4.5 函数的应用(二)
第1课时 函数的零点与方程的解
学习 目标 1. 理解函数零点的定义，了解函数零点与方程的解、函数图象之间的关系． 2. 会求函数的零点，掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P142—P144，完成下列填空．
1. 对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点．
2. 方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是 ．
3. 函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1) 零点存在 图象连续与f(a)·f(b)<0缺一不可；
(2) 零点存在定理不可逆用，即函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不能得到f(a)f(b)<0；
(3) 零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定．
4. 函数零点存在定理的重要推论
(1) 推论1：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)f(b)<0，且f(x)具有单调性，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
(2) 推论2：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，且函数f(x)具有单调性，则f(a)f(b)<0.
典例精讲能力初成
探究1 求函数的零点
例1 (1) 已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 ．
(2) 函数f(x)＝的零点是 ．
求函数的零点通常有两种方法：一是代数法，令f(x)＝0，通过求方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是几何法，画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
探究2 判断函数零点的个数
例2 (课本P143例1补充)(1) 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，在[0，＋∞)上的大致图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点个数为 ．
(例2(2))
判断函数存在零点的三种方法：
(1) 方程法：可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2) 图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3) 定理法：若函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0可以判断函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．结合函数的单调性，可以进一步判断零点的个数．
探究3 判断函数零点所在的区间
例3 (1) 函数f(x)＝－x2＋1的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
(2) 函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A. (1，2) B. (2，3)
C. (3，4) D. (e，＋∞)
判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论．
变式 在下列区间中，一定包含函数f(x)＝2x＋x－5零点的区间是( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
探究4 根据零点个数求参数的取值范围
例4 若方程|ex－1|＝m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为( )
A. (0，＋∞) B. (0，1]
C. (0，1) D. (1，＋∞)
已知函数的零点个数求参数范围问题，通常转化为图象的交点个数问题，既可以直接讨论带参函数的图象与x轴的交点个数，也可以先参变分离(将参数和变量分离开来)，转化为固定图象与水平动直线的交点个数问题．
变式 已知函数f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(k－1，k)内，则整数k＝( )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A. －，－1 B. ，1
C. ，－1 D. －，1
2. 函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
3. 若函数f(x)＝－m有零点，则实数m的取值范围是( )
A. (0，1] B. [－1，＋∞)
C. [1，2] D. [0，1)
4. 已知关于x的方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则实数a的取值范围为 ．
5. (课本P144练习1)图(1)(2)(3)分别为函数y＝f(x)在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数y＝f(x)在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
图(1) 图(2) 图(3)
(第5题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ln x＋的零点为( )
A. 1 B.
C. e D.
2. 函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 3.4 2.6 －3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A. (－∞，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，＋∞)
4. 设函数f(x)＝则满足条件“方程f(x)＝a有三个实数解”的实数a可能的值为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
二、 多项选择题
5. 下列函数有零点的是( )
A. f(x)＝0 B. f(x)＝2
C. f(x)＝x2－1 D. f(x)＝x－
6. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是( )
A. f(x)＝2x＋x B. f(x)＝x2－x－3
C. f(x)＝x＋1 D. f(x)＝|log2x|－1
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上存在零点，则实数a的取值范围为 ．
8. 已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x，则函数y＝f(x)的解析式为 ；若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围为 ．
四、 解答题
9. 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
10. 已知二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
11. (多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x－1)＝f(x＋1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－kx－k，则下列结论成立的是( )
A. 函数f(x)的一个周期为2
B. f＝－
C. 当实数k>－1时，函数g(x)在区间[1，2]上单调递减
D. 在区间[－1，3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k的取值范围是
12. (多选)已知函数f(x)＝若存在x1
A. B. 3
C. D.
13. 定义在D上的函数f(x)，如果存在x∈D，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，则称y＝f(x)存在关于实数a的“线性零点”．如：函数f(x)＝mx(m∈R)存在关于任意实数a的“线性零点”，而函数f(x)＝ln 存在关于－2的“线性零点”．
(1) 判断是否存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”，并说明理由；
(2) 求证：对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．4.5 函数的应用(二)
第1课时 函数的零点与方程的解
学习 目标 1. 理解函数零点的定义，了解函数零点与方程的解、函数图象之间的关系． 2. 会求函数的零点，掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间．
新知初探基础落实
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数x叫做y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
例如：求二次函数y＝x2－12x＋20的零点．
令x2－12x＋20＝0，解得x1＝2，x2＝10.所以函数的零点是2，10.
一、 生成概念
问题1：你可以用什么方式去研究函数是否有零点？
描点作图．
x y
1 －4
2 －1.386 3
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 3
问题2：判断函数有零点的方法有哪些？
(1) 代数法：①令f(x)＝0；②解方程f(x)＝0；③写出零点．
(2) 几何法：图象与x轴交点的横坐标即为零点．
问题3：画出几个没有零点的函数，同时也画出几个有零点的函数(连续的曲线)．观察这些图象，你发现有零点的图象与没零点的图象有什么区别？
无零点函数图象如下．
有零点函数图象如下．
对于这几个函数，在零点附近，函数图象是“穿过”x轴的，所以零点左右函数值的正负是刚好相反的．
请同学阅读课本P142—P144，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对于函数y＝f(x)，把__使f(x)＝0的实数x__叫做函数y＝f(x)的零点．
2. 方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是__方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点__．
3. 函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__连续不断__的曲线，且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1) 零点存在 图象连续与f(a)·f(b)<0缺一不可；
(2) 零点存在定理不可逆用，即函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不能得到f(a)f(b)<0；
(3) 零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定．
4. 函数零点存在定理的重要推论
(1) 推论1：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)f(b)<0，且f(x)具有单调性，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
(2) 推论2：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，且函数f(x)具有单调性，则f(a)f(b)<0.
典例精讲能力初成
探究1 求函数的零点
例1 (1) 已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为__0__．
【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数f(x)的零点为0.
(2) 函数f(x)＝的零点是__－7__．
【解析】由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3；当x<0时，由f(x)＝x＋7＝0，得x＝－7，故f(x)的零点是－7.
求函数的零点通常有两种方法：一是代数法，令f(x)＝0，通过求方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是几何法，画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
探究2 判断函数零点的个数
例2 (课本P143例1补充)(1) 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【解答】方法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数．在平面直角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0.又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以只有一个零点．
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，在[0，＋∞)上的大致图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点个数为__7__．
(例2(2))
【解析】由图知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的零点个数为4，又f(|x|)＝f(|－x|)，故函数y＝f(|x|)是定义在R上的偶函数．又当x≥0时，y＝f(|x|)＝f(x)，有4个零点，根据对称性，当x＜0时，函数y＝f(x)有3个零点，故函数y＝f(|x|)的零点个数为7.
判断函数存在零点的三种方法：
(1) 方程法：可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2) 图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3) 定理法：若函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0可以判断函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．结合函数的单调性，可以进一步判断零点的个数．
探究3 判断函数零点所在的区间
例3 (1) 函数f(x)＝－x2＋1的零点所在的区间为( C )
A. B.
C. D.
【解析】函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝1＞0，f＝－＋1＝－＜0，则f(1)·f＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间上有零点．
(2) 函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( B )
A. (1，2) B. (2，3)
C. (3，4) D. (e，＋∞)
【解析】因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以f(2)·f(3)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(2，3)内有零点．
判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论．
变式 在下列区间中，一定包含函数f(x)＝2x＋x－5零点的区间是( B )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】显然f(x)＝2x＋x－5单调递增，且图象连续，f(0)＝－4<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，由零点存在定理可知，一定包含函数f(x)＝2x＋x－5零点的区间是(1，2).
探究4 根据零点个数求参数的取值范围
例4 若方程|ex－1|＝m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为( C )
A. (0，＋∞) B. (0，1]
C. (0，1) D. (1，＋∞)
【解析】令f(x)＝|ex－1|，由于当x<0时，－1(例4答)
已知函数的零点个数求参数范围问题，通常转化为图象的交点个数问题，既可以直接讨论带参函数的图象与x轴的交点个数，也可以先参变分离(将参数和变量分离开来)，转化为固定图象与水平动直线的交点个数问题．
变式 已知函数f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(k－1，k)内，则整数k＝( B )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
【解析】易知函数f(x)＝ex＋x＋1为增函数，且e＝2.718 28…，计算f(x)的部分函数值如下表．
x －3 －2 －1 0 1
f(x) －2 －1 2 e＋2
观察可知f(－2)<0，f(－1)>0，则f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(－2，－1)内，故k＝－1.
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( B )
A. －，－1 B. ，1
C. ，－1 D. －，1
【解析】方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2. 函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( B )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】因为f(x)＝2x－3的图象在R上连续且为增函数，f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1，2).
3. 若函数f(x)＝－m有零点，则实数m的取值范围是( A )
A. (0，1] B. [－1，＋∞)
C. [1，2] D. [0，1)
【解析】函数f(x)＝－m有零点，即函数y＝与y＝m的图象有交点，作出y＝与y＝m的大致图象如图所示，由图可知0(第3题答)
4. 已知关于x的方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则实数a的取值范围为____．
【解析】令f(x)＝x2－2ax＋1，因为方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，所以可得即解得15. (课本P144练习1)图(1)(2)(3)分别为函数y＝f(x)在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数y＝f(x)在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
图(1) 图(2)
图(3)
(第5题)
【解答】不能，如仅依据图(1)易得出f(x)在(－200，200)内仅有一个零点的错误结论，要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，还需证明该函数在该区间上是单调的．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ln x＋的零点为( A )
A. 1 B.
C. e D.
2. 函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( C )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 3.4 2.6 －3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( C )
A. (－∞，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，＋∞)
4. 设函数f(x)＝则满足条件“方程f(x)＝a有三个实数解”的实数a可能的值为( D )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】因为f(x)＝当x>0时，f(x)＝x＋，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝2.当x<0时，f(x)＝x－，因为y＝x与y＝－在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，作出f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a有三个实数解，即y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个交点，结合图象可知a>2，故符合题意的只有D.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 下列函数有零点的是( ACD )
A. f(x)＝0 B. f(x)＝2
C. f(x)＝x2－1 D. f(x)＝x－
6. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是( BCD )
A. f(x)＝2x＋x B. f(x)＝x2－x－3
C. f(x)＝x＋1 D. f(x)＝|log2x|－1
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上存在零点，则实数a的取值范围为____．
【解析】因为y＝2x，y＝－在(1，2)上均为增函数，所以函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上为增函数，且函数图象连续不间断，故若f(x)在区间(1，2)上存在零点，则解得－8. 已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x，则函数y＝f(x)的解析式为__f(x)＝__；若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围为__(－1，1)__．
【解析】当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝
－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，所以f(x)＝当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.据此可作出函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).
(第8题答)
四、 解答题
9. 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【解答】方法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而函数y＝ln x＋x2－3的零点个数为1.
方法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的零点个数为1.
(第9题答)
10. 已知二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝3，所以c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3.f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3.因为f(x＋1)＝f(x)＋2x，所以解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋3.
(2) 令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
【解答】由(1)得，g(x)＝x2－|x|＋3＋m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象如图所示．由函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点，由图象得解得－3＜m＜－，即实数m的取值范围是.
(第10题答)
11. (多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x－1)＝f(x＋1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－kx－k，则下列结论成立的是( ACD )
A. 函数f(x)的一个周期为2
B. f＝－
C. 当实数k>－1时，函数g(x)在区间[1，2]上单调递减
D. 在区间[－1，3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k的取值范围是
【解析】因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是周期函数，且T＝2是f(x)的一个周期，A正确；因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x).又当x∈[0，1]时，f(x)＝x，所以f＝f＝f＝f＝，B错误；根据f(x)是偶函数，且T＝2是函数f(x)的一个周期，及当x∈[0，1]时，f(x)＝x，作出f(x)的图象如图所示，由图可知，当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋2，所以g(x)＝－x＋2－kx－k＝－(1＋k)x＋2－k.因为k>－1，所以1＋k>0，所以－(1＋k)＜0，所以函数g(x)在[1，2]上单调递减，C正确；在区间[－1，3]内，函数g(x)有4个零点，即f(x)＝k(x＋1)有4个根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k(x＋1)在[－1，3]内有4个交点，由图可知，0＜k(3＋1)≤1，解得0＜k≤，即实数k的取值范围是，D正确．
(第11题答)
12. (多选)已知函数f(x)＝若存在x1A. B. 3
C. D.
【解析】设f(x1)＝f(x2)＝f＝t，作出函数y＝f(x)与y＝t的图象如图所示，观察图形知，当02，得2＋(第12题答)
13. 定义在D上的函数f(x)，如果存在x∈D，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，则称y＝f(x)存在关于实数a的“线性零点”．如：函数f(x)＝mx(m∈R)存在关于任意实数a的“线性零点”，而函数f(x)＝ln 存在关于－2的“线性零点”．
(1) 判断是否存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”，并说明理由；
【解答】不存在，理由如下：假设函数f(x)＝3x＋2存在关于非零实数a的“线性零点”，即存在x∈R，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，即3(x＋a)＋2＝3x＋2＋3a＋2 2＝4，显然不成立，故不存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”．
(2) 求证：对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．
【解答】当f(x)＝2x＋bx2时，f(x＋2)＝f(x)＋f(2) 2x+2＋b(x＋2)2＝2x＋bx2＋4＋4b 3×2x＋4bx－4＝0.令g(x)＝3×2x＋4bx－4，易知g(x)在R上的图象是连续的．当b≥0时，g(0)＝－1＜0，g(1)＝2＋4b＞0，故g(x)在(0，1)内至少有一个零点．当b＜0时，g(0)＝－1＜0，g＝3×2＞0，故g(x)在内至少有一个零点．故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x＋2)＝f(x)＋f(2)总有解，所以对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．(共50张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第1课时 函数的零点与方程的解
学习 目标 1. 理解函数零点的定义，了解函数零点与方程的解、函数图象之间的关系．
2. 会求函数的零点，掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间．
新知初探 基础落实
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数x叫做y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
例如：求二次函数y＝x2－12x＋20的零点．
令x2－12x＋20＝0，解得x1＝2，x2＝10.所以函数的零点是2，10.
一、 生成概念
问题1：你可以用什么方式去研究函数是否有零点？
描点作图．
x y
1 －4
2 －1.386 3
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 3
问题2：判断函数有零点的方法有哪些？
(1) 代数法：①令f(x)＝0；②解方程f(x)＝0；③写出零点．
(2) 几何法：图象与x轴交点的横坐标即为零点．
问题3：画出几个没有零点的函数，同时也画出几个有零点的函数(连续的曲线)．观察这些图象，你发现有零点的图象与没零点的图象有什么区别？
无零点函数图象如下．
有零点函数图象如下．
对于这几个函数，在零点附近，函数图象是“穿过”x轴的，所以零点左右函数值的正负是刚好相反的．
请同学阅读课本P142—P144，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对于函数y＝f(x)，把___________________叫做函数y＝f(x)的零点．
2. 方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是______________________________________________________________________．
3. 函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条___________的曲线，且有________________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1) 零点存在 图象连续与f(a)·f(b)<0缺一不可；
(2) 零点存在定理不可逆用，即函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不能得到f(a)f(b)<0；
(3) 零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定．
使f(x)＝0的实数x
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点
连续不断
f(a)·f(b) ＜0
f(c)＝0
4. 函数零点存在定理的重要推论
(1) 推论1：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)f(b)<0，且f(x)具有单调性，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
(2) 推论2：函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，且函数f(x)具有单调性，则f(a)f(b)<0.
典例精讲 能力初成
探究
1
求函数的零点
1
0
【解析】由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3；当x<0时，由f(x)＝x＋7＝0，得x＝－7，故f(x)的零点是－7.
－7
求函数的零点通常有两种方法：一是代数法，令f(x)＝0，通过求方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是几何法，画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
探究
(课本P143例1补充)(1) 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
2
判断函数零点的个数
2
【解答】方法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数．在平面直角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0.又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以只有一个零点．
(2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，在[0，＋∞)上的大致图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点个数为____．
【解析】由图知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的零点个数为4，又f(|x|)＝f(|－x|)，故函数y＝f(|x|)是定义在R上的偶函数．又当x≥0时，y＝f(|x|)＝f(x)，有4个零点，根据对称性，当x＜0时，函数y＝f(x)有3个零点，故函数y＝f(|x|)的零点个数为7.
7
判断函数存在零点的三种方法：
(1) 方程法：可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2) 图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3) 定理法：若函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0可以判断函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．结合函数的单调性，可以进一步判断零点的个数．
探究
3
判断函数零点所在的区间
3
C
B
判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论．
【解析】显然f(x)＝2x＋x－5单调递增，且图象连续，f(0)＝－4<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，由零点存在定理可知，一定包含函数f(x)＝2x＋x－5零点的区间是(1，2).
变式
B
在下列区间中，一定包含函数f(x)＝2x＋x－5零点的区间是 ( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】令f(x)＝|ex－1|，由于当x<0时，－1所以f(x)＝1－ex，且f(x)∈(0，1)；当x≥0时，ex－1≥0，
所以f(x)＝ex－1，且f(x)∈[0，＋∞)，作出函数f(x)的图象
如图所示，则当0有两个交点，即方程|ex－1|＝m有两个不同的实数根，所以
m的取值范围是(0，1).
C
若方程|ex－1|＝m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为 ( )
A. (0，＋∞) B. (0，1] C. (0，1) D. (1，＋∞)
探究
4
根据零点个数求参数的取值范围
4
已知函数的零点个数求参数范围问题，通常转化为图象的交点个数问题，既可以直接讨论带参函数的图象与x轴的交点个数，也可以先参变分离(将参数和变量分离开来)，转化为固定图象与水平动直线的交点个数问题．
【解析】易知函数f(x)＝ex＋x＋1为增函数，且e＝2.718 28…，计算f(x)的部分函数值如下表．
观察可知f(－2)<0，f(－1)>0，则f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(－2，－1)内，故k＝－1.
变式
已知函数f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(k－1，k)内，则整数k＝ ( )
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
B
随堂内化 及时评价
B
2. 函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是 ( )
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
B
【解析】因为f(x)＝2x－3的图象在R上连续且为增函数，f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1，2).
A
4. 已知关于x的方程x2－2ax＋1＝0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则实数a的取值
范围为_________．
5. (课本P144练习1)图(1)(2)(3)分别为函数y＝f(x)在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数y＝f(x)在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
【解答】不能，如仅依据图(1)易得出f(x)在(－200，200)内仅有一个零点的错误结论，要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，还需证明该函数在该区间上是单调的．
配套新练案
A
2. 函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
3. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
则函数f(x)一定存在零点的区间是 ( )
A. (－∞，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，＋∞)
x 1 2 3
f(x) 3.4 2.6 －3.7
C
【答案】D
ACD
BCD
8. 已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x，则函数y＝f(x)的解析式为___________；若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围为___________．
据此可作出函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).
四、 解答题
9. 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【解答】方法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数．在
同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
从而函数y＝ln x＋x2－3的零点个数为1.
方法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的零点个数为1.
10. 已知二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
10. 已知二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(2) 令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
【答案】ACD
【答案】CD
(1) 判断是否存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”，并说明理由；
【解答】不存在，理由如下：假设函数f(x)＝3x＋2存在关于非零实数a的“线性零点”，即存在x∈R，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，即3(x＋a)＋2＝3x＋2＋3a＋2 2＝4，显然不成立，故不存在非零实数a，使f(x)＝3x＋2存在关于a的“线性零点”．
(2) 求证：对任意实数b，函数f(x)＝2x＋bx2都存在关于2的“线性零点”．