( )
A. B.
C. D.
2. 式子a经过计算可得到( )
A. B.
C. － D. －
3. (2025·汕尾期末)(多选)下列各式计算正确的是( )
A. ＝e－3(e＝2.718 28…)
B. (a4)2＝a6
C. 4-1＋＝
D. ··＝a(a>0)
4. (课本P107练习2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
(1) (x>0)；
(2) (m>n)；
(3) (a>0)；
(4) ·(p>0).
5. (课本P107练习3)计算下列各式：
(1) ；
(2) 2×3×；
(3) aaa－(a>0)；
(4) 2x－.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是( )
A. ＝a(a>0)
B. x－＝－(x>0)
C. x－y＝(x>0，y>0)
D. []＝x(x>0)
2. 若ab<0，则化简a＋b的结果是( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
3. 下列各式正确的是( )
A. ＝a
B. ＝
C. a0＝1
D. ＝
4. 化简(2a-3b－)·(－3a-1b)÷(4a-4b－)(a>0，b>0)的结果为( )
A. －b2 B. b2
C. －b D. b
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( )
A. 64的6次方根是±2
B. ＝3
C. ＝±3
D. ＝|x＋y|
6. 下列运算(化简)正确的有( )
A. (a)-1·(a-2)－＝a
B. (xa-1y)a·4y－a＝4x
C. [(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝3－2
D. 2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－
三、 填空题
7. 216＋－＋π0＝ ．
8. 化简： － ＋＝ .
四、 解答题
9. 用分数指数幂的形式表示下列根式(式中字母都是正数)．
(1) ；
(2) (－)÷；
(3) .
10. 化简求值：
(1) (a>0)；
(2) ＋＋2·(e－1)0－8×；
(3) ＋(0.002)－10(－2)-1＋(－)0.
11. (1) 求值：＋＝ ．
(2) 化简：＋＋＋＋＝ ．
12. 关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.141 592 6<π<3.141 592 7；②用作为约率，作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题．约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：3.141 592 65＝3＋≈3＋≈3＋＝，舍去0.062 513 5，得到逼近π的一个有理数为3＋＝，类似地，把化为连分数形式：1＋(m，n，k为正整数，r为0到1之间的无理数)，舍去r得到逼近的一个有理数为 ．
13. 化简：×＝ ．第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
学习 目标 1. 理解n次方根、根式、分数指数幂和有理数指数幂的概念． 2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和有理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探基础落实
公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．
一、 生成概念
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．例如，±2就是4的平方根．
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．
类似地，由于(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；由于25＝32，我们把2叫做32的5次方根．
请同学阅读课本P104—P107，完成下列填空．
二、 概念表述
1. n次方根的概念与性质
(1) n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n>1，且n∈N*.
(2) n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝____ x＝__±__ x＝0 不存在
(3) 0的任何次方根都是__0__．
2. 根式
(1) 式子叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做被开方数．
(2) 性质(当n>1，n∈N*时)：
①()n＝__a__；
②＝
3. 分数指数幂
(1) 分数指数幂的意义
分数 指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数 指数幂 规定：a－＝____＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于__0__， 0的负分数指数幂__没有意义__
(2) 分数指数幂的运算性质
①aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q).
典例精讲能力初成
探究1 n次根式
视角1 n次方根的概念问题
例1-1 (1) (多选)下列说法正确的是( CD )
A. 16的4次方根是2
B. 的运算结果是±2
C. 当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D. 当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
(2) 已知m10＝2，则m等于( D )
A. B. －
C. D. ±
【解析】因为m10＝2，所以m是2的10次方根. 又因为10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数，所以m＝±.
视角2 根式的求值与化简
例1-2 (课本P105例1)求下列各式的值：
(1) ；
【解答】＝－8.
(2) ；
【解答】＝|－10|＝10.
(3) ；
【解答】＝|3－π|＝π－3.
(4) .
【解答】＝|a－b|＝
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
变式 求值或化简：
(1) ；
【解答】＝－3.
(2) ；
【解答】＝＝3＝.
(3) ；
【解答】＝|3－π|＝π－3.
(4) (其中x＜0，y＜0，z＜0).
【解答】＝－＝－＝－x2y3z4.
探究2 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) (a>0)；
【解答】原式＝＝＝(a)＝a.
(2) ；
【解答】原式＝＝＝＝＝＝x.
(3) (b>0).
【解答】原式＝＝b××()＝b.
根式与分数指数幂互化的规律：
(1) 根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子；(2) 在具体计算时，通常先把根式转化成分数指数幂的形式，再利用有理数指数幂的运算性质解题．
变式1 (多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( CD )
A. －＝(－x)
B. ＝y3(y<0)
C. x＝(x≠0)
D. []＝x(x>0)
【解析】－＝－x≠，A错误；＝(y2)＝－y≠y3(y<0)，B错误；x＝(x≠0)，C正确；[]＝＝＝x(x>0)，D正确．
变式2 将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1) a3·；
【解答】a3·＝a3·a＝a.
(2) (a>0，b>0).
【解答】＝＝＝＝a－b.
探究3 分数指数幂与根式的化简与运算
例3 (课本P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1) (2ab)(－6ab)÷(－3ab)；
【解答】(2ab)(－6ab)÷(－3ab)＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4ab0＝4a.
(2) (mn－)8；
【解答】(mn－)8＝(m)8(n－)8＝m2n-3＝.
(3) ÷.
【解答】÷＝(a－a)÷a＝a－－a－＝a－a＝－a.
变式 (1) 化简下列各式：
①；
②÷.
【解答】①原式＝＝a－－－·b＋－＝a-1＝.
②原式＝[a×·a×()]÷[a×()·a×]＝a－＋－＝a0＝1.
(2) 求下列各式的值：
①＋2-2×－(0.01)0.5；
②－(30.5)2＋(0.008)－×.
【解答】①原式＝1＋×－＝1＋－＝.
②－(30.5)2＋(0.008)－×＝－3×2＋×＝－3＋4＝.
随堂内化及时评价
1. 计算：＝( B )
A. B.
C. D.
【解析】由题得＝＝＝.
2. 式子a经过计算可得到( D )
A. B.
C. － D. －
【解析】因为a，所以a<0，所以a＝a＝－.
3. (2025·汕尾期末)(多选)下列各式计算正确的是( CD )
A. ＝e－3(e＝2.718 28…)
B. (a4)2＝a6
C. 4-1＋＝
D. ··＝a(a>0)
【解析】＝|e－3|＝3－e，故A错误；(a4)2＝a8，故B错误；4-1＋＝＋＝，故C正确；··＝a·a·a＝a，故D正确．
4. (课本P107练习2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
(1) (x>0)；
【解答】当x>0时，＝x.
(2) (m>n)；
【解答】当m>n时，m－n>0，则＝(m－n).
(3) (a>0)；
【解答】当a>0时，＝＝a3－＝a.
(4) ·(p>0).
【解答】当p>0时，·＝p·p＝p＋＝p.
5. (课本P107练习3)计算下列各式：
(1) ；
【解答】＝＝＝.
(2) 2×3×；
【解答】2×3×＝2×3×3××(22×3)＝2×3×3×3×2－×2×3＝
21－＋×3＋1＋＋＝2×32＝18.
(3) aaa－(a>0)；
【解答】当a>0时，aaa－＝a＋－＝a.
(4) 2x－.
【解答】2x－＝x－＋－4x－－＝1－.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是( B )
A. ＝a(a>0)
B. x－＝－(x>0)
C. x－y＝(x>0，y>0)
D. []＝x(x>0)
2. 若ab<0，则化简a＋b的结果是( B )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】a＋b＝a＋b＝＋＝.因为ab<0，所以a，b异号，a|b|＋|a|b＝0，所以＋＝＝0，所以a＋b＝0.
3. 下列各式正确的是( D )
A. ＝a
B. ＝
C. a0＝1
D. ＝
【解析】＝|a|，A错误；因为＝>0，<0，所以≠，B错误；当a＝0时，a0无意义，C错误；因为－1>0，所以＝(－1)＝，D正确．
4. 化简(2a-3b－)·(－3a-1b)÷(4a-4b－)(a>0，b>0)的结果为( A )
A. －b2 B. b2
C. －b D. b
【解析】依题意，原式＝·a-3-1-(-4)·b－＋1＋＝－b2.
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是( AD )
A. 64的6次方根是±2
B. ＝3
C. ＝±3
D. ＝|x＋y|
6. 下列运算(化简)正确的有( ABD )
A. (a)-1·(a-2)－＝a
B. (xa-1y)a·4y－a＝4x
C. [(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝3－2
D. 2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－
【解析】(a)-1·(a-2)－＝a－＋＝a，故A正确；(xa-1y)a·4y－a＝4x·aya－a＝4xy0＝4x，故B正确；[(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝[(－1)2]－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故C错误；2a3b·(－5ab)÷(4)＝[2×(－5)÷4]a3＋－b＋－＝－ab－，故D正确．
三、 填空题
7. 216＋－＋π0＝__41__．
8. 化简： － ＋＝__2__.
四、 解答题
9. 用分数指数幂的形式表示下列根式(式中字母都是正数)．
(1) ；
【解答】＝a－b－＝ab＝(ab).
(2) (－)÷；
【解答】(－)÷＝(3－3)÷3＝3－－3－＝3－3.
(3) .
【解答】＝[xy2·(xy)]＝(xy)＝xy.
10. 化简求值：
(1) (a>0)；
【解答】＝＝＝＝＝＝a.
(2) ＋＋2·(e－1)0－8×；
【解答】＋＋2·(e－1)0－8×＝＋＋2－2·2＝-1＋＋2－2＝＋－＝.
(3) ＋(0.002)－10(－2)-1＋(－)0.
【解答】＋(0.002)－10(－2)-1＋(－)0＝＋－＋1＝＋10－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
11. (1) 求值：＋＝__4__．
【解析】＋＝＋＝2＋＋2－＝4.
(2) 化简：＋＋＋＋＝__－1__．
【解析】＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝－1＋－＋－＋－＋－＝－1.
12. 关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.141 592 6<π<3.141 592 7；②用作为约率，作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题．约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：3.141 592 65＝3＋≈3＋≈3＋＝，舍去0.062 513 5，得到逼近π的一个有理数为3＋＝，类似地，把化为连分数形式：1＋(m，n，k为正整数，r为0到1之间的无理数)，舍去r得到逼近的一个有理数为____．
【解析】＝1＋(－1)＝1＋＝1＋＝1＋，舍去－1得到逼近的一个有理数为1＋＝.
13. 化简：×＝__2－__．
【解析】原式＝×××2＝××2＝××2＝××2＝××2＝××2＝×2＝2－.(共54张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第1课时 n次方根与分数指数幂
学习 目标 1. 理解n次方根、根式、分数指数幂和有理数指数幂的概念．
2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和有理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探 基础落实
一、 生成概念
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．例如，±2就是4的平方根．
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．
类似地，由于(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；由于25＝32，我们把2叫做32的5次方根．
请同学阅读课本P104—P107，完成下列填空．
二、 概念表述
1. n次方根的概念与性质
(1) n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__________，其中n>1，且n∈N*.
(2) n次方根的性质
n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝_____ x＝_______ x＝0 不存在
n次方根
(3) 0的任何次方根都是____．
0
根指数
a
|a|
3. 分数指数幂
(1) 分数指数幂的意义
0
没有意义
(2) 分数指数幂的运算性质
①aras＝________(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝______(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝_______(a>0，b>0，r∈Q).
ar＋s
ars
arbr
典例精讲 能力初成
探究
1
n次根式
1－1
CD
D
视角2 根式的求值与化简
(课本P105例1)求下列各式的值：
1－2
(课本P105例1)求下列各式的值：
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
变式
求值或化简：
求值或化简：
探究
将下列根式化成分数指数幂的形式：
2
根式与分数指数幂的互化
2
将下列根式化成分数指数幂的形式：
根式与分数指数幂互化的规律：
(1) 根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子；(2) 在具体计算时，通常先把根式转化成分数指数幂的形式，再利用有理数指数幂的运算性质解题．
变式1
CD
变式2
探究
(课本P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数)：
3
分数指数幂与根式的化简与运算
3
(课本P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数)：
变式
(2) 求下列各式的值：
随堂内化 及时评价
B
D
CD
4. (课本P107练习2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
4. (课本P107练习2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
5. (课本P107练习3)计算下列各式：
配套新练案
B
B
D
A
AD
【答案】ABD
41
四、 解答题
9. 用分数指数幂的形式表示下列根式(式中字母都是正数)．
9. 用分数指数幂的形式表示下列根式(式中字母都是正数)．
10. 化简求值：
10. 化简求值：
10. 化简求值：
4
