4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念
学习 目标 1. 了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念． 2. 能用描点法或借助工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探基础落实
问题1：一尺之锤，日取其半．意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半．那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？
问题2：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么该种细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？
一、 生成概念
探究1：什么是指数函数增长模型和指数衰减模型？
问题3：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．如下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
时间/年 A地景区 B地景区
人次/ 万次 年增加量/ 万次 人次/ 万次 年增加量/ 万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1 005 102
2014 732 11 1 118 113
2015 743 11 1 244 126
思考1：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？
A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一些，而B地则更快．
可以采用作图的方式继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次．
根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后15年内游客人次的图象(图(1)和图(2)).
图(1)
图(2)
思考2：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？
观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为10万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
＝≈1.11，
＝≈1.11，
……
＝≈1.11，
值不变，所以B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1＝0.11，是一个常数．
结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
问题4：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
思考3：按照上述变化规律，生物体内碳14含量呈什么形式衰减？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么：
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1－p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1－p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1－p)3；
……
死亡5 730年后，生物体内碳14含量为(1－p)5 730.
根据已知条件，(1－p)5 730＝，从而1－p＝，所以p＝1－.
所以死亡生物体内碳14含量每年都以1－的衰减率衰减．
结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
探究2：指数函数的概念．
(1) 问题3中，x年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？
从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么y＝1.11x(x∈[1，＋∞)).这是一个函数关系，其中指数x是自变量．
(2) 问题4中，生物体内碳14含量和死亡年数之间有怎样的关系？
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y＝(1－p)x，即y＝x(x∈[0，＋∞)).
所以生物体内碳14含量与死亡年数之间存在着函数关系，指数x是自变量．
如果用字母代替上述两式中的底数1.11和，那么函数y＝1.11x和y＝x就可以表示为y＝ax的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量．
请同学阅读课本P111—P114，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 指数函数的定义：一般地，函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
注意：指数函数解析式的3个特征：
(1) 底数a为大于0且不等于1的常数；
(2) 自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；
(3) ax的系数是1.
2. 指数型函数：形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 函数y＝－2x是指数函数．( × )
(2) 函数y＝2x-1是指数函数．( × )
(3) 函数y＝(－5)x是指数函数．( × )
(4) 若函数y＝ax是指数函数，则a>0.( × )
典例精讲能力初成
探究1 指数函数的概念
例1 (1) 下列函数中是指数函数的是__③__．(填序号)
①y＝2·()x； ②y＝2x-1；
③y＝； ④y＝xx；
⑤y＝3－； ⑥y＝x.
【解析】①y＝2·()x的系数不是1，不是指数函数；②y＝2x-1的指数不是自变量x，不是指数函数；③y＝是指数函数；④y＝xx的底数是x不是常数，不是指数函数；⑤y＝
3－的指数不是自变量x，不是指数函数；⑥y＝x是幂函数．
(2) 若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．
【解析】因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，所以a2－3a＋3＝1，且a>0，a≠1，解得a＝2.
判断一个函数为指数函数的方法：
(1) 底数是大于0且不等于1的常数；
(2) ax前的系数为1；
(3) 自变量x必须位于指数的位置上，且系数为1.
变式 (1) 下列各函数中，是指数函数的是( D )
A. y＝(－3)x B. y＝－3x
C. y＝3x-1 D. y＝
(2) 若函数f(x)＝a2(2＋a)x是指数函数，则a＝__1__．
【解析】因为函数f(x)＝a2(2＋a)x是指数函数，所以a2＝1，2＋a>0且2＋a≠1，解得a＝1.
探究2 指数函数的解析式
例2 (1) 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(π)＝，求f(－π)的值．
【解答】因为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则aπ＝，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)-1＝()-1＝.
(2) 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(－2)＝，求f(2)·f(4)的值．
【解答】因为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(－2)＝，所以a-2＝，解得a＝2，于是f(x)＝2x，所以f(2)·f(4)＝22×24＝26＝64.
变式 (课本P114例1)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
【解答】因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π，所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π-1＝.
探究3 指数函数的值域与定义域
例3 (1) 函数y＝的定义域为( C )
A. (－∞，] B. (－∞，)
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
【解析】由题意得3x－27≥0，即3x≥33，解得x≥3.
(2) 函数f(x)＝4x－2x+1－1的值域是__[－2，＋∞)__．
【解析】因为f(x)＝(2x)2－2·2x－1，令2x＝t(t>0)，则m(t)＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(t>0).由于m(t)＝(t－1)2－2(t>0)在t∈(0，1)上单调递减，在t∈(1，＋∞)上单调递增，所以m(t)≥m(1)＝－2，故f(x)的值域为[－2，＋∞).
探究4 指数型函数的实际应用
(课本P114例2)(1) 课本P111问题1.如果平均每位游客出游一次可给当地带来
1 000元(不含门票)的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
【解答】设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)＝1 150×(10x＋600)，g(x)＝1 000×278×1.11x.利用计算工具可得，当x＝0时，f(0)－g(0)＝412 000.当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).结合下图可知，当x<10.22时，f(x)>g(x)，当x>10.22时，f(x)g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)(例4答)
(2) 课本P113问题2.某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
【解答】设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x).如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h(x)＝.当x＝10 000时，利用计算工具求得h(10 000)＝≈0.30.所以生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
(1) 解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2) 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
变式 随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为( B )
A. 3 000×0.069元
B. 3 000×1.069元
C. 3 000×0.0610元
D. 3 000×1.0610元
【解析】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2016年年底到2025年年底经过了9年，故把x＝9代入，即可求得y＝3 000×1.069.
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(3)＝，则f(x)的解析式为( C )
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝3x
【解析】由a3＝，解得a＝，所以f(x)＝.
2. 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( B )
A. y＝(－4)x B. y＝λx(λ>1)
C. y＝－4x D. y＝ax+2(a>0且a≠1)
【解析】对于A，底数不满足大于0且不等于1，故A错误；对于B，函数满足指数函数的形式，故B正确；对于C，－4x的系数不是1，故C错误；对于D，指数部分不是x，故D错误．
3. (课本P115练习1)下列图象中，有可能表示指数函数的是( C )
A B
C D
【解析】由于y＝ax>0(a>0，且a≠1)，所以A，B，D都不正确．
4. 据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( C )
A. y＝0.9 B. y＝m
C. y＝0.9m D. y＝(1－0.150x)m
【解析】设每年的衰减率为q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，所以x年后的湖水量y＝0.9m.
5. (1) 已知指数函数y＝(2a－1)x，则实数a的取值范围是__∪(1，＋∞)__；
【解析】由题知2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
(2) 已知指数函数y＝ax(a>0)的图象经过点(－1，2)，则x＝2时，y＝____．
【解析】由已知得2＝a-1，则a＝，函数式为y＝，所以当x＝2时，y＝＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数y＝(－3)x，y＝，y＝x-3，y＝()x，其中是指数函数的个数为( B )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 函数y＝的定义域为( C )
A. (－∞，] B. (－∞，)
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
3. 设函数f(x)＝若f＝8，则a＝( D )
A. B.
C. 1 D. 2
4. 某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2016年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕( B )
A. 8×1.19万公顷 B. 8×1.18万公顷
C. 8×1.17万公顷 D. 8×1.16万公顷
【解析】根据题意，2016年退耕8万公顷，x年后退耕8×1.1x万公顷，所以2024年需退耕8×1.18 万公顷．
二、 多项选择题
5. 如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数y(单位：千人)与时间x(单位：周)的关系式为y＝kax(a>0且a≠1)，则下列说法正确的有( BCD )
(第5题)
A. 疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等
B. 随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍
C. 估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周
D. 根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8 000人
【解析】由图象可知，f(1)＝1，f(2)＝2，即解得k＝，a＝2，所以y＝·2x＝2x-1，第三周，即x＝3时，感染人数为y＝4千人，所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加4－2＝2千人，故A错误；由y＝2x-1可知，第n周的感染人数为2n-1，则第n＋1周的感染人数为2n，第n＋2周的感染人数为2n+1，则第n＋1周新增感染人数为2n－2n-1＝2n-1，第n＋2周新增感染人数为2n+1－2n＝2n，＝2，故B正确；第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确；第四周，即x＝4时，感染人数y＝8千人，所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8 000人，故D正确．
6. 设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式正确的是( ABD )
A. f(x＋y)＝f(x)f(y)
B. f(x－y)＝
C. f＝f(x)－f(y)
D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
【解析】对于A，f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)，故A正确；对于B，f(x－y)＝ax－y＝ax·
a－y＝＝，故B正确；对于C，f＝a，f(x)－f(y)＝ax－ay，显然，a≠ax－ay，故C错误；对于D，n∈Q，f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D正确．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝__1__．
8. 已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为__(－∞，0]__，值域为__(0，2]__．
【解析】令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，所以f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞).令t＝－1，则其在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．又y＝为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，0].因为t＝－1≥－1，所以∈(0，2]，故f(x)的值域为(0，2].
四、 解答题
9. (1) 已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，求f(0)＋f(2)的值；
【解答】由f(1)＝2 a＝2 f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5.
(2) 已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，求a＋b的值．
【解答】因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1.因为y＝2x＋b是指数函数，所以b＝0.所以a＋b＝1.
10. 求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝；
【解答】要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0].因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以∈[0，1)，即函数y＝的值域为[0，1).
(2) y＝.
【解答】定义域为R，因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，所以≤＝16.又>0，所以函数y＝的值域为(0，16].
11. 设函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝__－1__．
【解析】由题意，函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，所以有f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1.当a＝－1时，有f(x)＝2x－2－x，显然此时f(x)的定义域为R，关于原点对称，且有f(－x)＝2－x－2－(－x)＝－(2x－2－x)＝－f(x)成立，故a＝－1满足题意．
12. 函数f(x)＝9x－4×3x＋9的值域为__[5，＋∞)__．
【解析】设t＝3x>0，则f(x)＝(3x)2－4×3x＋9，换元得g(t)＝t2－4t＋9＝(t－2)2＋5，t>0，显然当t＝2时，函数g(t)取到最小值g(2)＝5，所以函数f(x)＝9x－4×3x＋9的值域为[5，
＋∞).
13. 某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( A )
A. 甲食堂的营业额较高
B. 乙食堂的营业额较高
C. 甲、乙两食堂的营业额相等
D. 不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
14. 已知函数F(x)的图象如图所示，是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成．
(第14题)
(1) 求F(x)的解析式；
【解答】由题意知解得a＝，b＝，所以F(x)＝
(2) 比较ab与ba的大小；
【解答】因为＝＝<，
所以ab(3) 已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．
【解答】因为(m＋4)－b<(3－2m)－b，所以解得－第1课时 指数函数的概念
学习 目标 1. 了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念． 2. 能用描点法或借助工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P111—P114，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
注意：指数函数解析式的3个特征：
(1) 底数a为大于0且不等于1的常数；
(2) 自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；
(3) ax的系数是1.
2. 指数型函数：形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 函数y＝－2x是指数函数．( )
(2) 函数y＝2x-1是指数函数．( )
(3) 函数y＝(－5)x是指数函数．( )
(4) 若函数y＝ax是指数函数，则a>0.( )
典例精讲能力初成
探究1 指数函数的概念
例1 (1) 下列函数中是指数函数的是 ．(填序号)
①y＝2·()x； ②y＝2x-1；
③y＝； ④y＝xx；
⑤y＝3－； ⑥y＝x.
(2) 若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为 ．
判断一个函数为指数函数的方法：
(1) 底数是大于0且不等于1的常数；
(2) ax前的系数为1；
(3) 自变量x必须位于指数的位置上，且系数为1.
变式 (1) 下列各函数中，是指数函数的是( )
A. y＝(－3)x B. y＝－3x
C. y＝3x-1 D. y＝
(2) 若函数f(x)＝a2(2＋a)x是指数函数，则a＝ ．
探究2 指数函数的解析式
例2 (1) 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(π)＝，求f(－π)的值．
(2) 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(－2)＝，求f(2)·f(4)的值．
变式 (课本P114例1)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
探究3 指数函数的值域与定义域
例3 (1) 函数y＝的定义域为( )
A. (－∞，] B. (－∞，)
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
(2) 函数f(x)＝4x－2x+1－1的值域是 ．
探究4 指数型函数的实际应用
例4 (课本P114例2)(1) 课本P111问题1.如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1 000元(不含门票)的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
(2) 课本P113问题2.某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
(1) 解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2) 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
变式 随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为( )
A. 3 000×0.069元
B. 3 000×1.069元
C. 3 000×0.0610元
D. 3 000×1.0610元
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(3)＝，则f(x)的解析式为( )
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝3x
2. 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A. y＝(－4)x B. y＝λx(λ>1)
C. y＝－4x D. y＝ax+2(a>0且a≠1)
3. (课本P115练习1)下列图象中，有可能表示指数函数的是( )
A B
C D
4. 据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A. y＝0.9 B. y＝m
C. y＝0.9m D. y＝(1－0.150x)m
5. (1) 已知指数函数y＝(2a－1)x，则实数a的取值范围是 ；
(2) 已知指数函数y＝ax(a>0)的图象经过点(－1，2)，则x＝2时，y＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数y＝(－3)x，y＝，y＝x-3，y＝()x，其中是指数函数的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. 函数y＝的定义域为( )
A. (－∞，] B. (－∞，)
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
3. 设函数f(x)＝若f＝8，则a＝( )
A. B.
C. 1 D. 2
4. 某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2016年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕( )
A. 8×1.19万公顷 B. 8×1.18万公顷
C. 8×1.17万公顷 D. 8×1.16万公顷
二、 多项选择题
5. 如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数y(单位：千人)与时间x(单位：周)的关系式为y＝kax(a>0且a≠1)，则下列说法正确的有( )
(第5题)
A. 疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等
B. 随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍
C. 估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周
D. 根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8 000人
6. 设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式正确的是( )
A. f(x＋y)＝f(x)f(y)
B. f(x－y)＝
C. f＝f(x)－f(y)
D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝ ．
8. 已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为 ，值域为 ．
四、 解答题
9. (1) 已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，求f(0)＋f(2)的值；
(2) 已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，求a＋b的值．
10. 求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝；
(2) y＝.
11. 设函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝ ．
12. 函数f(x)＝9x－4×3x＋9的值域为 ．
13. 某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )
A. 甲食堂的营业额较高
B. 乙食堂的营业额较高
C. 甲、乙两食堂的营业额相等
D. 不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
14. 已知函数F(x)的图象如图所示，是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成．
(第14题)
(1) 求F(x)的解析式；
(2) 比较ab与ba的大小；
(3) 已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．(共52张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念
学习 目标 1. 了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．
2. 能用描点法或借助工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探 基础落实
问题1：一尺之锤，日取其半．意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半．那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？
问题2：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么该种细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？
一、 生成概念
探究1：什么是指数函数增长模型和指数衰减模型？
问题3：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．如下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1 005 102
2014 732 11 1 118 113
2015 743 11 1 244 126
思考1：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？
A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一些，而B地则更快．
可以采用作图的方式继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次．
根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后15年内游客人次的图象(图(1)和图(2)).
思考2：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？
观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为10万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
问题4：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
思考3：按照上述变化规律，生物体内碳14含量呈什么形式衰减？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么：
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1－p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1－p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1－p)3；
……
结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
探究2：指数函数的概念．
(1) 问题3中，x年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？
从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么y＝1.11x(x∈[1，＋∞)).这是一个函数关系，其中指数x是自变量．
(2) 问题4中，生物体内碳14含量和死亡年数之间有怎样的关系？
请同学阅读课本P111—P114，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 指数函数的定义：一般地，函数______________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
注意：指数函数解析式的3个特征：
(1) 底数a为大于0且不等于1的常数；
(2) 自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；
(3) ax的系数是1.
2. 指数型函数：形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
y＝ax(a>0，且a≠1)
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 函数y＝－2x是指数函数． ( )
(2) 函数y＝2x-1是指数函数． ( )
(3) 函数y＝(－5)x是指数函数． ( )
(4) 若函数y＝ax是指数函数，则a>0. ( )
×
×
×
×
典例精讲 能力初成
探究
1
指数函数的概念
1
③
(2) 若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为____．
【解析】因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，所以a2－3a＋3＝1，且a>0，a≠1，解得a＝2.
2
判断一个函数为指数函数的方法：
(1) 底数是大于0且不等于1的常数；
(2) ax前的系数为1；
(3) 自变量x必须位于指数的位置上，且系数为1.
【解析】因为函数f(x)＝a2(2＋a)x是指数函数，所以a2＝1，2＋a>0且2＋a≠1，解得a＝1.
变式
(2) 若函数f(x)＝a2(2＋a)x是指数函数，则a＝____．
D
1
探究
2
指数函数的解析式
2
变式
(课本P114例1)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
探究
(2) 函数f(x)＝4x－2x+1－1的值域是_______________．
3
指数函数的值域与定义域
3
【解析】因为f(x)＝(2x)2－2·2x－1，令2x＝t(t>0)，则m(t)＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(t>0).由于m(t)＝(t－1)2－2(t>0)在t∈(0，1)上单调递减，在t∈(1，＋∞)上单调递增，所以m(t)≥m(1)＝－2，故f(x)的值域为[－2，＋∞).
【解析】由题意得3x－27≥0，即3x≥33，解得x≥3.
C
[－2，＋∞)
探究
(课本P114例2)(1) 课本P111问题1.如果平均每位游客出游一次可给当地带来
1 000元(不含门票)的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
4
指数型函数的实际应用
4
【解答】设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)＝1 150×
(10x＋600)，g(x)＝1 000×278×1.11x.利用计算工具可得，当x＝0时，f(0)－g(0)＝
412 000.当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).
结合如图可知，当x<10.22时，f(x)>g(x)，当
x>10.22时，f(x)≈347 303.这说明，在2001年，游客给A地带
来的收入比B地多412 000万元；随后10年，
虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；
根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011
年3月某个时刻就有f(x)＝g(x)，这时游客给
A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347 303万元
了．
(2) 课本P113问题2.某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
(1) 解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2) 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
【解析】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2016年年底到2025年年底经过了9年，故把x＝9代入，即可求得y＝3 000×1.069.
变式
随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为
3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为 ( )
A. 3 000×0.069元 B. 3 000×1.069元
C. 3 000×0.0610元 D. 3 000×1.0610元
B
随堂内化 及时评价
C
2. 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是 ( )
A. y＝(－4)x B. y＝λx(λ>1)
C. y＝－4x D. y＝ax+2(a>0且a≠1)
B
【解析】对于A，底数不满足大于0且不等于1，故A错误；对于B，函数满足指数函数的形式，故B正确；对于C，－4x的系数不是1，故C错误；对于D，指数部分不是x，故D错误．
3. (课本P115练习1)下列图象中，有可能表示指数函数的是 ( )
C
【解析】由于y＝ax>0(a>0，且a≠1)，所以A，B，D都不正确．
C
5. (1) 已知指数函数y＝(2a－1)x，则实数a的取值范围是________________；
(2) 已知指数函数y＝ax(a>0)的图象经过点(－1，2)，则x＝2时，y＝_____．
配套新练案
B
C
D
4. 某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2016年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕 ( )
A. 8×1.19万公顷 B. 8×1.18万公顷
C. 8×1.17万公顷 D. 8×1.16万公顷
B
【解析】根据题意，2016年退耕8万公顷，x年后退耕8×1.1x万公顷，所以2024年需退耕8×1.18 万公顷．
二、 多项选择题
5. 如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数y(单位：千人)与时间x(单位：周)的关系式为y＝kax(a>0且a≠1)，则下列说法正确的有 ( )
A. 疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等
B. 随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍
C. 估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周
D. 根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8 000人
【答案】BCD
ABD
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝____．
1
(－∞，0]
(0，2]
四、 解答题
9. (1) 已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，求f(0)＋f(2)的值；
【解答】由f(1)＝2 a＝2 f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5.
(2) 已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，求a＋b的值．
【解答】因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1.因为y＝2x＋b是指数函数，所以b＝0.所以a＋b＝1.
10. 求下列函数的定义域和值域：
11. 设函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝______．
【解析】由题意，函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，所以有f(0)＝1＋a＝0，解得a＝
－1.当a＝－1时，有f(x)＝2x－2－x，显然此时f(x)的定义域为R，关于原点对称，且有f(－x)＝2－x－2－(－x)＝－(2x－2－x)＝－f(x)成立，故a＝－1满足题意．
－1
12. 函数f(x)＝9x－4×3x＋9的值域为_____________．
【解析】设t＝3x>0，则f(x)＝(3x)2－4×3x＋9，换元得g(t)＝t2－4t＋9＝(t－2)2＋5，t>0，显然当t＝2时，函数g(t)取到最小值g(2)＝5，所以函数f(x)＝9x－4×3x＋9的值域为[5，＋∞).
[5，＋∞)
13. 某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份 ( )
A. 甲食堂的营业额较高 B. 乙食堂的营业额较高
C. 甲、乙两食堂的营业额相等 D. 不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
A
14. 已知函数F(x)的图象如图所示，是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成．
(1) 求F(x)的解析式；
14. 已知函数F(x)的图象如图所示，是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成．
(2) 比较ab与ba的大小；
14. 已知函数F(x)的图象如图所示，是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图象“拼接”而成．
(3) 已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．
