第2课时 无理数指数幂及幂的运算性质
学习 目标 1. 理解无理数指数幂的概念． 2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和无理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P107—P108，完成下列填空．
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是 ．这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质：
(1) aras＝ (a>0，r，s∈R).
(2) (ar)s＝ (a>0，r，s∈R).
(3) (ab)r＝ (a>0，b>0，r∈R).
典例精讲能力初成
探究1 无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式：
(1) (3)3；
(2) .
(1) 无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2) 在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
变式 (课本P109练习1)计算下列各式：
(1) (2)；
(2) aaa－π.
探究2 条件求值问题
例2 已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1) a＋a-1；
(2) a＋a－；
(3) .
变式 (1) 已知x＋y＝12，xy＝9，且x(2) 若实数x，y满足4x＋4y＝2(2x＋2y)，则2x-1＋2y-1的值可以是( )
A. B. 1
C. D.
探究3 实际问题中的指数运算
例3 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．若1兆＝10m，则m的值为( )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
指数运算在实际问题中的应用
在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
随堂内化及时评价
1. 化简[]的结果为( )
A. 5 B.
C. － D. －5
2. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. －＝(－x)
B. x－＝(x>0)
C. ＝y
D. []＝x(x<0)
3. 若3x－2y＝2，则＝( )
A. B.
C. 5 D. 25
4. 已知x＋x－＝3，则x2－x-2＝ ．
5. 2021年5月15日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星成功着陆．截至目前，“祝融号”火星车在火星上留下1 900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星．已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等．若火星与地球的公转周期之比约为9∶5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为( )
A. B.
C. D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若3x＝a，5x＝b，则75x等于( )
A. ab2 B. a2b
C. a2＋b D. a2＋b2
2. 化简(其中a>0，b>0)的结果是( )
A. B. －
C. D. －
3. 已知am＝4，an＝3，则的值为( )
A. B. 6
C. D. 2
4. 已知ab＝－5，则a＋b的值是( )
A. 2 B. 0
C. －2 D. ±2
二、 多项选择题
5. 已知a－＋a＝3，下列各式正确的是( )
A. a＋a-＝7
B. a＋a-＝18
C. a＋a－＝±
D. a-＋＝2
6. 下列各式一定成立的有( )
A. ＝n7m B. ＝
C. ＝(x＋y) D. ＝
三、 填空题
7. 已知x＝，y＝，则－的值为 ．
8. 计算：(－1.8)0＋×－＋＝ .
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
(1) 4+1·23-2；
(2) (×)2.
10. 已知x＋y＝12，xy＝9，且x(1) x＋y；
(2) x－y；
(3) x－y.
11. 已知x＝，n∈N*，则(x＋)n的值为( )
A. 3 B. 4
C. D. 5
12. 设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，则(x＋y)＋(x－y)的值为 ．
13. 中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如138可用算筹表示为 ．若1～9这9个数字的纵式与横式表示的数码如图所示，则16×27的运算结果可用算筹表示为 ．
(第13题)
14. 解方程：()x＋()x＝4.第2课时 无理数指数幂及幂的运算性质
学习 目标 1. 理解无理数指数幂的概念． 2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和无理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探基础落实
复习： 1. 分式指数幂
(1) 正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，n>1).于是，在条件a>0，m，n∈N*，n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．
(2) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1).
(3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2. 有理数指数幂
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
一、 生成概念
在初中的学习中，我么通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．
探究：根据的不足近似值x和过剩近似值y(下表)，利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值并填入表中，观察他们的变化趋势，你有什么发现？
的不足近 似值x 5x的 近似值 的过剩 近似值y 5y的近 似值
1.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.414 2 1.414 3
1.414 21 1.414 22
1.414 213 1.414 214
1.414 213 5 1.414 213 6
1.414 213 56 1.414 213 57
1.414 213 562 1.414 213 563
… … … …
可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是5.也就是说，5是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41, 51.414，
51.414 2，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42, 51.415，51.414 3，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．这个过程可以用下图表示．
思考：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如2，说明它也是一个确定的实数吗？
请同学阅读课本P107—P108，完成下列填空．
二、 概念表述
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是__一个确定的实数__．这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质：
(1) aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈R).
(2) (ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈R).
(3) (ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈R).
典例精讲能力初成
探究1 无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式：
(1) (3)3；
【解答】原式＝(3×2)3＝36×22＝2 916.
(2) .
【解答】原式＝a＋－π＝a－.
(1) 无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2) 在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
变式 (课本P109练习1)计算下列各式：
(1) (2)；
【解答】原式＝＝2×·m×2＝26m3＝64m3.
(2) aaa－π.
【解答】原式＝a＋－π＝a0＝1.
探究2 条件求值问题
例2 已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1) a＋a-1；
【解答】因为a＋a－＝4，所以(a＋a－)2＝a＋a-1＋2＝16，所以a＋a-1＝14.
(2) a＋a－；
【解答】(a＋a－)2＝a＋a－＋2＝6，因为a＋a－>0，所以a＋a－＝.
(3) .
【解答】因为a－a－＝(a)3－(a－)3，所以＝＝a＋a-1＋1＝15.
变式 (1) 已知x＋y＝12，xy＝9，且x【解答】因为＝＝①，又因为x＋y＝12，xy＝9②，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.因为x(2) 若实数x，y满足4x＋4y＝2(2x＋2y)，则2x-1＋2y-1的值可以是( C )
A. B. 1
C. D.
【解析】因为4x＋4y＝2(2x＋2y)，又4x＋4y＝(2x＋2y)2－2×2x×2y，所以(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，设2x＋2y＝t(t>0)，则t2－2×2x×2y＝2t，即2×2x×2y＝t2－2t.因为0<2×2x×2y≤2·，即0探究3 实际问题中的指数运算
例3 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．若1兆＝10m，则m的值为( D )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
【解析】1万＝104，所以1亿＝108，所以1兆＝108×108＝1016，所以m＝16.
指数运算在实际问题中的应用
在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
随堂内化及时评价
1. 化简[]的结果为( B )
A. 5 B.
C. － D. －5
【解析】原式＝[]＝[5]＝5×＝.
2. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( B )
A. －＝(－x)
B. x－＝(x>0)
C. ＝y
D. []＝x(x<0)
【解析】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，x－＝＝(x>0)，故B正确；对于C，＝y，y不能化简为y，故C错误；对于D，因为x<0，所以[]＝
{[(－x)2]}＝[(－x)2]＝(－x)，故D错误．
3. 若3x－2y＝2，则＝( B )
A. B.
C. 5 D. 25
【解析】＝52y-3x＝5-2＝.
4. 已知x＋x－＝3，则x2－x-2＝__±21__．
【解析】由x＋x－＝3可得＝x＋2＋x-1＝9，即x＋x-1＝7.又因为(x＋x-1)2＝(x－x-1)2＋4，即72＝(x－x-1)2＋4，可得(x－x-1)2＝45，即x－x-1＝±3，所以x2－x-2＝(x＋x-1)(x－x-1)＝7×(±3)＝±21.
5. 2021年5月15日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星成功着陆．截至目前，“祝融号”火星车在火星上留下1 900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星．已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等．若火星与地球的公转周期之比约为9∶5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为( A )
A. B.
C. D.
【解析】设地球的公转周期为5T，则火星的公转周期为9T.设地球、火星运行轨道的半长轴分别为m，n，则＝，于是＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若3x＝a，5x＝b，则75x等于( A )
A. ab2 B. a2b
C. a2＋b D. a2＋b2
2. 化简(其中a>0，b>0)的结果是( C )
A. B. －
C. D. －
3. 已知am＝4，an＝3，则的值为( A )
A. B. 6
C. D. 2
4. 已知ab＝－5，则a＋b的值是( B )
A. 2 B. 0
C. －2 D. ±2
【解析】由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b，由于ab<0，故＝－，则原式＝0.
二、 多项选择题
5. 已知a－＋a＝3，下列各式正确的是( ABD )
A. a＋a-＝7
B. a＋a-＝18
C. a＋a－＝±
D. a-＋＝2
6. 下列各式一定成立的有( BD )
A. ＝n7m B. ＝
C. ＝(x＋y) D. ＝
【解析】＝n7m-7，A错误；＝3＝，B正确；＝(x3＋y3)，C错误；＝(9)＝(9)＝，D正确．
三、 填空题
7. 已知x＝，y＝，则－的值为__－8__．
8. 计算：(－1.8)0＋×－＋＝__19__.
【解析】(－1.8)0＋×－＋＝1＋×－＋9＝1＋××3－10＋3×2＝1＋×－10＋27＝19.
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
(1) 4+1·23-2；
【解答】原式＝22+2·23-2＝22+2+3-2＝25＝32.
(2) (×)2.
【解答】原式＝(2×3)2＝29×32＝4 608.
10. 已知x＋y＝12，xy＝9，且x(1) x＋y；
【解答】因为(x＋y)2＝x＋y＋2＝18，所以x＋y＝3.
(2) x－y；
【解答】 (x－y)2＝x＋y－2＝6，又x(3) x－y.
【解答】x－y＝(x)2－(y)2＝(x＋y)·(x－y)＝3×(－)＝－6.
11. 已知x＝，n∈N*，则(x＋)n的值为( D )
A. 3 B. 4
C. D. 5
【解析】因为x＝(5－5－)，所以x2＝(5－2＋5－)，所以1＋x2＝(5＋2＋5－)＝(5＋5－)2，所以(x＋)n＝＝(5)n＝5.
12. 设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，则(x＋y)＋(x－y)的值为__8__．
【解析】令a＝A，b＝B，则x＝A3＋3AB2，y＝B3＋3A2B，x＋y＝A3＋3AB2＋3A2B＋B3＝(A＋B)3，x－y＝A3＋3AB2－3A2B－B3＝(A－B)3，所以(x＋y)＋(x－y)＝(A＋B)2＋(A－B)2＝2(A2＋B2)＝2(a＋b)＝8.
13. 中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如138可用算筹表示为 ．若1～9这9个数字的纵式与横式表示的数码如图所示，则16×27的运算结果可用算筹表示为____．
(第13题)
【解析】因为16×27＝(24)×(33)＝23×32＝72，所以从题中所给表示数码知72可用算筹表示．
14. 解方程：()x＋()x＝4.
【解答】令()x＝t，则原方程为t＋＝4，则t2－4t＋1＝0，解得t＝2±，当()x＝2－时，x＝2；当()x＝2＋时，x＝－2.故x＝±2.(共40张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第2课时 无理数指数幂及幂的运算性质
学习 目标 1. 理解无理数指数幂的概念．
2. 能正确运用分数指数幂、根式运算性质和无理数指数幂的运算性质进行化简、求值．
新知初探 基础落实
2. 有理数指数幂
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
请同学阅读课本P107—P108，完成下列填空．
二、 概念表述
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是_______________．这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质：
(1) aras＝________(a>0，r，s∈R).
(2) (ar)s＝______(a>0，r，s∈R).
(3) (ab)r＝_______(a>0，b>0，r∈R).
一个确定的实数
ar＋s
ars
arbr
典例精讲 能力初成
探究
1
无理数指数幂的运算
1
(1) 无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2) 在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
变式
探究
2
条件求值问题
2
变式
C
探究
《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．若1兆＝10m，则m的值为
( )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
3
实际问题中的指数运算
3
D
【解析】1万＝104，所以1亿＝108，所以1兆＝108×108＝1016，所以m＝16.
指数运算在实际问题中的应用
在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
随堂内化 及时评价
B
B
B
A
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若3x＝a，5x＝b，则75x等于 ( )
A. ab2 B. a2b
C. a2＋b D. a2＋b2
A
C
A
B
ABD
BD
19
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
10. 已知x＋y＝12，xy＝9，且x(3) x－y.
D
8
