4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念
学习 目标 1. 通过具体实例，理解对数函数的概念． 2. 会求简单对数函数的定义域，了解对数函数在实际问题中的简单应用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P130—P131，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是 ．
2. 对数函数的特征：
(1) a>0，且a≠1；
(2) logax的系数为1；
(3) 真数为自变量x，且x>0.
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 函数y＝logx是对数函数．( )
(2) 函数y＝2log3x是对数函数．( )
(3) 函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).( )
(4) 函数y＝1＋log3x是对数函数．( )
典例精讲能力初成
探究1 对数函数的概念
例1 (1) 下列函数是对数函数的是( )
A. y＝log3(x＋1)
B. y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C. y＝logax2(a>0，且a≠1)
D. y＝ln x
(2) 若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝ ．
探究2 对数型函数的定义域
例2 (课本P130例1)求下列函数的定义域：
(1) y＝log3x2；
(2) y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1).
变式 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝lg (x－2)＋；
(2) f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；
(3) f(x)＝.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则：
(1) 分母不能为0.
(2) 根指数为偶数时，被开方数非负．
(3) 对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
探究3 对数函数的解析式或函数值
例3 已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若关于x的方程f(x2－tx＋8)＝2在[1，4]上有解，求实数t的取值范围．
探究4 对数函数在实际问题中的简单应用
例4 (课本P131例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为ω.
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
变式 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( )
A. 300只 B. 400只
C. 600只 D. 700只
随堂内化及时评价
1. 使式子log(3x－1)(3－x)有意义的x的取值范围是( )
A. (3，＋∞) B. (－∞，3)
C. D. ∪
2. 下列函数是对数函数的是( )
A. y＝loga(3x) B. y＝log22x
C. y＝log2x＋1 D. y＝lg x
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f(－4)＝( )
A. B. 2
C. － D. －2
4. 已知f(x)＝ln (x2－ax＋1)的定义域为R，那么a的取值范围为 ．
5. (课本P131练习1)求下列函数的定义域：
(1) y＝ln (1－x)；
(2) y＝；
(3) y＝log7；
(4) y＝loga|x|(a>0，且a≠1).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a等于( )
A. －1 B. 2
C. 3 D. 5
2. 函数f(x)＝的定义域为( )
A. [1，10] B. [1，2)∪(2，10]
C. (1，10] D. (1，2)∪(2，10]
3. 设f(x)＝则f(f(2))的值为( )
A. 0 B. e
C. 2 D. 2e
4. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝10·lg .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60 dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150 dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的( )
A. 107倍 B. 108倍
C. 109倍 D. 1010倍
二、 多项选择题
5. 下列函数中为对数函数的是( )
A. y＝log(－x)
B. y＝log4x2
C. y＝ln x
D. y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)
6. 若函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是( )
A. f(x2)＝2f(x)
B. f(2x)＝f(x)＋f(2)
C. f＝f(x)－f(2)
D. f(2x)＝2f(x)
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝logax，且f(2)＝，则实数a＝ ；f＋f＋f＝ ．
8. 若f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a＝ ．
四、 解答题
9. (1) 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，求f(2)的值；
(2) 求函数y＝log(2x－1)(2－x)的定义域．
10. 已知函数y1＝log3(ax＋b)的图象过点A(2，1)和B(5，2).
(1) 求此函数的表达式；
(2) 已知函数y2＝log3，若两个函数图象在区间[1，2)上有公共点，求t的最小值．
11. (2025·常州期末)(多选)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则实数a的取值可能为( )
A. －2 B.
C. 1 D. 27
12. (2025·淄博期末)已知函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在函数g(x)＝log2(x＋a)的图象上．
(1) 若f(x)－f(－x)＝，求x的值；
(2) 若函数y＝f(g(x))在区间[2，6]上的图象总在直线y＝kx＋1上方，求实数k的取值范围．4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念
学习 目标 1. 通过具体实例，理解对数函数的概念． 2. 会求简单对数函数的定义域，了解对数函数在实际问题中的简单应用．
新知初探基础落实
问题1：在“4.2第1课时”的问题4中，我们知道死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律为y＝x，x∈(0，＋∞).反过来，已知死亡生物体内碳14的含量y，如何求死亡时间x
由指数和对数的关系可得y＝x，x∈(0，＋∞) x＝logy，x∈(0，＋∞)，转化为对数后知道y就可以求出x.
一、 生成概念
问题2：请问x＝logy，x∈(0，＋∞)中 y的取值范围是什么？
由指数式知，y∈(0，1).
问题3：x＝logy，y∈(0，1)是一个函数吗？当从解析式里看不出结果时，我们可以通过什么方式去研究这个问题？
作图．
问题4：你能作出x＝logy，y∈(0，1)的图象吗？如果不能，我们可以作其他函数的图象代替吗？
不能，可以先作出y＝x，x∈(0，＋∞)的图象，在y轴上任取点(0，y0)，y0∈(0，1)，过该点作x轴的的平行线，与图象只有一个交点，也就是说只有一个唯一确定的x0与y0对应，所以x＝logy，y∈(0，1)可以代替．
请同学阅读课本P130—P131，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__(0，＋∞)__．
2. 对数函数的特征：
(1) a>0，且a≠1；
(2) logax的系数为1；
(3) 真数为自变量x，且x>0.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 函数y＝logx是对数函数．( × )
(2) 函数y＝2log3x是对数函数．( × )
(3) 函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞).( × )
(4) 函数y＝1＋log3x是对数函数．( × )
典例精讲能力初成
探究1 对数函数的概念
例1 (1) 下列函数是对数函数的是( D )
A. y＝log3(x＋1)
B. y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C. y＝logax2(a>0，且a≠1)
D. y＝ln x
(2) 若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝__4__．
【解析】因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4.
探究2 对数型函数的定义域
例2 (课本P130例1)求下列函数的定义域：
(1) y＝log3x2；
【解答】由x2>0，得x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2) y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1).
【解答】由4－x>0，得x<4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}．
变式 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝lg (x－2)＋；
【解答】要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2) f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；
【解答】要使函数有意义，需满足解得－1
(3) f(x)＝.
【解答】要使函数有意义，应满足log0.5(5x－4)≥0，即0＜5x－4≤1，解得＜x≤1，所以函数的定义域是.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则：
(1) 分母不能为0.
(2) 根指数为偶数时，被开方数非负．
(3) 对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
探究3 对数函数的解析式或函数值
例3 已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点.
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】由题意得－2＝loga，所以a＝2，f(x)＝log2x.
(2) 若关于x的方程f(x2－tx＋8)＝2在[1，4]上有解，求实数t的取值范围．
【解答】f(x2－tx＋8)＝log2(x2－tx＋8)＝2，即x2－tx＋8＝4在[1，4]上有解，所以t＝x＋在[1，4]上有解．又x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时取得最小值4，所以可作出函数t＝x＋(x>0)的图象如图所示，根据对勾函数的性质，当x∈[1，2]时，t＝x＋单调递减，当x∈[2，4]时，t＝x＋单调递增，所以4≤t≤5，故实数t的取值范围为[4，5].
(例3答)
探究4 对数函数在实际问题中的简单应用
例4 (课本P131例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为ω.
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
【解答】由题意可知，经过t年后物价ω＝(1＋5%)t，即ω＝1.05t(t∈[0，＋∞)).由对数与指数间的关系，可得t＝log1.05ω，ω∈[1，＋∞).由计算工具可得，当ω＝2时，t≈14.所以该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
【解答】根据函数t＝log1.05ω，ω∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：
物价ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小．
变式 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( A )
A. 300只 B. 400只
C. 600只 D. 700只
【解析】将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
随堂内化及时评价
1. 使式子log(3x－1)(3－x)有意义的x的取值范围是( D )
A. (3，＋∞) B. (－∞，3)
C. D. ∪
【解析】由题意得解得2. 下列函数是对数函数的是( D )
A. y＝loga(3x) B. y＝log22x
C. y＝log2x＋1 D. y＝lg x
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f(－4)＝( D )
A. B. 2
C. － D. －2
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，所以f(－4)＝－f(4)＝－log24＝－2.
4. 已知f(x)＝ln (x2－ax＋1)的定义域为R，那么a的取值范围为__(－2，2)__．
【解析】依题可知x2－ax＋1>0的解集为R，所以Δ＝a2－4<0，解得－25. (课本P131练习1)求下列函数的定义域：
(1) y＝ln (1－x)；
【解答】对于函数y＝ln (1－x)，有1－x>0，解得x<1，故函数y＝ln (1－x)的定义域为(－∞，1).
(2) y＝；
【解答】对于函数y＝，有解得x>0且x≠1，故函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).
(3) y＝log7；
【解答】对于函数y＝log7，有>0，解得x<，故函数y＝log7的定义域为.
(4) y＝loga|x|(a>0，且a≠1).
【解答】对于函数y＝loga|x|(a>0，且a≠1)，有|x|>0，解得x≠0，故函数y＝loga|x|(a>0，且a≠1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a等于( D )
A. －1 B. 2
C. 3 D. 5
2. 函数f(x)＝的定义域为( D )
A. [1，10] B. [1，2)∪(2，10]
C. (1，10] D. (1，2)∪(2，10]
3. 设f(x)＝则f(f(2))的值为( C )
A. 0 B. e
C. 2 D. 2e
4. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝10·lg .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60 dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150 dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的( C )
A. 107倍 B. 108倍
C. 109倍 D. 1010倍
【解析】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为x1，x2，则有10·lg ＝60，10·lg ＝150，解得x1＝10-6，x2＝103，则＝＝109.
二、 多项选择题
5. 下列函数中为对数函数的是( CD )
A. y＝log(－x)
B. y＝log4x2
C. y＝ln x
D. y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)
6. 若函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是( ABC )
A. f(x2)＝2f(x)
B. f(2x)＝f(x)＋f(2)
C. f＝f(x)－f(2)
D. f(2x)＝2f(x)
【解析】因为函数y＝f(x)是y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax，所以f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)≠2f(x)，故B正确，D错误；f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，故A正确；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，故C正确．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝logax，且f(2)＝，则实数a＝__4__；f＋f＋f＝__－1__．
8. 若f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a＝__1__．
【解析】由已知得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a.又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1.
四、 解答题
9. (1) 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，求f(2)的值；
【解答】由对数函数的概念可知解得a＝1，所以f(x)＝log2x，则f(2)＝log22＝1.
(2) 求函数y＝log(2x－1)(2－x)的定义域．
【解答】要使函数y＝log(2x－1)(2－x)有意义，则解得10. 已知函数y1＝log3(ax＋b)的图象过点A(2，1)和B(5，2).
(1) 求此函数的表达式；
【解答】由题意知解得所以y1＝log3(2x－1).
(2) 已知函数y2＝log3，若两个函数图象在区间[1，2)上有公共点，求t的最小值．
【解答】由(1)知2x－1＝t＋在[1，2)上有解，则t＝2x－1－在[1，2)上有解．因为函数y＝2x－1－在[1，2)上严格单调递增，所以当x＝1时，y＝2x－1－取最小值2，所以t≥2，即t的最小值为2.
11. (2025·常州期末)(多选)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则实数a的取值可能为( ABD )
A. －2 B.
C. 1 D. 27
【解析】令f(a)＝t，所以f(f(a))＝f(t)＝1，当t>0时，f(t)＝log3t＝1，解得t＝3，所以f(a)＝3，当a>0时，f(a)＝log3a＝3，解得a＝27；当a≤0时，f(a)＝2－a－1＝3，解得a＝－2.当t≤0时，f(t)＝2－t－1＝1，解得t＝－1，所以f(a)＝－1.当a>0时，f(a)＝log3a＝－1，解得a＝；当a≤0时，f(a)＝2－a－1＝－1无解．综上，实数a的取值可能为，27，－2.
12. (2025·淄博期末)已知函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在函数g(x)＝log2(x＋a)的图象上．
(1) 若f(x)－f(－x)＝，求x的值；
【解答】由函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，可得A(0，2).将点A的坐标代入g(x)＝log2(x＋a)可得log2a＝2，解得a＝4，所以f(x)＝4x＋1，f(－x)＝4－x＋1.因为f(x)－f(－x)＝，即4x－4－x＝，整理可得2×(4x)2－3×4x－2＝0，即(2×4x＋1)(4x－2)＝0，解得4x＝2或4x＝－(舍去)，所以x＝.
(2) 若函数y＝f(g(x))在区间[2，6]上的图象总在直线y＝kx＋1上方，求实数k的取值范围．
【解答】由(1)可知f(x)＝4x＋1，g(x)＝log2(x＋4)，所以y＝f(g(x))＝4log2(x＋4)＋1＝(x＋4)2＋1，函数y＝f(g(x))在区间[2，6]上的图象总在直线y＝kx＋1上方，可得(x＋4)2＋1>kx＋1在区间[2，6]上恒成立，整理可得k第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念
学习 目标 1. 通过具体实例，理解对数函数的概念．
2. 会求简单对数函数的定义域，了解对数函数在实际问题中的简单应用．
新知初探 基础落实
由指数式知，y∈(0，1).
作图．
请同学阅读课本P130—P131，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________．
2. 对数函数的特征：
(1) a>0，且a≠1；
(2) logax的系数为1；
(3) 真数为自变量x，且x>0.
(0，＋∞)
(2) 函数y＝2log3x是对数函数． ( )
(3) 函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞). ( )
(4) 函数y＝1＋log3x是对数函数． ( )
×
×
×
×
典例精讲 能力初成
探究
(1) 下列函数是对数函数的是 ( )
A. y＝log3(x＋1)
B. y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C. y＝logax2(a>0，且a≠1)
D. y＝ln x
1
对数函数的概念
1
D
(2) 若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝____．
4
探究
(课本P130例1)求下列函数的定义域：
(1) y＝log3x2；
2
对数型函数的定义域
2
【解答】由x2>0，得x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2) y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1).
【解答】由4－x>0，得x<4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}．
变式
求下列函数的定义域：
求下列函数的定义域：
(2) f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；
求对数型函数的定义域时应遵循的原则：
(1) 分母不能为0.
(2) 根指数为偶数时，被开方数非负．
(3) 对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
探究
3
对数函数的解析式或函数值
3
探究
(课本P131例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为ω.
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
4
对数函数在实际问题中的简单应用
4
【解答】由题意可知，经过t年后物价ω＝(1＋5%)t，即ω＝1.05t(t∈[0，＋∞)).由对数与指数间的关系，可得t＝log1.05ω，ω∈[1，＋∞).由计算工具可得，当ω＝2时，t≈14.所以该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
【解答】根据函数t＝log1.05ω，ω∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小．
(课本P131例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为ω.
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
物价ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
【解析】将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
变式
某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( )
A. 300只 B. 400只
C. 600只 D. 700只
A
随堂内化 及时评价
D
2. 下列函数是对数函数的是 ( )
A. y＝loga(3x) B. y＝log22x
C. y＝log2x＋1 D. y＝lg x
D
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，所以f(－4)＝－f(4)＝－log24＝－2.
D
4. 已知f(x)＝ln (x2－ax＋1)的定义域为R，那么a的取值范围为___________．
【解析】依题可知x2－ax＋1>0的解集为R，所以Δ＝a2－4<0，解得－2(－2，2)
5. (课本P131练习1)求下列函数的定义域：
(1) y＝ln (1－x)；
【解答】对于函数y＝ln (1－x)，有1－x>0，解得x<1，故函数y＝ln (1－x)的定义域为(－∞，1).
5. (课本P131练习1)求下列函数的定义域：
(4) y＝loga|x|(a>0，且a≠1).
【解答】对于函数y＝loga|x|(a>0，且a≠1)，有|x|>0，解得x≠0，故函数y＝loga|x|(a>0，且a≠1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a等于 ( )
A. －1 B. 2
C. 3 D. 5
D
D
C
C
CD
ABC
4
－1
【解析】由已知得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a.又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1.
1
四、 解答题
9. (1) 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，求f(2)的值；
(2) 求函数y＝log(2x－1)(2－x)的定义域．
10. 已知函数y1＝log3(ax＋b)的图象过点A(2，1)和B(5，2).
(1) 求此函数的表达式；
ABD
12. (2025·淄博期末)已知函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在函数g(x)＝log2(x＋a)的图象上．
(2) 若函数y＝f(g(x))在区间[2，6]上的图象总在直线y＝kx＋1上方，求实数k的取值范围．