第2课时 指数函数的图象和性质
学习 目标 1. 会画指数函数的图象，通过观察函数图象，分析、归纳、总结指数函数的性质． 2. 理解指数函数的图象与性质，能运用指数函数的图象和性质解决有关数学问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P116—P118，完成下列填空．
一、 概念表述
指数函数y＝ax
底数 0
1
图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象都经过点(0，1)
在定义域上是 函数 在定义域上是 函数
当x<0时，ax>1；当x>0时，00时，ax>1
既不是奇函数，也不是偶函数
注意：(1) 当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0(2) 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的大致图象．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 指数函数的图象都在x轴的上方．( )
(2) 若y＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则0(3) 对于 x∈R，一定有3x>2x.( )
(4) 函数y＝ax与y＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
典例精讲能力初成
探究1 指数函数的图象变换
例1 (1) 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是( )
(例1(1))
A. 0B. 0C. 1D. 0(2) 若a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax-4＋3的图象恒过定点 ．
(3) 函数y＝2|x|的大致图象是( )
A B
C D
处理指数函数图象问题的策略：
(1) 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象时，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2) 指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(3) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
探究2 指数函数单调性的应用
视角1 利用指数函数性质比较大小
例2-1 (课本P117例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5，1.73；
(2) 0.8－，0.8－；
(3) 1.70.3，0.93.1.
比较幂值大小的三种类型及处理方法
变式 已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为( )
A. c＜a＜b B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
视角2 利用指数函数性质解不等式
例2-2 (1) 已知(a2＋2a＋5)3x＞(a2＋2a＋5)1-x，则x的取值范围是 ．
(2) 若x满足不等式2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是 ．
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
视角3 指数型函数单调性的综合应用
例2-3 判断f(x)＝-2x的单调性，并求其值域．
探究3 指数函数的实际应用
例3 (课本P118例4)如图，某城市人口呈指数增长．
(例3)
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；
(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
随堂内化及时评价
1. 若0A. 第一、二象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
2. 若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( )
A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2 D. y1>y2>y3
3. 已知函数y＝ax-1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点Q，则点Q的坐标是( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
4. (2025·绍兴期末)已知函数f(x)＝2x2－2x＋1，则f(x)( )
A. 在(－∞，1]上单调递增，值域为[1，＋∞)
B. 在(－∞，1]上单调递减，值域为[1，＋∞)
C. 在(－∞，1]上单调递增，值域为(0，1]
D. 在(－∞，1]上单调递减，值域为(0，1]
5. (2025·济南期末)(多选)已知函数f(x)＝ax+1(a>0，且a≠1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，且M－N＝，则实数a的值可以是( )
A. B.
C. D. 2
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 函数y＝(1－a)x＋4(a<1且a≠0)的图象必过定点( )
A. (0，4) B. (0，1)
C. (0，5) D. (1，5)
2. 已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则( )
A. a>b>c B. b>a>c
C. c>b>a D. c>a>b
3. 函数y＝2|x|的大致图象是( )
A B
C D
4. 设函数f(x)＝ax2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间上单调递减，则a的取值范围是( )
A. (1，＋∞) B. [4，＋∞)
C. (0，1) D. (1，4)
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝ax+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则( )
A. a＝3
B. f(1)＝6
C. f(x)为R上的增函数
D. f(x)>10的解集为(2，＋∞)
6. 若函数f(x)＝a＋(x∈R)是奇函数，则下列说法正确的是( )
A. a＝－1
B. f(x)是增函数
C. f(x)是减函数
D. 不等式f(2t＋1)＋f(t－5)≤0的解集为
三、 填空题
7. 函数y＝的单调递增区间是 ．
8. (2025·张家界期末)已知函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝a＋(x∈R).
(1) 用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上都为增函数；
(2) 若f(x)为奇函数，求f(3)的值．
10. 已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)过点(2，4).
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围；
(3) 求g(x)＝ax-1(x≤0)的值域．
11. 若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (2，9) B. (2，＋∞)
C. (2，9] D. [9，＋∞)
12. 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为“高斯函数”，例如： [－2.5]＝－3，[2.7]＝2.已知函数f(x)＝，则函数[f(x)]的值域是( )
A. {－1，1} B. {－1，0}
C. (－1，1) D. (－1，0)
13. 已知f(x)＝的最小值为2，则m的取值范围为( )
A. (－∞，3] B. (－∞，5]
C. [3，＋∞) D. [5，＋∞)
14. (多选)函数y＝ax－的图象经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
练习2
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的值域为R
B. 若a>1，m>n，则amC. 函数f(x)的图象恒过定点(0，1)
D. 若00，则f(x)>1
2. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>a>c B. c>a>b
C. c>b>a D. a>b>c
3. (2023·新高考Ⅰ卷)若函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A. (－∞，－2] B. [－2，0)
C. (0，2] D. [2，＋∞)
4. 已知函数f(x)＝，则下列说法不正确的是( )
A. 函数f(x)是增函数
B. 函数f(x)的值域为(0，2)
C. 函数f(x)的图象关于点(0，1)对称
D. 函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A. f(－2)>f(－1) B. f(－1)>f(－2)
C. f(－2)>f(2) D. f(－4)>f(3)
6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数y＝(a>0且a≠1)的图象的大致形状可能是( )
A B
C D
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝4＋ax+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是 ．
8. 已知不等式4x－k·2x＋1>0对任意实数x恒成立，则k的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，求实数a的值．
10. 已知函数f(x)＝aax2－2x＋1(a>0且a≠1).
(1) 若a＝，求函数f(x)在[1，4]上的最值；
(2) 若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
11. (多选)已知函数f(x)＝ax(a>1)，则( )
A. f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)
B. f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)
C. x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)
D. f≤
12. (2025·铜陵期末)已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝－(2m＋1)·2x.
(1) 若g(x)≤f(x)对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2) 若关于x的方程f(x)＋g(x)＝2－m2有实根，求实数m的取值范围．第2课时 指数函数的图象和性质
学习 目标 1. 会画指数函数的图象，通过观察函数图象，分析、归纳、总结指数函数的性质． 2. 理解指数函数的图象与性质，能运用指数函数的图象和性质解决有关数学问题．
新知初探基础落实
问题：同学们看到以下两个式子有什么感想呢？
y1＝1.01365≈37.78；y2＝0.99365≈0.026.
这是指数幂运算的爆炸和衰减过程，展现的是其实只要每天进步一点点，一年的成就对比每天后退一点点是巨大的．
一、 生成概念
问题1：请用描点法在平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象．
提示：列表、描点、连线．
x －2 －1.5 －1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 2.36 0.71 1.41 2.83
学生画图，老师借助信息技术画图验证图象．
问题2：为了进一步研究，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象来进行观察．请用同样的方法，继续在同一直角坐标系中画出函数y＝x的图象，观察两个函数图象的关系？
提示：列表、描点、连线．
x －2 －1.5 －1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 2.83 1.41 0.71 0.36
学生画图，老师借助信息技术画图验证图象．
问题3：请对指数函数y＝2x和y＝x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用指数函数y＝2x的图象画出函数y＝x的图象？
提示：函数y＝2x和y＝x的图象关于y轴对称，因此可以由其中一个函数的图象画出另外一个函数的图象．
问题4：除了通过图象观察之外，你能利用解析式，从代数的角度解释上面的对称关系吗？(可以考虑点坐标之间的关系)
提示：通过表格，很容易得到：两个函数上的点，当横坐标互为相反数时，纵坐标相同．因此，通过代数运算，我们可以得到想要的结论．当然，也可以通过点的对称性加以分析，这里可以直接通过逻辑推理来实现．
利用信息技术进行图象上点坐标的跟踪，分析点坐标的关系．
结论：显然，通过上面的代数运算和逻辑分析，我们只需要把上述问题中的具体底数“2”换成一般底数“a”(a>0且a≠1)，就可以得到：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
请同学阅读课本P116—P118，完成下列填空．
二、 概念表述
指数函数y＝ax
底数 01
图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象都经过点(0，1)
在定义域上是__减__函数 在定义域上是__增__函数
当x<0时，ax>1；当x>0时，00时，ax>1
既不是奇函数，也不是偶函数
注意：(1) 当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0(2) 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的大致图象．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 指数函数的图象都在x轴的上方．( √ )
(2) 若y＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则0(3) 对于 x∈R，一定有3x>2x.( × )
(4) 函数y＝ax与y＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 指数函数的图象变换
例1 (1) 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是( B )
(例1(1))
A. 0B. 0C. 1D. 0【解析】因为当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知c，d大于1，a，b大于0小于1.又由图可知c1>d1，即c>d；b1(2) 若a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax-4＋3的图象恒过定点__(4，4)__．
【解析】令x－4＝0，得x＝4，所以f(4)＝a0＋3＝4，所以函数f(x)＝ax-4＋3的图象恒过定点(4，4).
(3) 函数y＝2|x|的大致图象是( B )
A B
C D
【解析】因为函数y＝2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称，当x≥0时，y＝2x，函数图象在y轴右侧单调递增，y≥1，所以在y轴左侧单调递减，y≥1，且x＝0时，y＝1.
处理指数函数图象问题的策略：
(1) 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象时，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2) 指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(3) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
探究2 指数函数单调性的应用
视角1 利用指数函数性质比较大小
例2-1 (课本P117例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5，1.73；
【解答】对于函数y＝1.7x，因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2) 0.8－，0.8－；
【解答】因为0<0.8<1，所以指数函数y＝0.8x是减函数．因为－>－，所以0.8－<
0.8－.
(3) 1.70.3，0.93.1.
【解答】由指数函数的性质知1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.
比较幂值大小的三种类型及处理方法
变式 已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为( A )
A. c＜a＜b B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
【解析】因为函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，且0.9＜1.1，所以30.9＜31.1，即c＜a.由于3＜4，所以31.1＜41.1，所以a＜b.综上，c＜a＜b.
视角2 利用指数函数性质解不等式
例2-2 (1) 已知(a2＋2a＋5)3x＞(a2＋2a＋5)1-x，则x的取值范围是____．
【解析】因为y＝a2＋2a＋5＝(a＋1)2＋4＞1，所以y＝(a2＋2a＋5)x为增函数，原不等式等价于3x＞1－x，解得x＞，所以x的取值范围是.
(2) 若x满足不等式2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是____．
【解析】由2x2＋1≤可得2x2＋1≤＝2-2(x-2)，因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是.
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
视角3 指数型函数单调性的综合应用
例2-3 判断f(x)＝-2x的单调性，并求其值域．
【解答】令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又y＝在R上单调递减，所以y＝-2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝，u∈[－1，＋∞)，所以0<≤＝3，所以原函数的值域为(0，3].
探究3 指数函数的实际应用
例3 (课本P118例4)如图，某城市人口呈指数增长．
(例3)
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；
【解答】观察题图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
【解答】因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
随堂内化及时评价
1. 若0A. 第一、二象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
2. 若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( C )
A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2 D. y1>y2>y3
【解析】y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝＝21.5，因为y＝2x在R上是增函数，1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2.
3. 已知函数y＝ax-1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点Q，则点Q的坐标是( B )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】令x－1＝0，解得x＝1，所以当x＝1时，y＝2，所以函数y＝ax-1＋1的图象过定点Q(1，2).
4. (2025·绍兴期末)已知函数f(x)＝2x2－2x＋1，则f(x)( B )
A. 在(－∞，1]上单调递增，值域为[1，＋∞)
B. 在(－∞，1]上单调递减，值域为[1，＋∞)
C. 在(－∞，1]上单调递增，值域为(0，1]
D. 在(－∞，1]上单调递减，值域为(0，1]
【解析】令u(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2∈[0，＋∞)，则f(x)视为由y＝2u(x)和u(x)＝x2－2x＋1构成的复合函数．由二次函数性质得u(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由指数函数性质得y在R上单调递增，由复合函数性质得f(x)在(－∞，1]上单调递减，而u(x)∈[0，＋∞)，故f(x)∈[1，＋∞)，故B正确．
5. (2025·济南期末)(多选)已知函数f(x)＝ax+1(a>0，且a≠1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，且M－N＝，则实数a的值可以是( AC )
A. B.
C. D. 2
【解析】当a>1时，f(x)＝ax+1在[0，1]上单调递增，此时M＝a2，N＝a，所以M－N＝a2－a＝，解得a＝；当0配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 函数y＝(1－a)x＋4(a<1且a≠0)的图象必过定点( C )
A. (0，4) B. (0，1)
C. (0，5) D. (1，5)
2. 已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则( D )
A. a>b>c B. b>a>c
C. c>b>a D. c>a>b
3. 函数y＝2|x|的大致图象是( B )
A B
C D
4. 设函数f(x)＝ax2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间上单调递减，则a的取值范围是( B )
A. (1，＋∞) B. [4，＋∞)
C. (0，1) D. (1，4)
【解析】若a>1，则y＝ax在(0，＋∞)上单调递增，要满足题意，则y＝x2－ax＋1要在(0，2)上单调递减，故≥2，即a≥4；若0二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝ax+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则( BCD )
A. a＝3
B. f(1)＝6
C. f(x)为R上的增函数
D. f(x)>10的解集为(2，＋∞)
6. 若函数f(x)＝a＋(x∈R)是奇函数，则下列说法正确的是( ACD )
A. a＝－1
B. f(x)是增函数
C. f(x)是减函数
D. 不等式f(2t＋1)＋f(t－5)≤0的解集为
【解析】因为f(x)＝a＋(x∈R)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即2a＋＋＝0，解得a＝－1，故A正确；因为y＝2x＋1为增函数，且y＝2x＋1>1，所以y＝为减函数，所以f(x)是减函数，故B不正确，C正确；因为f(x)是奇函数，所以不等式f(2t＋1)＋f(t－5)≤0等价于不等式f(2t＋1)≤f(5－t)，因为f(x)是减函数，所以2t＋1≥5－t，解得t≥，故D正确．
三、 填空题
7. 函数y＝的单调递增区间是__(－1，＋∞)__．
8. (2025·张家界期末)已知函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围是____．
【解析】因为函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间[2，3]上单调递增，y＝在[2，3]上单调递减，所以0四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝a＋(x∈R).
(1) 用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上都为增函数；
【解答】由题知f(x)＝a＋1－，定义域为R.任取x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2) 若f(x)为奇函数，求f(3)的值．
【解答】因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，即a＋1－＝0，解得a＝－.当a＝－时，f(x)＝－＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，此时f(3)＝－＝.
10. 已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)过点(2，4).
(1) 求f(x)的解析式；
【解答】将点(2，4)代入f(x)＝ax，得4＝a2，又a>0且a≠1，解得a＝2，故f(x)＝2x.
(2) 若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围；
【解答】因为2>1，所以f(x)＝2x在R上是增函数，f(2m－1)－f(m＋3)<0，即f(2m－1)(3) 求g(x)＝ax-1(x≤0)的值域．
【解答】由(1)知，g(x)＝2x-1(x≤0)，因为x≤0，所以x－1≤－1，所以2x-1≤2-1＝.故g(x)＝ax-1(x≤0)的值域为.
11. 若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是( C )
A. (2，9) B. (2，＋∞)
C. (2，9] D. [9，＋∞)
【解析】因为函数f(x)在R上是增函数，则函数f(x)＝(a－2)x在(－∞，1]上为增函数，所以a－2>0.又因为函数f(x)＝6x＋1在(1，＋∞)上为增函数，且有a－2≤6＋1，即0设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为“高斯函数”，例如：
[－2.5]＝－3，[2.7]＝2.已知函数f(x)＝，则函数[f(x)]的值域是( B )
A. {－1，1} B. {－1，0}
C. (－1，1) D. (－1，0)
【解析】方法一：函数f(x)＝＝1－，因为ex>0，所以1＋ex>1，所以0<<1，所以－2<－<0，所以－1<1－<1，即－1方法二：由f(x)＝，得ex＝.因为ex>0，所以>0，解得－1－113. 已知f(x)＝的最小值为2，则m的取值范围为( D )
A. (－∞，3] B. (－∞，5]
C. [3，＋∞) D. [5，＋∞)
【解析】当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，因为f(x)＝的最小值为2，所以需要当x≤0时，f(x)≥2恒成立，所以4x－2x+2＋m≥2在x∈(－∞，0]上恒成立，所以m≥－4x＋2x+2＋2在x∈(－∞，0]上恒成立，即m≥[－(2x)2＋4×2x＋2]max.令2x＝t，则014. (多选)函数y＝ax－的图象经过( ABC )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】由于a>1，所以0<<1，函数y＝ax在R上单调递增，y＝ax的图象向下平移个单位长度，得到y＝ax－的图象，所以函数y＝ax－(a>1)的图象不经过第四象限，经过第一、二、三象限．
练习2
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列选项正确的是( C )
A. 函数f(x)的值域为R
B. 若a>1，m>n，则amC. 函数f(x)的图象恒过定点(0，1)
D. 若00，则f(x)>1
2. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( B )
A. b>a>c B. c>a>b
C. c>b>a D. a>b>c
3. (2023·新高考Ⅰ卷)若函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( D )
A. (－∞，－2] B. [－2，0)
C. (0，2] D. [2，＋∞)
4. 已知函数f(x)＝，则下列说法不正确的是( C )
A. 函数f(x)是增函数
B. 函数f(x)的值域为(0，2)
C. 函数f(x)的图象关于点(0，1)对称
D. 函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
【解析】f(x)＝＝＝2－，函数y＝2－，t＝2x-1＋1，则t>1，又内层函数t＝2x-1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的判断法则可知，函数f(x)是增函数，故A正确；因为2x-1＋1>1，所以0<<2，则0<2－<2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确．
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则( AD )
A. f(－2)>f(－1) B. f(－1)>f(－2)
C. f(－2)>f(2) D. f(－4)>f(3)
【解析】因为f(x)＝a－|x|，f(2)＝4，所以a-2＝4，解得a＝(负值舍去)，则f(x)＝＝2|x|，易得f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(－2)>
f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，故A，D正确，B，C错误．
6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数y＝(a>0且a≠1)的图象的大致形状可能是( BD )
A B
C D
【解析】当00时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，01时，函数y＝ax在R上单调递增，当x<0时，y＝－ax在(－∞，0)上单调递减，－10时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递增，y>1，C不满足，B符合题意．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝4＋ax+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是__(－1，5)__．
8. 已知不等式4x－k·2x＋1>0对任意实数x恒成立，则k的取值范围是__(－∞，2)__．
【解析】4x－k·2x＋1>0恒成立，即k<2x＋，2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时等号成立，故k<2，即k∈(－∞，2).
四、 解答题
9. 指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，求实数a的值．
【解答】指数函数y＝ax在区间上的最大值和最小值的和为，当a>1时，可得y的最小值为，y的最大值为a，那么＋a＝，解得a＝2；当010. 已知函数f(x)＝aax2－2x＋1(a>0且a≠1).
(1) 若a＝，求函数f(x)在[1，4]上的最值；
【解答】当a＝时，f(x)＝x2－2x＋1，设t(x)＝x2－2x＋1，函数y＝t(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，函数y＝t在R上单调递减，则函数f(x)在[1，2)上单调递增，在(2，4]上单调递减，f(1)＝，f(2)＝2，f＝，所以当a＝，x∈[1，4]时，f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(4)＝.
(2) 若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】函数y＝ax2－2x＋1在上单调递减，在上单调递增，当a>1时，函数y＝ax在R上单调递增，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．又<1，则函数f(x)在区间(2，4)上单调递增，故a>1满足题意；当01，若需满足题意，则≥4，解得011. (多选)已知函数f(x)＝ax(a>1)，则( ACD )
A. f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)
B. f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)
C. x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)
D. f≤
【解析】因为ax1ax2＝a x1＋x2，所以f(x1)·f(x2)＝f(x1＋x2)，故A正确；a x1＋a x2≠a x1 x2，故B错误；x1f(x1)＋x2f(x2)－x2f(x1)－x1f(x2)＝x1ax1＋x2a x2－x2ax1－x1a x2＝(x1－x2)(a x1－a x2)，因为f(x)＝ax(a>1)，函数单调递增，故(x1－x2)(a x1－a x2)>0，则x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，故C正确；＝，f＝a，因为a>1，根据均值不等式可知，≥＝a，即f≤，当且仅当x1＝x2时取等号，故D正确．
12. (2025·铜陵期末)已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝－(2m＋1)·2x.
(1) 若g(x)≤f(x)对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
【解答】由－(2m＋1)·2x≤4x＋1，得－(2m＋1)≤＝2x＋，又2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时等号成立，则－(2m＋1)≤2，解得m≥－，即实数m的取值范围为.
(2) 若关于x的方程f(x)＋g(x)＝2－m2有实根，求实数m的取值范围．
【解答】由题知，方程4x－(2m＋1)·2x＋m2－1＝0有实根，令t＝2x>0，则t2－(2m＋1)t＋m2－1＝0有正根，①若有两个正根，则解得m>1；②若有一个正根和一个负根，则解得－1第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第2课时 指数函数的图象和性质
学习 目标 1. 会画指数函数的图象，通过观察函数图象，分析、归纳、总结指数函数的性质．
2. 理解指数函数的图象与性质，能运用指数函数的图象和性质解决有关数学问题．
新知初探 基础落实
问题：同学们看到以下两个式子有什么感想呢？
y1＝1.01365≈37.78；y2＝0.99365≈0.026.
这是指数幂运算的爆炸和衰减过程，展现的是其实只要每天进步一点点，一年的成就对比每天后退一点点是巨大的．
一、 生成概念
问题1：请用描点法在平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象．
提示：列表、描点、连线．
x －2 －1.5 －1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 2.36 0.71 1.41 2.83
学生画图，老师借助信息技术画图验证图象．
提示：列表、描点、连线．
x －2 －1.5 －1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 2.83 1.41 0.71 0.36
学生画图，老师借助信息技术画图验证图象．
问题4：除了通过图象观察之外，你能利用解析式，从代数的角度解释上面的对称关系吗？(可以考虑点坐标之间的关系)
提示：通过表格，很容易得到：两个函数上的点，当横坐标互为相反数时，纵坐标相同．因此，通过代数运算，我们可以得到想要的结论．当然，也可以通过点的对称性加以分析，这里可以直接通过逻辑推理来实现．
利用信息技术进行图象上点坐标的跟踪，分析点坐标的关系．
结论：显然，通过上面的代数运算和逻辑分析，我们只需要把上述问题中的具体底数“2”换成一般底数“a”(a>0且a≠1)，就可以得到：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
请同学阅读课本P116—P118，完成下列填空．
二、 概念表述
减
增
注意：(1) 当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 指数函数的图象都在x轴的上方． ( )
(2) 若y＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则0(3) 对于 x∈R，一定有3x>2x. ( )
√
√
×
√
典例精讲 能力初成
探究
(1) 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是 ( )
A. 0B. 0C. 1D. 01
指数函数的图象变换
1
B
【解析】因为当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知c，d大于1，a，b大于0小于1.又由图可知c1>d1，即c>d；b1(2) 若a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax-4＋3的图象恒过定点_________．
【解析】令x－4＝0，得x＝4，所以f(4)＝a0＋3＝4，所以函数f(x)＝ax-4＋3的图象恒过定点(4，4).
(4，4)
(3) 函数y＝2|x|的大致图象是 ( )
【解析】因为函数y＝2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称，当x≥0时，y＝2x，函数图象在y轴右侧单调递增，y≥1，所以在y轴左侧单调递减，y≥1，且x＝0时，y＝1.
B
(2) 指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(3) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
探究
视角1 利用指数函数性质比较大小
(课本P117例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5，1.73；
2
指数函数单调性的应用
【解答】对于函数y＝1.7x，因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.
2－1
(3) 1.70.3，0.93.1.
【解答】由指数函数的性质知1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.
比较幂值大小的三种类型及处理方法
【解析】因为函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，且0.9＜1.1，所以30.9＜31.1，即c＜a.由于3＜4，所以31.1＜41.1，所以a＜b.综上，c＜a＜b.
变式
已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为 ( )
A. c＜a＜b B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
A
视角2 利用指数函数性质解不等式
(1) 已知(a2＋2a＋5)3x＞(a2＋2a＋5)1-x，则x的取值范围是__________．
2－2
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
2－3
探究
(课本P118例4)如图，某城市人口呈指数增长．
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；
3
指数函数的实际应用
3
【解答】观察题图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
(课本P118例4)如图，某城市人口呈指数增长．
(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
【解答】因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
随堂内化 及时评价
1. 若0A. 第一、二象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
A
C
3. 已知函数y＝ax-1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点Q，则点Q的坐标是 ( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
B
【解析】令x－1＝0，解得x＝1，所以当x＝1时，y＝2，所以函数y＝ax-1＋1的图象过定点Q(1，2).
4. (2025·绍兴期末)已知函数f(x)＝2x2－2x＋1，则f(x) ( )
A. 在(－∞，1]上单调递增，值域为[1，＋∞)
B. 在(－∞，1]上单调递减，值域为[1，＋∞)
C. 在(－∞，1]上单调递增，值域为(0，1]
D. 在(－∞，1]上单调递减，值域为(0，1]
B
【解析】令u(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2∈[0，＋∞)，则f(x)视为由y＝2u(x)和u(x)＝x2－2x＋1构成的复合函数．由二次函数性质得u(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由指数函数性质得y在R上单调递增，由复合函数性质得f(x)在(－∞，1]上单调递减，而u(x)∈[0，＋∞)，故f(x)∈[1，＋∞)，故B正确．
AC
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝(1－a)x＋4(a<1且a≠0)的图象必过定点 ( )
A. (0，4) B. (0，1)
C. (0，5) D. (1，5)
C
练习1
2. 已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则 ( )
A. a>b>c B. b>a>c
C. c>b>a D. c>a>b
D
3. 函数y＝2|x|的大致图象是 ( )
B
B
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝ax+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则 ( )
A. a＝3
B. f(1)＝6
C. f(x)为R上的增函数
D. f(x)>10的解集为(2，＋∞)
BCD
ACD
(－1，＋∞)
四、 解答题
(1) 用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上都为增函数；
(2) 若f(x)为奇函数，求f(3)的值．
10. 已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)过点(2，4).
(1) 求f(x)的解析式；
【解答】将点(2，4)代入f(x)＝ax，得4＝a2，又a>0且a≠1，解得a＝2，故f(x)＝2x.
(2) 若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围；
【解答】因为2>1，所以f(x)＝2x在R上是增函数，f(2m－1)－f(m＋3)<0，即f(2m－1)10. 已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)过点(2，4).
(3) 求g(x)＝ax-1(x≤0)的值域．
【解析】因为函数f(x)在R上是增函数，则函数f(x)＝(a－2)x在(－∞，1]上为增函数，所以a－2>0.又因为函数f(x)＝6x＋1在(1，＋∞)上为增函数，且有a－2≤6＋1，即0C
【答案】B
D
ABC
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列选项正确的是 ( )
A. 函数f(x)的值域为R
B. 若a>1，m>n，则amC. 函数f(x)的图象恒过定点(0，1)
D. 若00，则f(x)>1
练习2
C
2. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是 ( )
A. b>a>c B. c>a>b
C. c>b>a D. a>b>c
B
3. (2023·新高考Ⅰ卷)若函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是
( )
A. (－∞，－2] B. [－2，0)
C. (0，2] D. [2，＋∞)
D
C
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则 ( )
A. f(－2)>f(－1) B. f(－1)>f(－2)
C. f(－2)>f(2) D. f(－4)>f(3)
AD
【解析】当00时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，01时，函数y＝ax在R上单调递增，当x<0时，y＝－ax在(－∞，0)上单调递减，－10时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递增，y>1，C不满足，B符合题意．
【答案】BD
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝4＋ax+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是___________．
(－1，5)
8. 已知不等式4x－k·2x＋1>0对任意实数x恒成立，则k的取值范围是____________．
(－∞，2)
【答案】ACD
12. (2025·铜陵期末)已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝－(2m＋1)·2x.
(1) 若g(x)≤f(x)对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
12. (2025·铜陵期末)已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝－(2m＋1)·2x.
(2) 若关于x的方程f(x)＋g(x)＝2－m2有实根，求实数m的取值范围．