4.3 对 数
第1课时 对数的概念
学习 目标 1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2. 了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数的计算．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P122—P123，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．
2. 常用对数与自然对数
(1) 常用对数：通常，我们将以 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作 ．
(2) 自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 ．
3. 对数的基本性质
(1) 负数和0 对数．
(2) loga1＝ (a>0，且a≠1).
(3) logaa＝ (a>0，且a≠1).
4. 对数恒等式
(1) alogaN＝ (a>0，且a≠1，N>0).
(2) logaab＝ (a>0，且a≠1).
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数运算的实质是求幂指数．( )
(2) (－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3) 对数lg N的底数是10.( )
(4) 在y＝log3(x－1)中，实数x的取值范围是(1，＋∞).( )
典例精讲能力初成
探究1 对数的概念
例1 (1) 下列说法错误的是( )
A. 零和负数没有对数
B. 任何一个指数式都可化为对数式
C. 以10为底的对数叫做常用对数
D. 以e为底的对数叫做自然对数
(2) 对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是( )
A. (－∞，5) B. (2，5)
C. (2，3)∪(3，5) D. (2，＋∞)
探究2 指数式与对数式互化求值
视角1 指数式与对数式的互化
例2-1 (课本P122例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) 54＝625；
(2) 2-6＝；
(3) ＝5.73；
(4) log16＝－4；
(5) lg 0.01＝－2；
(6) ln 10＝n.
变式 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1) 2-7＝；
(2) log32＝－5；
(3) lg 1 000＝3；
(4) ln x＝2.
视角2 利用指数式与对数式的关系求值
例2-2 (课本P123例2)求下列各式中x的值：
(1) log64x＝－；
(2) logx8＝6；
(3) lg 100＝x；
(4) －ln e2＝x.
变式 (1) 若logx＝－3，则x＝( )
A. 81 B.
C. D. 3
(2) 若x＝3，则x＝ ．
探究3 对数性质及对数恒等式
例3 求下列各式中x的值：
(1) log2(log5x)＝0；
(2) log3(lg x)＝1；
(3) x＝71－log75.
(1) 此类题型应由外到内逐层深入来解决．logaN＝0 N＝1；logaN＝1 N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
(2) 符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N.
随堂内化及时评价
1. 下列对数式中，与指数式7x＝9等价的是( )
A. log7x＝9 B. log9x＝7
C. log79＝x D. logx9＝7
2. 若loga9＝－2，则a的值为( )
A. －3 B. －
C. 3 D.
3. 在b＝loga(3－a)中，实数a的取值范围是( )
A. (0，1) B. (－∞，0)∪(3，＋∞)
C. (1，3) D. (0，1)∪(1，3)
4. 已知4a＝2，lg x＝a，则x＝( )
A. B.
C. 10 D. 1
5. 若log5[log3(log2x)]＝0，则x－＝( )
A. B.
C. D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知对数式log(a＋1)有意义，则a的取值范围为( )
A. (－1，4) B. (－1，0)∪(0，4)
C. (－4，0)∪(0，1) D. (－4，1)
2. 若loga＝c，则下列关系式正确的是 ( )
A. b＝a5c B. b5＝ac
C. b＝5ac D. b＝c5a
3. 方程2log3x＝的解是( )
A. 9 B.
C. D.
4. 若log3[log4(log5x)]＝0，则x＝( )
A. 64 B. 125
C. 256 D. 625
二、 多项选择题
5. 下列说法不正确的有 ( )
A. 只有正数有对数
B. 任何一个指数式都可以化成对数式
C. 以5为底25的对数等于±2
D. 3log3(－5)＝－5成立
6. 下列指数式与对数式的互化中正确的是( )
A. 100＝1与lg 1＝0
B. 27－＝与log27＝－3
C. log39＝2与32＝9
D. log55＝1与51＝5
三、 填空题
7. 已知a2＝ (a>0)，则loga＝ ．
8. 计算：2log23＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝ ．
四、 解答题
9. 求下列各式中x的值：
(1) logx＝－3；
(2) logx49＝4；
(3) lg 0.000 01＝x；
(4) ln ＝－x.
10. (1) 已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2) 已知logx27＝31＋log32，求x的值．
11. 若10a＝4，10b＝25，则( )
A. a＋b＝2 B. b－a＝1
C. ab>8lg22 D. b－a>lg 6
12.声强是表示声波强度的物理量，记作I，由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝lg ，其中I0＝10-20W/m2，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪声环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的( )
A. 3倍 B. 103倍
C. 106倍 D. 10600倍
13. 已知函数f(x)＝k·ax且f(0)＝1，f(1)＝2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解关于x的不等式：f(2x)>2f(x)＋3.4.3 对 数
第1课时 对数的概念
学习 目标 1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2. 了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数的计算．
新知初探基础落实
问题：我们知道：若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若x＝128，则x＝－7；对于这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．
一、 生成概念
在“4.2第1课时”的问题3中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
上述问题实际上就是从2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
请同学阅读课本P122—P123，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__．
2. 常用对数与自然对数
(1) 常用对数：通常，我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作
__lg N__．
(2) 自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以__e__为底的对数称为自然对数，并把logeN记作__ln N__．
3. 对数的基本性质
(1) 负数和0__没有__对数．
(2) loga1＝__0__(a>0，且a≠1).
(3) logaa＝__1__(a>0，且a≠1).
4. 对数恒等式
(1) alogaN＝__N__(a>0，且a≠1，N>0).
(2) logaab＝__b__(a>0，且a≠1).
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(2) (－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( × )
(3) 对数lg N的底数是10.( √ )
(4) 在y＝log3(x－1)中，实数x的取值范围是(1，＋∞).( √ )
典例精讲能力初成
探究1 对数的概念
例1 (1) 下列说法错误的是( B )
A. 零和负数没有对数
B. 任何一个指数式都可化为对数式
C. 以10为底的对数叫做常用对数
D. 以e为底的对数叫做自然对数
【解析】A是对数的性质，C是常用对数的定义，D是自然对数的定义，显然正确．对于B，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2.
(2) 对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是( C )
A. (－∞，5) B. (2，5)
C. (2，3)∪(3，5) D. (2，＋∞)
【解析】要使对数式log(a－2)(5－a)有意义，则解得a∈(2，3)∪(3，5).
探究2 指数式与对数式互化求值
视角1 指数式与对数式的互化
例2-1 (课本P122例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) 54＝625；
【解答】log5625＝4.
(2) 2-6＝；
【解答】log2＝－6.
(3) ＝5.73；
【解答】log5.73＝m.
(4) log16＝－4；
【解答】＝16.
(5) lg 0.01＝－2；
【解答】10-2＝0.01.
(6) ln 10＝n.
【解答】en＝10.
变式 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1) 2-7＝；
【解答】由2-7＝，可得log2＝－7.
(2) log32＝－5；
【解答】由log32＝－5，可得＝32.
(3) lg 1 000＝3；
【解答】由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4) ln x＝2.
【解答】由ln x＝2，可得e2＝x.
视角2 利用指数式与对数式的关系求值
例2-2 (课本P123例2)求下列各式中x的值：
(1) log64x＝－；
【解答】因为log64x＝－，所以x＝64－＝(43)－＝4-2＝.
(2) logx8＝6；
【解答】因为logx8＝6，所以x6＝8.又x>0，所以x＝8＝(23)＝2＝.
(3) lg 100＝x；
【解答】因为lg 100＝x，所以10x＝100＝102，于是x＝2.
(4) －ln e2＝x.
【解答】因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
变式 (1) 若logx＝－3，则x＝( D )
A. 81 B.
C. D. 3
【解析】因为logx＝－3，所以x-3＝，即x3＝27，所以x＝3.
(2) 若x＝3，则x＝__3__．
【解析】因为x＝3，所以有()3＝x，即x＝3.
探究3 对数性质及对数恒等式
例3 求下列各式中x的值：
(1) log2(log5x)＝0；
【解答】因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.
(2) log3(lg x)＝1；
【解答】因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000.
(3) x＝71－log75.
【解答】x＝71－log75＝7÷7log75＝7÷5＝.
(1) 此类题型应由外到内逐层深入来解决．logaN＝0 N＝1；logaN＝1 N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
(2) 符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N.
随堂内化及时评价
1. 下列对数式中，与指数式7x＝9等价的是( C )
A. log7x＝9 B. log9x＝7
C. log79＝x D. logx9＝7
【解析】根据指数式和对数式的关系，7x＝9等价于log79＝x.
2. 若loga9＝－2，则a的值为( D )
A. －3 B. －
C. 3 D.
【解析】因为loga9＝－2，所以a-2＝9，解得a＝.
3. 在b＝loga(3－a)中，实数a的取值范围是( D )
A. (0，1) B. (－∞，0)∪(3，＋∞)
C. (1，3) D. (0，1)∪(1，3)
【解析】由对数的定义可知解得0
4. 已知4a＝2，lg x＝a，则x＝( B )
A. B.
C. 10 D. 1
【解析】因为4a＝2，所以a＝.因为lg x＝a，所以lg x＝a＝，所以x＝.
5. 若log5[log3(log2x)]＝0，则x－＝( C )
A. B.
C. D.
【解析】因为log5[log3(log2x)]＝0，所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知对数式log(a＋1)有意义，则a的取值范围为( B )
A. (－1，4) B. (－1，0)∪(0，4)
C. (－4，0)∪(0，1) D. (－4，1)
2. 若loga＝c，则下列关系式正确的是 ( A )
A. b＝a5c B. b5＝ac
C. b＝5ac D. b＝c5a
3. 方程2log3x＝的解是( D )
A. 9 B.
C. D.
【解析】因为2log3x＝＝2-2，所以log3x＝－2，所以x＝3-2＝.
4. 若log3[log4(log5x)]＝0，则x＝( D )
A. 64 B. 125
C. 256 D. 625
【解析】因为log3[log4(log5x)]＝0，所以log4(log5x)＝1，所以log5x＝4，所以x＝54＝625.
二、 多项选择题
5. 下列说法不正确的有 ( BCD )
A. 只有正数有对数
B. 任何一个指数式都可以化成对数式
C. 以5为底25的对数等于±2
D. 3log3(－5)＝－5成立
6. 下列指数式与对数式的互化中正确的是( ACD )
A. 100＝1与lg 1＝0
B. 27－＝与log27＝－3
C. log39＝2与32＝9
D. log55＝1与51＝5
【解析】B选项中，27－＝ log27＝－.
三、 填空题
7. 已知a2＝ (a>0)，则loga＝__2__．
8. 计算：2log23＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝__0__．
【解析】原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
四、 解答题
9. 求下列各式中x的值：
(1) logx＝－3；
【解答】因为logx＝－3，所以x＝＝27.
(2) logx49＝4；
【解答】因为logx49＝4，所以x4＝49，所以x＝±，因为x>0且x≠1，所以x＝.
(3) lg 0.000 01＝x；
【解答】因为lg 0.000 01＝x，所以10x＝0.000 01＝10-5，所以x＝－5.
(4) ln ＝－x.
【解答】因为ln ＝－x，所以＝e－x，即e－x＝e，所以x＝－.
10. (1) 已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
【解答】因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54，所以182a－b＝＝＝.
(2) 已知logx27＝31＋log32，求x的值．
【解答】因为logx27＝31＋log32＝3×3log32＝3×2＝6，所以x6＝27，所以x6＝33.又x＞0，所以x＝.
11. 若10a＝4，10b＝25，则( ACD )
A. a＋b＝2 B. b－a＝1
C. ab>8lg22 D. b－a>lg 6
【解析】由题设，10a＋b＝100，即a＋b＝2，A正确；10b－a＝，即b－a＝lg >lg ＝lg 6，B错误，D正确；由a＝2lg 2，b＝2lg 5，则ab＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，C正确．
12.声强是表示声波强度的物理量，记作I，由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝lg ，其中I0＝10-20W/m2，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪声环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的( C )
A. 3倍 B. 103倍
C. 106倍 D. 10600倍
【解析】设90分贝声强级的声强是I1，由90＝10· lg ，得I1＝I0·109(W/m2).设30分贝声强级的声强是I2，由30＝10·lg ，得I2＝I0·103(W/m2)，所以＝＝106.
13. 已知函数f(x)＝k·ax且f(0)＝1，f(1)＝2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】由f(0)＝1，f(1)＝2，得解得所以f(x)的解析式为f(x)＝2x.
(2) 解关于x的不等式：f(2x)>2f(x)＋3.
【解答】由(1)知，f(x)＝2x，所以f(2x)＝22x＝4x，由f(2x)>2f(x)＋3，得4x>2×2x＋3，即4x－2×2x－3>0，令t＝2x(t>0)，则t2－2t－3>0，解得t>3或t<－1，所以t>3，即2x>3，解得x>log23.所以原不等式的解集为(log23，＋∞).(共39张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
第1课时 对数的概念
学习 目标 1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2. 了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数的计算．
新知初探 基础落实
用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．
一、 生成概念
在“4.2第1课时”的问题3中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
上述问题实际上就是从2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
请同学阅读课本P122—P123，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的_______，N叫做_______．
2. 常用对数与自然对数
(1) 常用对数：通常，我们将以_____为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_______．
(2) 自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以____为底的对数称为自然对数，并把logeN记作_______．
底数
真数
10
lg N
e
ln N
3. 对数的基本性质
(1) 负数和0_______对数．
(2) loga1＝____(a>0，且a≠1).
(3) logaa＝____(a>0，且a≠1).
4. 对数恒等式
(1) alogaN＝____(a>0，且a≠1，N>0).
(2) logaab＝____(a>0，且a≠1).
没有
0
1
N
b
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数运算的实质是求幂指数． ( )
(2) (－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3. ( )
(3) 对数lg N的底数是10. ( )
(4) 在y＝log3(x－1)中，实数x的取值范围是(1，＋∞). ( )
√
×
√
√
典例精讲 能力初成
探究
(1) 下列说法错误的是 ( )
A. 零和负数没有对数
B. 任何一个指数式都可化为对数式
C. 以10为底的对数叫做常用对数
D. 以e为底的对数叫做自然对数
1
对数的概念
1
B
【解析】A是对数的性质，C是常用对数的定义，D是自然对数的定义，显然正确．对于B，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2.
(2) 对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是 ( )
A. (－∞，5) B. (2，5)
C. (2，3)∪(3，5) D. (2，＋∞)
C
探究
视角1 指数式与对数式的互化
(课本P122例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) 54＝625；
2
指数式与对数式互化求值
【解答】log5625＝4.
2－1
(课本P122例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(5) lg 0.01＝－2；
【解答】10-2＝0.01.
(6) ln 10＝n.
【解答】en＝10.
变式
将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(3) lg 1 000＝3；
【解答】由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4) ln x＝2.
【解答】由ln x＝2，可得e2＝x.
视角2 利用指数式与对数式的关系求值
(课本P123例2)求下列各式中x的值：
2－2
(2) logx8＝6；
(3) lg 100＝x；
【解答】因为lg 100＝x，所以10x＝100＝102，于是x＝2.
(4) －ln e2＝x.
【解答】因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
变式
D
探究
求下列各式中x的值：
(1) log2(log5x)＝0；
3
对数性质及对数恒等式
3
【解答】因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.
(2) log3(lg x)＝1；
【解答】因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000.
(3) x＝71－log75.
(1) 此类题型应由外到内逐层深入来解决．logaN＝0 N＝1；logaN＝1 N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
(2) 符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N.
随堂内化 及时评价
1. 下列对数式中，与指数式7x＝9等价的是 ( )
A. log7x＝9 B. log9x＝7
C. log79＝x D. logx9＝7
C
【解析】根据指数式和对数式的关系，7x＝9等价于log79＝x.
D
3. 在b＝loga(3－a)中，实数a的取值范围是 ( )
A. (0，1) B. (－∞，0)∪(3，＋∞)
C. (1，3) D. (0，1)∪(1，3)
D
B
C
配套新练案
B
A
D
4. 若log3[log4(log5x)]＝0，则x＝ ( )
A. 64 B. 125
C. 256 D. 625
D
【解析】因为log3[log4(log5x)]＝0，所以log4(log5x)＝1，所以log5x＝4，所以x＝54＝625.
二、 多项选择题
5. 下列说法不正确的有 ( )
A. 只有正数有对数
B. 任何一个指数式都可以化成对数式
C. 以5为底25的对数等于±2
D. 3log3(－5)＝－5成立
BCD
ACD
2
8. 计算：2log23＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝____．
【解析】原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
0
四、 解答题
9. 求下列各式中x的值：
(2) logx49＝4；
9. 求下列各式中x的值：
(3) lg 0.000 01＝x；
【解答】因为lg 0.000 01＝x，所以10x＝0.000 01＝10-5，所以x＝－5.
10. (1) 已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2) 已知logx27＝31＋log32，求x的值．
11. 若10a＝4，10b＝25，则 ( )
A. a＋b＝2 B. b－a＝1
C. ab>8lg22 D. b－a>lg 6
ACD
C
13. 已知函数f(x)＝k·ax且f(0)＝1，f(1)＝2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解关于x的不等式：f(2x)>2f(x)＋3.
【解答】由(1)知，f(x)＝2x，所以f(2x)＝22x＝4x，由f(2x)>2f(x)＋3，得4x>2×2x＋3，即4x－2×2x－3>0，令t＝2x(t>0)，则t2－2t－3>0，解得t>3或t<－1，所以t>3，即2x>3，解得x>log23.所以原不等式的解集为(log23，＋∞).