第2课时 对数函数的图象与性质(1)
学习 目标 1. 初步掌握对数函数的图象和性质． 2. 会类比指数函数研究对数函数的性质，掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P132—P135，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax
底数 a>1 0
图象
性质 定义域为 ，值域为R
图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
当x∈(0，1)时，y∈ ； 当x∈[1，＋∞)时，y∈ 当x∈(0，1)时，y∈ ； 当x∈[1，＋∞)时，y∈
2. 底数不同时对数函数图象的变化规律：
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数函数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数函数y＝logax的值域为R.( )
(2) 对数函数y＝logax的图象必过定点(1，0).( )
(3) log0.20.3>1.( )
(4) 对数函数y＝logax的图象一定在y轴的右侧．( )
典例精讲能力初成
探究1 对数函数的图象问题
例1 (1) 已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则点Q的坐标是( )
A. (0，5) B. (1，4)
C. (2，4) D. (2，5)
(2) 若函数f(x)＝loga(x＋b)(其中a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )
(例1(2))
A B
C D
(3) 若a＞1，则y＝与y＝logax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A B
C D
画函数的图象很少单纯地依靠描点，大多是以常见的函数图象为“原料”进行加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
变式 函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)与函数y＝x2－2ax＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A B
C D
探究2 对数函数的单调性的运用
视角1 指、对、幂比较大小
例2-1 (课本P133例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) log23.4，log28.5；
(2) log0.31.8，log0.32.7；
(3) loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
比较对数值大小时常用的四种方法：
(1) 同底数的利用对数函数的单调性．
(2) 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量．
(4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
变式 (1) 若a＝log2 0.3，b＝log3π，c＝log73，则( )
A. c＜a＜b B. b＜a＜c
C. a＜b＜c D. a＜c＜b
(2) 2.40.8，3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小关系为( )
A. 3.60.8＞log0.40.5＞2.40.8＞log0.34.2
B. 3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2＞log0.40.5
C. log0.40.5＞3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2
D. 3.60.8＞2.40.8＞log0.40.5＞log0.34.2
视角2 对数函数的单调性与解不等式
例2-2 (1) 若函数y＝loga(ax2－x)在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. (1，＋∞)
C. D. ∪(1，＋∞)
(2) 若实数x满足不等式log2(x2－2x)>log2(x＋4)，则实数x的取值范围是 ．
(1) 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2) 形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
随堂内化及时评价
1. 函数y＝logx在区间[1，2]上的值域是( )
A. [－1，0] B. [0，1]
C. [1，＋∞) D. (－∞，－1]
2. 若a＝log20.7，b＝20.1，c＝ln 2，则( )
A. bC. b3. 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
A B
C D
4. (2025·湛江期末)已知函数y＝logax＋ax-1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m＋n＝b－k且m>0，n>0，则＋的最小值为( )
A. 9 B. 8
C. D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数y＝loga(x＋1)＋3的图象恒过定点M，则点M的坐标为( )
A. (－1，3) B. (0，3)
C. (3，－1) D. (3，0)
2. 设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则( )
A. a>c>b B. b>c>a
C. c>b>a D. c>a>b
3. 函数y＝的图象大致是( )
A B
C D
4. (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞)
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有( )
A. f(x)为增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)为减函数
D. 若x>1，则f(x)>0
6. 已知0n>1，则( )
A. ba>ab B. mn>nm
C. logba>logmn D. logan>logbm
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝log3(－x2＋2x＋3)，则f(x)的值域是 ．
8. 不等式log(x2－x－2)>log(x－1)－1的解集为 ．
四、 解答题
9. (2025·武汉期末)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1).
(1) 若f(6)＝－2，求a的值；
(2) 若a＝，解不等式f(x)≥1.
10. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1).
(1) 若f(x)在区间上的最大值是2，求实数a的值；
(2) 若函数g(x)＝2x2－2x＋a的值域为[2，＋∞)，求满足不等式loga(1－t)≤1的实数t的取值范围．
11. (2025·蚌埠期末)函数：①y＝log2|x－1|；②y＝|log2(x－1)|；③y＝log0.5|x－1|；④y＝log0.5(|x|－1)的图象(部分)如下：
(第11题)
则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号是( )
A. ①④③② B. ①④②③
C. ④①②③ D. ③④②①
12. 已知函数y＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为( )
A. 13 B. 8
C. 9＋4 D. 8第2课时 对数函数的图象与性质(1)
学习 目标 1. 初步掌握对数函数的图象和性质． 2. 会类比指数函数研究对数函数的性质，掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
新知初探基础落实
复习：一般地，形如y＝logax的函数叫以a为底的对数函数，其中a>0且a≠1.对数函数的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
例如：y＝log3x，y＝lg x，y＝logx都是对数函数．
一、 生成概念
问题1：利用“描点法”作函数y＝log2x和y＝logx的图象．
函数的定义域为(0，＋∞)，取x的一些值，列表如下：
x … 1 2 4 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 …
y＝logx … 2 1 0 －1 －2 …
以表中x的值与函数y＝log2x对应的值y为坐标，描出点(x，y)，用光滑曲线依次连接各点，得到函数y＝log2x的图象；以表中x的值与函数y＝logx对应的值y为坐标，描出点(x，y)，用光滑曲线依次连接各点，得到函数y＝logx的图象，如下图所示．
观察函数图象发现：
1. 函数y＝log2x和y＝logx的图象都在y轴的右边．
2. 图象都经过点(1，0).
3. 函数y＝log2x的图象自左至右呈上升趋势；函数y＝logx的图象自左至右呈下降趋势．
请同学阅读课本P132—P135，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax
底数 a>1 0图象
性质 定义域为__(0，＋∞)__，值域为R
图象过定点__(1，0)__，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
当x∈(0，1)时，y∈__(－∞，0)__； 当x∈[1，＋∞)时，y∈__[0，＋∞)__ 当x∈(0，1)时，y∈__(0，＋∞)__； 当x∈[1，＋∞)时，y∈__(－∞，0]__
2. 底数不同时对数函数图象的变化规律：
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数函数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数函数y＝logax的值域为R.( √ )
(2) 对数函数y＝logax的图象必过定点(1，0).( √ )
(3) log0.20.3>1.( × )
(4) 对数函数y＝logax的图象一定在y轴的右侧．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 对数函数的图象问题
例1 (1) 已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则点Q的坐标是( C )
A. (0，5) B. (1，4)
C. (2，4) D. (2，5)
【解析】令x－1＝1，即x＝2，则f(2)＝4，即函数图象恒过定点Q(2，4).
(2) 若函数f(x)＝loga(x＋b)(其中a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( D )
(例1(2))
A B
C D
【解析】由题意，根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0＜a＜1，0＜b＜1.根据指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图象与性质，结合图象变换向上移动b个单位长度，可得函数g(x)＝ax＋b的图象，只有D符合．
(3) 若a＞1，则y＝与y＝logax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( D )
A B
C D
【解析】因为a＞1，所以0＜＜1，y＝是减函数，y＝logax是增函数，只有D满足．
画函数的图象很少单纯地依靠描点，大多是以常见的函数图象为“原料”进行加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
变式 函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)与函数y＝x2－2ax＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( C )
A B
C D
【解析】当a>1时，y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递增，此时y＝x2－2ax＋1的对称轴为x＝a(a>1)，且对应方程的判别式Δ＝4(a2－1)>0，故A，B均不满足；当0探究2 对数函数的单调性的运用
视角1 指、对、幂比较大小
例2-1 (课本P133例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) log23.4，log28.5；
【解答】log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.4(2) log0.31.8，log0.32.7；
【解答】log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.
(3) loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
【解答】loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a>1时，函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1loga5.9.
比较对数值大小时常用的四种方法：
(1) 同底数的利用对数函数的单调性．
(2) 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量．
(4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
变式 (1) 若a＝log2 0.3，b＝log3π，c＝log73，则( D )
A. c＜a＜b B. b＜a＜c
C. a＜b＜c D. a＜c＜b
【解析】依题意log2 0.3＜log21＝0＝log71＜log73＜log77＝1＝log33＜log3π，所以a＜c＜b.
(2) 2.40.8，3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小关系为( D )
A. 3.60.8＞log0.40.5＞2.40.8＞log0.34.2
B. 3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2＞log0.40.5
C. log0.40.5＞3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2
D. 3.60.8＞2.40.8＞log0.40.5＞log0.34.2
【解析】因为y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6＞2.4＞1，所以3.60.8＞2.40.8＞1.因为log0.34.2＜log0.31＝log0.4 1＜log0.4 0.5＜log0.4 0.4，所以log0.34.2＜0＜log0.40.5＜1，所以3.60.8＞2.40.8＞log0.40.5＞log0.34.2.
视角2 对数函数的单调性与解不等式
例2-2 (1) 若函数y＝loga(ax2－x)在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是( B )
A. B. (1，＋∞)
C. D. ∪(1，＋∞)
【解析】由题意知a>0且a≠1，令u(x)＝ax2－x＝x(ax－1)，由u(x)>0得x<0或x>，所以函数y＝loga(ax2－x)的定义域为(－∞，0)∪，u(x)在上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当01时，函数y＝logax为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在上，原函数为增函数，所以a>1，所以0<<1，则[2，4] ，满足题意，故选B.
(2) 若实数x满足不等式log2(x2－2x)>log2(x＋4)，则实数x的取值范围是__(－4，－1)∪(4，＋∞)__．
【解析】因为log2(x2－2x)>log2(x＋4)，所以解得x>4或－4(1) 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2) 形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
随堂内化及时评价
1. 函数y＝logx在区间[1，2]上的值域是( A )
A. [－1，0] B. [0，1]
C. [1，＋∞) D. (－∞，－1]
【解析】因为y＝logx在[1，2]上是减函数，所以－1≤logx≤0，即值域为[－1，0].
2. 若a＝log20.7，b＝20.1，c＝ln 2，则( B )
A. bC. b【解析】因为a＝log20.720＝1，0＝ln 13. 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( A )
A B
C D
【解析】对于A，B，由对数函数图象得a>1，则二次函数中二次项系数a－1>0，其对应方程的两个根为0，，A中，由二次函数图象得>1，从而11相矛盾，B不可能．对于D，由对数函数图象得01，由开口向下得a<1，相矛盾，C不可能．
4. (2025·湛江期末)已知函数y＝logax＋ax-1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m＋n＝b－k且m>0，n>0，则＋的最小值为( B )
A. 9 B. 8
C. D.
【解析】由y＝logax＋ax-1＋2的图象恒过定点(k，b)，可得k＝1，b＝3，则m＋n＝2，于是＋＝(m＋n)＝≥＝8，当且仅当m＝3n且m＋n＝2，即m＝，n＝时等号成立，故＋的最小值为8.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数y＝loga(x＋1)＋3的图象恒过定点M，则点M的坐标为( B )
A. (－1，3) B. (0，3)
C. (3，－1) D. (3，0)
2. 设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则( D )
A. a>c>b B. b>c>a
C. c>b>a D. c>a>b
3. 函数y＝的图象大致是( D )
A B
C D
【解析】由函数y＝的定义域是{x|x≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B；当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1，0)，故D正确．
4. (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( B )
A. (－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞)
【解析】因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有( AD )
A. f(x)为增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)为减函数
D. 若x>1，则f(x)>0
6. 已知0n>1，则( ACD )
A. ba>ab B. mn>nm
C. logba>logmn D. logan>logbm
【解析】对于A，因为0bb.因为幂函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，且aab，故A正确；对于B，取m＝5，n＝2，则52<25，故B错误；对于C，因为对数函数y＝logbx在(0，＋∞)上单调递减，y＝logmx在(0，＋∞)上单调递增，所以logba>logbb＝1，logmnlogmn，故C正确；对于D，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a0，则logam＝>＝logbm.因为对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以logan>logam>logbm，故D正确．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝log3(－x2＋2x＋3)，则f(x)的值域是__(－∞，log34]__．
【解析】因为f(x)＝log3(－x2＋2x＋3)，所以y＝log3t，t＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.因为y＝log3t单调递增，所以y＝log3t≤log34，则f(x)的值域是(－∞，log34].
8. 不等式log(x2－x－2)>log(x－1)－1的解集为__(2，3)__．
【解析】由对数函数的性质可得解得x>2.因为log(x2－x－2)>log(x－1)－1＝log[2(x－1)]，且y＝logx为减函数，所以解得2四、 解答题
9. (2025·武汉期末)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1).
(1) 若f(6)＝－2，求a的值；
【解答】因为f(6)＝loga2＝－2，所以a-2＝2，即a2＝，因为a>0，所以a＝.
(2) 若a＝，解不等式f(x)≥1.
【解答】因为a＝，不等式f(x)≥1，所以log≥1，即log≥log①，因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，所以①等价于由②得>0，解得x<－4或x>1，由③得≤0，解得－9≤x<1，故不等式的解集是[－9，－4).
10. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1).
(1) 若f(x)在区间上的最大值是2，求实数a的值；
【解答】①当01时，f(x)＝logax在上单调递增，所以f(x)max＝loga16＝2，即a2＝16，可得a＝4.综上所述，a＝或a＝4.
(2) 若函数g(x)＝2x2－2x＋a的值域为[2，＋∞)，求满足不等式loga(1－t)≤1的实数t的取值范围．
【解答】设m＝x2－2x＋a，则y＝2m，因为函数g(x)的值域为[2，＋∞)，即m≥1，所以m＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1≥1，即a－1＝1，解得a＝2.又y＝log2x是增函数，则log2(1－t)≤1＝log22，所以0<1－t≤2，解得－1≤t<1，所以实数t的取值范围是[－1，1).
11. (2025·蚌埠期末)函数：①y＝log2|x－1|；②y＝|log2(x－1)|；③y＝log0.5|x－1|；④y＝log0.5(|x|－1)的图象(部分)如下：
(第11题)
则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号是( B )
A. ①④③② B. ①④②③
C. ④①②③ D. ③④②①
【解析】y＝log2|x－1|＝对应的图象为从左到右的第一个图象；令x－1>0，得x>1，故y＝|log2(x－1)|的定义域为(1，＋∞)，且y＝|log2(x－1)|＝对应的图象为从左到右的第三个图象；y＝log0.5|x－1|＝对应的图象为从左到右的第四个图象；令|x|－1>0，解得x>1或x<－1，故y＝log0.5(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，y＝log0.5(|x|－1)＝由复合函数可知，y＝log0.5(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，y＝log0.5(－x－1)在(－∞，－1)上单调递增，对应的图象为从左到右的第二个图象．按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号是①④②③.
12. 已知函数y＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为( C )
A. 13 B. 8
C. 9＋4 D. 8
【解析】当x－1＝1时，y＝loga1＋1＝1，即A(2，1)，因为点A在直线mx＋ny－1＝0上，所以2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4，当且仅当n＝m＝时取等号，即＋的最小值为9＋4.(共47张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第2课时 对数函数的图象与性质(1)
学习 目标 1. 初步掌握对数函数的图象和性质．
2. 会类比指数函数研究对数函数的性质，掌握对数函数的图象和性质的简单应用．
新知初探 基础落实
复习：一般地，形如y＝logax的函数叫以a为底的对数函数，其中a>0且a≠1.对数函数的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
函数的定义域为(0，＋∞)，取x的一些值，列表如下：
请同学阅读课本P132—P135，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax 底数 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域为____________，值域为R 图象过定点_________，即x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
当x∈(0，1)时，y∈____________； 当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 当x∈(0，1)时，y∈____________；
当x∈[1，＋∞)时，y∈_____________
(0，＋∞)
(1，0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
2. 底数不同时对数函数图象的变化规律：
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数函数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对数函数y＝logax的值域为R. ( )
(2) 对数函数y＝logax的图象必过定点(1，0). ( )
(3) log0.20.3>1. ( )
(4) 对数函数y＝logax的图象一定在y轴的右侧． ( )
√
√
×
√
典例精讲 能力初成
探究
(1) 已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则点Q的坐标是 ( )
A. (0，5) B. (1，4)
C. (2，4) D. (2，5)
1
对数函数的图象问题
1
C
【解析】令x－1＝1，即x＝2，则f(2)＝4，即函数图象恒过定点Q(2，4).
(2) 若函数f(x)＝loga(x＋b)(其中a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是 ( )
【解析】由题意，根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0＜a＜1，0＜b＜1.根据指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图象与性质，结合图象变换向上移动b个单位长度，可得函数g(x)＝ax＋b的图象，只有D符合．
D
D
画函数的图象很少单纯地依靠描点，大多是以常见的函数图象为“原料”进行加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
【解析】当a>1时，y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递增，此时y＝x2－2ax＋1的对称轴为x＝a(a>1)，且对应方程的判别式Δ＝4(a2－1)>0，故A，B均不满足；当0变式
函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)与函数y＝x2－2ax＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
C
探究
视角1 指、对、幂比较大小
(课本P133例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1) log23.4，log28.5；
2
对数函数的单调性的运用
【解答】log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.42－1
(2) log0.31.8，log0.32.7；
【解答】log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.
【解答】loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a>1时，函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1loga5.9.
(课本P133例3)比较下列各题中两个值的大小：
(3) loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
比较对数值大小时常用的四种方法：
(1) 同底数的利用对数函数的单调性．
(2) 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量．
(4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
【解析】依题意log2 0.3＜log21＝0＝log71＜log73＜log77＝1＝log33＜log3π，所以a＜c＜b.
变式
(1) 若a＝log2 0.3，b＝log3π，c＝log73，则 ( )
A. c＜a＜b B. b＜a＜c
C. a＜b＜c D. a＜c＜b
D
【解析】因为y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6＞2.4＞1，所以3.60.8＞2.40.8＞1.因为log0.34.2＜log0.31＝log0.4 1＜log0.4 0.5＜log0.4 0.4，所以log0.34.2＜0＜log0.40.5＜1，所以3.60.8＞2.40.8＞log0.40.5＞log0.34.2.
(2) 2.40.8，3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小关系为 ( )
A. 3.60.8＞log0.40.5＞2.40.8＞log0.34.2
B. 3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2＞log0.40.5
C. log0.40.5＞3.60.8＞2.40.8＞log0.34.2
D. 3.60.8＞2.40.8＞log0.40.5＞log0.34.2
D
2－2
B
(2) 若实数x满足不等式log2(x2－2x)>log2(x＋4)，则实数x的取值范围是___________ ____________．
(－4，－1)
∪(4，＋∞)
(1) 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2) 形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
随堂内化 及时评价
A
2. 若a＝log20.7，b＝20.1，c＝ln 2，则 ( )
A. bC. bB
【解析】因为a＝log20.720＝1，0＝ln 13. 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是 ( )
A
B
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数y＝loga(x＋1)＋3的图象恒过定点M，则点M的坐标为 ( )
A. (－1，3) B. (0，3)
C. (3，－1) D. (3，0)
B
2. 设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则 ( )
A. a>c>b B. b>c>a
C. c>b>a D. c>a>b
D
D
B
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有
( )
A. f(x)为增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)为减函数
D. 若x>1，则f(x)>0
AD
6. 已知0n>1，则 ( )
A. ba>ab B. mn>nm C. logba>logmn D. logan>logbm
ACD
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝log3(－x2＋2x＋3)，则f(x)的值域是_______________．
【解析】因为f(x)＝log3(－x2＋2x＋3)，所以y＝log3t，t＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.因为y＝log3t单调递增，所以y＝log3t≤log34，则f(x)的值域是(－∞，log34].
(－∞，log34]
(2，3)
10. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1).
【解答】设m＝x2－2x＋a，则y＝2m，因为函数g(x)的值域为[2，＋∞)，即m≥1，所以m＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1≥1，即a－1＝1，解得a＝2.又y＝log2x是增函数，则log2(1－t)≤1＝log22，所以0<1－t≤2，解得－1≤t<1，所以实数t的取值范围是[－1，1).
10. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1).
(2) 若函数g(x)＝2x2－2x＋a的值域为[2，＋∞)，求满足不等式loga(1－t)≤1的实数t的取值范围．
11. (2025·蚌埠期末)函数：①y＝log2|x－1|；②y＝|log2(x－1)|；③y＝log0.5|x－1|；④y＝log0.5(|x|－1)的图象(部分)如下：
则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号是 ( )
A. ①④③② B. ①④②③
C. ④①②③ D. ③④②①
【答案】B
C