第4课时 不同函数增长的差异
学习 目标 1. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2. 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P136—P138，完成下列填空．
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 _ _ _ _ _ _
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度 不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有
注意：
(1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．
(3) 一次函数增长速度不变，平稳变化．
(4) 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
典例精讲能力初成
探究1 几种函数模型增长的差异
例1 (1) 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是 ( )
A. y＝·ex B. y＝100ln x
C. y＝100x D. y＝100·2x
(2) 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是 ．
变式 已知函数y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A. 当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为增函数
B. 当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度一直快于y3
C. 当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y2
D. 当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度一直快于y1
探究2 指数函数与一次函数增长的差异
例2 每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？
虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于y＝ax(a>1)的增长最终会快于y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
探究3 对数函数与一次函数增长的差异
例3 已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(例3)
(1) 指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2) 比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax(a>1)可能会大于kx，但由于y＝logax(a>1)的增长慢于y＝kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax
探究4 函数模型的选择
例4 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2022到2024年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千人 22 34 70
(1) 请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x(x∈N*)年年末会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2026年年末的会员人数；
①y＝＋c(b>0)；
②y＝dlogrx＋e(r>0，r≠1)；
③y＝tax＋s(a>0，a≠1).
(2) 为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k·9x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值．
随堂内化及时评价
1. 下列函数增长速度最快的是( )
A. y＝1.1x B. y＝2 025x2
C. y＝log2 025x D. y＝2 025x
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列函数最接近的是(其中a，b为待定系数)( )
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx
C. y＝ax2＋b D. y＝a＋
3. 某种产品今年的产量是a，已知保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A. y＝a(1＋5%x) B. y＝a＋5%x
C. y＝a(1＋5%)x-1 D. y＝a(1＋5%)x
4. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A. y＝100x
B. y＝50x2－50x＋100
C. y＝50×2x
D. y＝100x
5. (课本P139练习1部分)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840
y3 5 30 55 80 105 130
其中关于x呈指数增长的变量是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
(第1题)
A. 一次函数 B. 幂函数
C. 对数函数 D. 指数函数
2. 三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
3. 有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A. y＝logax(a>1)
B. y＝ax＋b(a>1)
C. y＝ax2＋b(a>0)
D. y＝logax＋b(a>1)
4. 如图所示，向倒置的圆锥形容器中注水，则注水量V与水深h的函数关系图象可能是( )
(第4题)
A B
C D
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论错误的是( )
A. f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B. g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C. g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D. f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
6. 下列说法正确的是( )
A. 函数y＝logx减小的速度越来越慢
B. 在指数函数y＝ax(a>1)中，当x>0时，底数a越大，其增长速度越快
C. 不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100
D. 当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)内，对任意的x，总有logax三、 填空题
7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln ，则当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8. 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/百千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，可得：
(1) 西红柿种植成本最低时的上市天数是 ；
(2) 最低种植成本是 元/百千克．
四、 解答题
9. 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制定一个激励员工的奖励方案：在生产利润达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生产利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
10. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？
11. (多选)如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂( )
(第11题)
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第4个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
12. 某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择 方案．
13. 已知一款鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是( )
(第13题)
A B
C D第4课时 不同函数增长的差异
学习 目标 1. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2. 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
新知初探基础落实
复习：在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义域上是增函数？
略．
一、 生成概念
探究1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？不妨以函数y＝2x和y＝2x为例．
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值如下表．
x y＝2x y＝2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
… … …
并在同一直角坐标系中画出它们的图象(如图).
可以看到，函数y＝2x和y＝2x的图象有两个交点(1，2)，(2，4).在区间[0，1) 上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之上，2x>2x；在区间(1，2)上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之下，2x<2x；在区间(2，3)上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之上，2x>2x.这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化．
下面在更大的范围内，观察y＝2x和y＝2x的增长情况．
x y＝2x y＝2x
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1 024 20
12 4 096 24
… … …
从表和图可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
综上所述，虽然函数y＝2x与y＝2x在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝2x的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y＝2x的增长最终会快于y＝2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
问题1：把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
提示：一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长越来越慢．
一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度．
指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长．
探究2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
不妨以函数y＝lg x和y＝x为例．
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．
x y＝lg x y＝x
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
… … …
可以看到，虽然它们在[0，＋∞)上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数y＝x的增长速度保持不变，而y＝lg x的增长速度在变化．随着x的增大，函数y＝x的图象离x轴越来越远，而函数y＝lg x的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．例如：lg 10＝1，lg 100＝2，lg 1 000＝3，lg 10 000＝4；而×10＝1，×100＝10，×1 000＝100，×10 000＝1 000.这说明，当x>10，即y＝lg x>1时，y＝lg x与y＝x相比增长得就很慢了．
思考：如果将lg x放大1 000倍，再对函数y＝1 000lg x和y＝x的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？
一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．
请同学阅读课本P136—P138，完成下列填空．
二、 概念表述
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 __单调递增__ __单调递增__ __单调递增__
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度 不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过__y＝kx(k>0)__的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有__logax增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有__ax>kx>logax__
注意：
(1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．
(3) 一次函数增长速度不变，平稳变化．
(4) 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
典例精讲能力初成
探究1 几种函数模型增长的差异
例1 (1) 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是 ( A )
A. y＝·ex B. y＝100ln x
C. y＝100x D. y＝100·2x
【解析】指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，故选A.
(2) 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是__y2__．
【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
变式 已知函数y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( A )
A. 当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为增函数
B. 当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度一直快于y3
C. 当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y2
D. 当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度一直快于y1
【解析】在同一坐标系中画出y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3的图象，如图所示．结合图象，当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为增函数，A正确；当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度不是一直快于y3，B错误；当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y2，C错误；当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度不是一直快于y1，D错误．
(变式答)
探究2 指数函数与一次函数增长的差异
例2 每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？
【解答】方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米).方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米).因为15.386>15，所以方案二较好．
虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于y＝ax(a>1)的增长最终会快于y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
探究3 对数函数与一次函数增长的差异
例3 已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(例3)
(1) 指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
【解答】由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2) 比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解答】当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x).当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x).
虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax(a>1)可能会大于kx，但由于y＝logax(a>1)的增长慢于y＝kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax探究4 函数模型的选择
例4 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2022到2024年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千人 22 34 70
(1) 请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x(x∈N*)年年末会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2026年年末的会员人数；
①y＝＋c(b>0)；
②y＝dlogrx＋e(r>0，r≠1)；
③y＝tax＋s(a>0，a≠1).
【解答】由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，于是ta＋s＝22，ta2＋s＝34，ta3＋s＝70，解得a＝3，t＝2，s＝16，所以函数模型对应的解析式为y＝2·3x＋16(x∈N*).当x＝5时，预测2026年年末的会员人数为2×35＋16＝502(千人).
(2) 为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k·9x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值．
【解答】由(1)及已知得，对 x∈N*，都有2·3x＋16≤k·9x，令t＝3x≥3，则k≥＋.令m＝∈，则不等式右边等价于函数f(m)＝16m2＋2m，函数f(m)在区间上单调递增，因此f(m)max＝f＝16×＋2×＝，则k≥，所以k的最小值为.
随堂内化及时评价
1. 下列函数增长速度最快的是( A )
A. y＝1.1x B. y＝2 025x2
C. y＝log2 025x D. y＝2 025x
【解析】由函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝2 025x2为二次函数，y＝log2 025x为递增的对数函数，y＝2 025x为递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列函数最接近的是(其中a，b为待定系数)( B )
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx
C. y＝ax2＋b D. y＝a＋
【解析】在平面直角坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．
3. 某种产品今年的产量是a，已知保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( D )
A. y＝a(1＋5%x) B. y＝a＋5%x
C. y＝a(1＋5%)x-1 D. y＝a(1＋5%)x
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
4. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( C )
A. y＝100x
B. y＝50x2－50x＋100
C. y＝50×2x
D. y＝100x
【解析】对于A，当x＝3或4时，误差较大；对于B，当x＝4时，误差较大；对于C，当x＝1，2，3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差较小；对于D，当x＝2，3，4时，由函数关系式得到的结果与实际值相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．
5. (课本P139练习1部分)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840
y3 5 30 55 80 105 130
其中关于x呈指数增长的变量是__y2__．
【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( C )
(第1题)
A. 一次函数 B. 幂函数
C. 对数函数 D. 指数函数
2. 三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( C )
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
3. 有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( C )
A. y＝logax(a>1)
B. y＝ax＋b(a>1)
C. y＝ax2＋b(a>0)
D. y＝logax＋b(a>1)
4. 如图所示，向倒置的圆锥形容器中注水，则注水量V与水深h的函数关系图象可能是( B )
(第4题)
A B
C D
【解析】向倒置的圆锥形容器中注水，随着水深h的不断增大，V不断增大，增加的速度越来越快，结合选项可知B符合题意．
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论错误的是( ACD )
A. f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B. g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C. g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D. f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
【解析】画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象如图所示，结合图象可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢，所以B正确；A，C，D不正确．
(第5题答)
6. 下列说法正确的是( AB )
A. 函数y＝logx减小的速度越来越慢
B. 在指数函数y＝ax(a>1)中，当x>0时，底数a越大，其增长速度越快
C. 不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100
D. 当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)内，对任意的x，总有logax三、 填空题
7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln ，则当燃料质量是火箭质量的__e6－1__倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
【解析】由题意可知2 000ln ＝12 000，所以ln ＝6，从而＝e6－1.
8. 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/百千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，可得：
(1) 西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__；
(2) 最低种植成本是__80__元/百千克．
【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据(60，116)，(100，84)，(180，116)分别代入Q可得解得a＝，b＝－，c＝224，所以Q＝t2－t＋224.
(1) Q＝t2－t＋224图象的对称轴为直线t＝120，开口向上，在对称轴处即t＝120天时函数取最小值．
(2) 当t＝120时，Q＝×1202－×120＋224＝80.
四、 解答题
9. 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制定一个激励员工的奖励方案：在生产利润达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生产利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象如图所示．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该公司的要求．
(第9题答)
10. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？
【解答】甲：由即解得
所以y1＝x2－x＋52.
乙：
②－①，得p·q2－p·q1＝2④，
③－②，得p·q3－p·q2＝4⑤，
⑤÷④，得q＝2.
将q＝2代入④式，得p＝1.
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
所以y2＝2x＋50.
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
故乙选择的模型较好．
11. (多选)如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂( ABD )
(第11题)
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第4个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确．从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且5月到6月总产量没有变化，即6月没有生产，故B，D正确，C错误．
12. 某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择__乙、甲、丙__方案．
【解析】根据题意，列出当x＝500，1 000，1 500时，对应的函数值如下表所示：
x 500 1 000 1 500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝log2x＋100 约等于 108.96 约等于 109.96 约等于 110.55
丙：y＝1.005x 约等于 12.1 约等于 146.57 约等于 1 774.57
根据表中数据可知，当投资500，1 000，1 500时，应分别选择乙、甲、丙方案．
13. 已知一款鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是( B )
(第13题)
A B
C D
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积V＝0，所以函数图象过原点，故排除A，C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的．(共52张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第4课时 不同函数增长的差异
学习 目标 1. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
2. 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
新知初探 基础落实
复习：在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义域上是增函数？
一、 生成概念
探究1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？不妨以函数y＝2x和y＝2x为例．
利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值如下表．
x y＝2x y＝2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
… … …
并在同一直角坐标系中画出它们的图象(如图).
可以看到，函数y＝2x和y＝2x的图象有两个交点(1，2)，(2，4).在区间[0，1) 上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之上，2x>2x；在区间(1，2)上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之下，2x<2x；在区间(2，3)上，函数y＝2x的图象位于y＝2x的图象之上，2x>2x.这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化．
下面在更大的范围内，观察y＝2x和y＝2x的增长情况．
x y＝2x y＝2x
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1 024 20
12 4 096 24
… … …
从表和图可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
综上所述，虽然函数y＝2x与y＝2x在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝2x的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y＝2x的增长最终会快于y＝2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
问题1：把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
提示：一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长越来越慢．
一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度．
指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长．
探究2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．
请同学阅读课本P136—P138，完成下列填空．
二、 概念表述
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上 的单调性 ___________ ___________ ___________
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度
不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过______________的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有____________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有________________ 单调递增
单调递增
单调递增
y＝kx(k>0)
logax＜kx
ax>kx>logax
注意：
(1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．
(3) 一次函数增长速度不变，平稳变化．
(4) 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
典例精讲 能力初成
探究
1
几种函数模型增长的差异
1
【解析】指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，故选A.
A
(2) 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是_____．
y2
【解析】在同一坐标系中画出y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3的图象，
如图所示．结合图象，当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为
增函数，A正确；当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度不是一直快
于y3，B错误；当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于
y2，C错误；当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度不是一直快于y1，D错误．
变式
已知函数y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 ( )
A. 当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为增函数
B. 当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度一直快于y3
C. 当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y2
D. 当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度一直快于y1
A
探究
每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？
2
指数函数与一次函数增长的差异
2
【解答】方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米).方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米).因为15.386>15，所以方案二较好．
虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于y＝ax(a>1)的增长最终会快于y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
探究
已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1) 指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
3
对数函数与一次函数增长的差异
3
【解答】由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2) 比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解答】当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x).当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x).
虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax(a>1)可能会大于kx，但由于y＝logax(a>1)的增长慢于y＝kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax探究
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2022到2024年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
4
函数模型的选择
4
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千人 22 34 70
(1) 请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x(x∈N*)年年末会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2026年年末的会员人数；
【解答】由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，于是ta＋s＝22，ta2＋s＝34，ta3＋s＝70，解得a＝3，t＝2，s＝16，所以函数模型对应的解析式为y＝2·3x＋16(x∈N*).当x＝5时，预测2026年年末的会员人数为2×35＋16＝502(千人).
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千人 22 34 70
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2022到2024年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千人 22 34 70
(2) 为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k·9x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值．
随堂内化 及时评价
1. 下列函数增长速度最快的是 ( )
A. y＝1.1x B. y＝2 025x2
C. y＝log2 025x D. y＝2 025x
A
【解析】由函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝2 025x2为二次函数，y＝log2 025x为递增的对数函数，y＝2 025x为递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
【解析】在平面直角坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
B
3. 某种产品今年的产量是a，已知保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足 ( )
A. y＝a(1＋5%x) B. y＝a＋5%x
C. y＝a(1＋5%)x-1 D. y＝a(1＋5%)x
D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
4. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是 ( )
A. y＝100x B. y＝50x2－50x＋100
C. y＝50×2x D. y＝100x
C
【解析】对于A，当x＝3或4时，误差较大；对于B，当x＝4时，误差较大；对于C，当x＝1，2，3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差较小；对于D，当x＝2，3，4时，由函数关系式得到的结果与实际值相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．
5. (课本P139练习1部分)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
其中关于x呈指数增长的变量是_____．
x 0 5 10 15 20 25
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840
y3 5 30 55 80 105 130
y2
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下图反映的是下列哪类函数的增长趋势 ( )
A. 一次函数
B. 幂函数
C. 对数函数
D. 指数函数
C
2. 三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
C
3. 有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是 ( )
A. y＝logax(a>1)
B. y＝ax＋b(a>1)
C. y＝ax2＋b(a>0)
D. y＝logax＋b(a>1)
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
C
4. 如图所示，向倒置的圆锥形容器中注水，则注水量V与水深h的函数关系图象可能是 ( )
B
【解析】向倒置的圆锥形容器中注水，随着水深h的不断增大，V不断增大，增加的速度越来越快，结合选项可知B符合题意．
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论错误的是 ( )
A. f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B. g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C. g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D. f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
【解析】画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象
如图所示，结合图象可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，
h(x)＝log2x中，当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长
速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢，所以B正确；
A，C，D不正确．
【答案】ACD
AB
e6－1
8. 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/百千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，可得：
(1) 西红柿种植成本最低时的上市天数是______；
(2) 最低种植成本是_____元/百千克．
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
120
80
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
四、 解答题
9. 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制定一个激励员工的奖励方案：在生产利润达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生产利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象如图所示．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该公司的要求．
10. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？
②－①，得p·q2－p·q1＝2④，
③－②，得p·q3－p·q2＝4⑤，
⑤÷④，得q＝2.
将q＝2代入④式，得p＝1.
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
所以y2＝2x＋50.
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
故乙选择的模型较好．
11. (多选)如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂 ( )
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第4个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
ABD
【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确．从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且5月到6月总产量没有变化，即6月没有生产，故B，D正确，C错误．
12. 某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择_____________方案．
【解析】根据题意，列出当x＝500，1 000，1 500时，对应的函数值如下表所示：
根据表中数据可知，当投资500，1 000，1 500时，应分别选择乙、甲、丙方案．
乙、甲、丙
x 500 1 000 1 500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝log2x＋100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55
丙：y＝1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1 774.57
13. 已知一款鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是 ( )
B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积V＝0，所以函数图象过原点，故排除A，C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的．