第2课时 对数的运算
学习 目标 1. 理解对数的运算性质和换底公式，理解其推导过程和成立条件． 2. 能熟练运用对数的运算性质和对数换底公式进行化简、求值．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P124—P126，完成下列填空．
一、 概念表述
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
loga(MN)＝ ；
loga＝ ；
logaMn＝ (n∈R).
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) log223＝3log22.( )
(2) log2(8＋4)＝log28＋log24.( )
(3) log2(8－4)＝log28－log24.( )
(4) ＝log2.( )
典例精讲能力初成
探究1 对数式的计算与化简
例1 (课本P124例3)求下列各式的值：
(1) lg ；
(2) log2(47×25).
变式 求下列各式的值：
(1) lg 25＋lg 2＋lg ＋lg (0.01)-1；
(2) 2log32－log3＋log38－3log55；
(3) (lg 5)2＋lg 2·lg 50；
(4) lg (＋).
探究2 换底公式的应用
1. 对数的换底公式： (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
2. 换底公式的重要推论
(1) logaN＝ (a>0，且a≠1；N>0，且N≠1)；
(2) loganbm＝ (a>0，且a≠1，b>0)；
(3) logab·logbc·logcd＝ (a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
例2 (1) 计算：(log43＋log83).
(2) 已知log1227＝a，求log616的值．
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧：
探究3 对数的实际问题
例3 (课本P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
探究4 对数中的条件求值与证明问题
例4 (1) 设3x＝4y＝36，求＋的值．
(2) 设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
随堂内化及时评价
1. 化简：＝( )
A. log54 B. 3log52
C. 2 D. 3
2. 1.10＋eln 2－0.5-2＋lg 25＋2lg 2＝( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. (2025·东莞期末)(多选)已知10a＝2，10b＝3，则下列运算正确的是( )
A. 10＝ B. 10＝
C. ＝log32 D. ab＝lg 6
4. (2025·无锡期末)若log23＝a，log27＝b，则log2＝ ，log4256＝ ．(结果用a，b表示)
5. (课本P126练习3)化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52；
(2) 2(log43＋log83)(log32＋log92).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 计算：log29·log34＝( )
A. B.
C. 2 D. 4
2. 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的为( )
A. (logax)n＝nlogax B. (logax)n＝logaxn
C. logax＝－loga D. ＝logax
3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10-10.1
4. 已知log147＝a，log145＝b，则用a，b表示log3528等于( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是( )
A. (2a)2＝2b B. a·eln a＝b
C. b＝2a D. log2a＝log8(ab)
6. 以下运算正确的有( )
A. lg 5＋lg 2＝1 B. ·a－＝0
C. 2log23－30＝2 D. log89·log2716＝
三、 填空题
7. 求值：log2·log38·log27＝ ．
8. (2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝ ．
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
(1) －(－9.6)0－＋；
(2) (log43＋log83)(log32＋log92)＋log3－2log25；
(3) 若3a＝12，b＝log412，求＋的值．
10. (1) 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值；
(2) 已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
11. (2023·新高考Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A. p1≥p2 B. p2>10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
12. (多选)设n1和n2分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究，科学家用P1，P2分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中P1＝lg n1，P2＝lg n2，则以下说法正确的是( )
A. P1＋P2＝10
B. P1≥1
C. 若今天的P1值比昨天的P1值增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个
D. 已知lg 5≈0.7，假设科学家将乙细菌的个数控制为5万，则此时5
13. (2025·南通期末)设lg 2＝a，lg 3＝b，若2 025＝100c，则c＝ ．(结果用a，b表示)第2课时 对数的运算
学习 目标 1. 理解对数的运算性质和换底公式，理解其推导过程和成立条件． 2. 能熟练运用对数的运算性质和对数换底公式进行化简、求值．
新知初探基础落实
复习：通过前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？接着我们研究了指数幂的运算性质．
指数式与对数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1).
指数幂的运算性质：
(1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；
(2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；
(3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．
一、 生成概念
问题1：计算下面两组式子，判断它们有什么关系？
(1) lg lg 100＋lg ＋lg 1；
(2) log2log24＋log2.
提示：尝试从计算结果出发，能否发现它们之间的关系呢？
总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数．
问题2：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M＝am，N＝an，因为aman＝am＋n，所以MN＝am＋n.
根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，
故loga(MN)＝logaM＋logaN.
问题3：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？
提示：从对数运算的角度进行推导．
设m＝logaM，n＝logaN，即M＝am，N＝an，所以MN＝am·an＝am＋n，所以loga(MN)＝m＋n，故loga(MN)＝logaM＋logaN.
思考：你能仿照上述过程，根据指数的性质ar÷as＝ar－s，(ar)s＝ars，尝试推导出对数的其他运算性质吗？
请同学阅读课本P124—P126，完成下列填空．
二、 概念表述
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
loga(MN)＝__logaM＋logaN__；
loga＝__logaM－logaN__；
logaMn＝__nlogaM__(n∈R).
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) log223＝3log22.( √ )
(2) log2(8＋4)＝log28＋log24.( × )
(3) log2(8－4)＝log28－log24.( × )
(4) ＝log2.( × )
典例精讲能力初成
探究1 对数式的计算与化简
例1 (课本P124例3)求下列各式的值：
(1) lg ；
【解答】lg ＝lg 100＝lg 100＝.
(2) log2(47×25).
【解答】log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
变式 求下列各式的值：
(1) lg 25＋lg 2＋lg ＋lg (0.01)-1；
【解答】原式＝lg [25×2×10×(10-2)-1]＝lg (5×2×10×102)＝lg 10＝.
(2) 2log32－log3＋log38－3log55；
【解答】原式＝2log32－5log32＋log332＋3log32－3＝2－3＝－1.
(3) (lg 5)2＋lg 2·lg 50；
【解答】原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
(4) lg (＋).
【解答】原式＝lg (＋)2＝lg (6＋2)＝lg (6＋4)＝lg 10＝.
探究2 换底公式的应用
1. 对数的换底公式：__logab＝__(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
2. 换底公式的重要推论
(1) logaN＝____(a>0，且a≠1；N>0，且N≠1)；
(2) loganbm＝__logab__(a>0，且a≠1，b>0)；
(3) logab·logbc·logcd＝__logad__(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
例2 (1) 计算：(log43＋log83).
【解答】原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.
(2) 已知log1227＝a，求log616的值．
【解答】由log1227＝a，得＝a，所以lg 2＝lg 3，所以log616＝＝＝＝.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧：
探究3 对数的实际问题
例3 (课本P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
【解答】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.由lg E＝4.8＋1.5M，可得lg E1＝4.8＋1.5×9.0，lg E2＝4.8＋1.5×8.0.于是，lg ＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9.0)－(4.8＋1.5×8.0)＝1.5.利用计算工具可得，＝101.5≈32.虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．
探究4 对数中的条件求值与证明问题
例4 (1) 设3x＝4y＝36，求＋的值．
【解答】因为3x＝36，4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，所以＝log363，＝log364，所以＋＝log36(32×4)＝log3636＝1.
(2) 设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
【解答】设xa＝yb＝zc＝k，则＝，＝，＝，所以＋＝，所以lg (xy)＝lg z，即z＝xy.
随堂内化及时评价
1. 化简：＝( D )
A. log54 B. 3log52
C. 2 D. 3
2. 1.10＋eln 2－0.5-2＋lg 25＋2lg 2＝( B )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】1.10＋eln 2－0.5-2＋lg 25＋2lg 2＝1＋2－4＋2lg 5＋2lg 2＝－1＋2lg (5×2)＝－1＋2＝1.
3. (2025·东莞期末)(多选)已知10a＝2，10b＝3，则下列运算正确的是( ABC )
A. 10＝ B. 10＝
C. ＝log32 D. ab＝lg 6
【解析】对于A，10＝＝＝，故A正确；对于B，10＝＝＝＝，故B正确；对于C，因为10a＝2，10b＝3，所以a＝lg 2，b＝lg 3，则由换底公式可得＝＝log32，故C正确；对于D，因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以ab＝lg 2·lg 3≠
lg 6，故D错误．
4. (2025·无锡期末)若log23＝a，log27＝b，则log2＝__b－2a__，log4256＝____．(结果用a，b表示)
【解析】由log23＝a，log27＝b，得log2＝log27－log29＝log27－2log23＝b－2a，log4256＝＝＝＝.
5. (课本P126练习3)化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52；
【解答】log23×log34×log45×log52＝×××＝1.
(2) 2(log43＋log83)(log32＋log92).
【解答】2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2(log223＋log233)·(log32＋log322)＝2＝2×log23×log32＝log23×log32＝×1＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 计算：log29·log34＝( D )
A. B.
C. 2 D. 4
2. 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的为( C )
A. (logax)n＝nlogax B. (logax)n＝logaxn
C. logax＝－loga D. ＝logax
3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( A )
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10-10.1
【解析】由题意，令m1＝－26.7，m2＝－1.45，则lg ＝(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，所以＝1010.1.
4. 已知log147＝a，log145＝b，则用a，b表示log3528等于( A )
A. B.
C. D.
【解析】log3528＝＝＝＝.
二、 多项选择题
5. 已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是( BD )
A. (2a)2＝2b B. a·eln a＝b
C. b＝2a D. log2a＝log8(ab)
【解析】由2log3＋log3b＝0，得a>0，b>0，且log3a-2＋log3b＝0，即log3(a-2b)＝0，所以a-2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不总是成立，故C错误；由于(2a)2＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，结合以上分析可知A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8(ab)＝log8a3＝log23a3＝log2a，故D正确．
6. 以下运算正确的有( ACD )
A. lg 5＋lg 2＝1 B. ·a－＝0
C. 2log23－30＝2 D. log89·log2716＝
三、 填空题
7. 求值：log2·log38·log27＝__18__．
8. (2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝__64__．
【解析】由题知－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
(1) －(－9.6)0－＋；
【解答】－(－9.6)0－＋＝－1－＋＝－1－＋＝.
(2) (log43＋log83)(log32＋log92)＋log3－2log25；
【解答】(log43＋log83)(log32＋log92)＋log3－2log25＝＋log33－5＝·＋－5＝＋－5＝－3.
(3) 若3a＝12，b＝log412，求＋的值．
【解答】由3a＝12，得a＝log312，又b＝log412，所以＋＝＋＝log123＋log124＝log1212＝1.
10. (1) 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值；
【解答】方法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，故log3645＝＝＝＝＝.
方法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝＝.
(2) 已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
【解答】不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞1，于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，所以＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝，即得证．
11. (2023·新高考Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( ACD )
A. p1≥p2 B. p2>10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
【解析】对于A，因为L1－L2＝20×lg －20×lg ＝20×＝20×lg ≥0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，因为L2－L3＝20×lg ≥10，所以lg ≥，所以≥，故B错误；对于C，因为L3＝20×lg ＝40，所以lg ＝2，所以＝100，故C正确；对于D，L1－L2＝20×lg ≤90－50＝40，所以lg ≤2，所以≤100，故D正确．
12. (多选)设n1和n2分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究，科学家用P1，P2分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中P1＝lg n1，P2＝lg n2，则以下说法正确的是( AD )
A. P1＋P2＝10
B. P1≥1
C. 若今天的P1值比昨天的P1值增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个
D. 已知lg 5≈0.7，假设科学家将乙细菌的个数控制为5万，则此时5【解析】因为n1·n2＝1010，所以lg (n1·n2)＝10，即lg n1＋lg n2＝10，即P1＋P2＝10，故A正确；当n1＝1时，P1＝0，故B错误；若P1＝1，则n1＝10，若P1＝2，则n1＝100，此时增加了90个，故C错误；若n2＝5×104，则n1＝＝2×105，所以P1＝lg n1＝lg (2×105)＝lg 2＋5＝1－lg 5＋5≈5.3∈(5，5.5)，故D正确．
13. (2025·南通期末)设lg 2＝a，lg 3＝b，若2 025＝100c，则c＝__2b－a＋1__．(结果用a，b表示)
【解析】由2 025＝100c可得，c＝log1002 025＝＝＝lg 45＝lg ＝lg 90－lg 2＝2lg 3＋1－lg 2＝2b－a＋1.(共43张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
第2课时 对数的运算
学习 目标 1. 理解对数的运算性质和换底公式，理解其推导过程和成立条件．
2. 能熟练运用对数的运算性质和对数换底公式进行化简、求值．
新知初探 基础落实
复习：通过前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？接着我们研究了指数幂的运算性质．
指数式与对数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1).
指数幂的运算性质：
(1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；
(2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；
(3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．
一、 生成概念
问题1：计算下面两组式子，判断它们有什么关系？
提示：尝试从计算结果出发，能否发现它们之间的关系呢？
总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数．
问题2：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M＝am，N＝an，因为aman＝am＋n，所以MN＝am＋n.
根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，
故loga(MN)＝logaM＋logaN.
问题3：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？
提示：从对数运算的角度进行推导．
设m＝logaM，n＝logaN，即M＝am，N＝an，所以MN＝am·an＝am＋n，所以loga(MN)＝m＋n，故loga(MN)＝logaM＋logaN.
思考：你能仿照上述过程，根据指数的性质ar÷as＝ar－s，(ar)s＝ars，尝试推导出对数的其他运算性质吗？
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) log223＝3log22. ( )
(2) log2(8＋4)＝log28＋log24. ( )
(3) log2(8－4)＝log28－log24. ( )
√
×
×
×
典例精讲 能力初成
探究
1
对数式的计算与化简
1
(2) log2(47×25).
【解答】log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
变式
求下列各式的值：
求下列各式的值：
(3) (lg 5)2＋lg 2·lg 50；
探究
1. 对数的换底公式：____________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
2. 换底公式的重要推论
(1) logaN＝________(a>0，且a≠1；N>0，且N≠1)；
(2) loganbm＝____________(a>0，且a≠1，b>0)；
(3) logab·logbc·logcd＝________(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
2
换底公式的应用
logad
2
(2) 已知log1227＝a，求log616的值．
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧：
探究
(课本P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
3
对数的实际问题
3
探究
4
对数中的条件求值与证明问题
4
随堂内化 及时评价
D
2. 1.10＋eln 2－0.5-2＋lg 25＋2lg 2＝ ( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
B
【解析】1.10＋eln 2－0.5-2＋lg 25＋2lg 2＝1＋2－4＋2lg 5＋2lg 2＝－1＋2lg (5×2)＝－1＋2＝1.
ABC
b－2a
5. (课本P126练习3)化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52；
(2) 2(log43＋log83)(log32＋log92).
配套新练案
D
C
A
A
BD
ACD
18
64
四、 解答题
9. 计算下列各式的值：
9. 计算下列各式的值：
9. 计算下列各式的值：
10. (1) 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值；
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 ( )
A. p1≥p2 B. p2>10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
【答案】ACD
12. (多选)设n1和n2分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究，科学家用P1，P2分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中P1＝lg n1，P2＝lg n2，则以下说法正确的是 ( )
A. P1＋P2＝10
B. P1≥1
C. 若今天的P1值比昨天的P1值增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个
D. 已知lg 5≈0.7，假设科学家将乙细菌的个数控制为5万，则此时5【答案】AD
13. (2025·南通期末)设lg 2＝a，lg 3＝b，若2 025＝100c，则c＝___________．(结果用a，b表示)
2b－a＋1